Finite Element for the Analysis of Reinforced Concrete Beams with Non-Uniform Steel Fiber Reinforcement

Full Text

1. Введение При проектировании бетонных конструкций на основе дисперсного армирования возникает необходимость учета неоднородного распределения армирующего материала по высоте сечения элемента. Данная задача может быть решена при использовании объемных конечных элементов, в своей основе реализующих те или иные критерии прочности и (или) пластичности бетона и армирующего материала. Для решения этой задачи можно воспользоваться указанными объемными конечными элементами в таких расчетных комплексах, как Ansys и Abaqus1.3Однако данные программные комплексы могут быть недоступны широкому кругу инженеров-проектировщиков ввиду их высокой стоимости. Кроме того, использование объемных конечных элементов зачастую ведет к увеличению размерности решаемых задач, что приводит к существенным временным затратам и повышенным требованиям к производительности используемых компьютеров. В связи с этим проблема разработки простых в реализации и доступных широкому кругу пользователей конечных элементов остается актуальной задачей [1-4]. В ряде исследований, проведенных отечественными и зарубежными учеными, рассматриваются случаи однородного распределения дисперсной арматуры по сечению элемента [5-7], в то время как практика проектирования требует более гибкого подхода [8]. Существуют методики расчета, которые не учитывают возможность создания зон с различной концентрацией армирующих волокон в пределах одного конструктивного элемента [9; 10]. Некоторые ученые рассматривают влияние на прочность и деформативность различных комбинаций армирующих волокон, но равномерно распределенных в сечении элемента [12-14]. Однако именно неоднородное армирование позволяет оптимизировать расход материалов и повысить несущую способность конструкции [15]. Отсутствие комплексного подхода к расчету дисперсно-армированных элементов с учетом неоднородного армирования по высоте сечения элемента затрудняет их широкое применение, несмотря на очевидные технико-экономические и прочностные преимущества. В связи с этим крайне важным является исследование напряженно-деформированного состояния многослойных балок, имеющих неоднородное дисперсное армирование. Авторами работы поставлена задача разработать методику расчета неоднородно-армированных элементов и в качестве примера для исследования была выбрана сталефибробетонная балка, имеющая неоднородное армирование. 2. Материалы и методы Объектом исследования является сталефибробетонная балка размером 65×250×1400 мм (b×h×L), имеющая неоднородное армирование по высоте сечения волокном анкерного типа (рис. 1). Балка была условно поделена на 10 слоев: в нижней части было выполнено максимальное дисперсное армирование, равное 2,0 %, а в верхней части минимальное - 0,5 %. Для изготовления указанной балки использовался мелкозернистый бетон, позволяющий обеспечить высокую степень насыщения волокнами и высокую дисперсность армирования. В качестве дисперсного армирования применялась стальная фибра анкерного профиля (длина волокна 30 мм, диаметр волокна 0,3 мм). Рис. 1. Распределение содержания стального волокна анкерного типа по высоте сталефибробетонной балки И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 1. Distribution of hooked-end steel fiber content along the height of the steel fiber-reinforced concrete beam S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia Для исследования напряженно-деформированного состояния неоднородно-армированной сталефибробетоной балки были использованы средства тензометрии. Для этого на контрольный образец балки был наклеен 21 тензорезистор BX 120-20AA в направлении главных деформаций. Тензорезисторы были подключены к многоканальной тензометрической станции Zetlab ZET 017-T32 по полной мостовой схеме. Испытания балки проводились на специальной установке Matest (рис. 2), позволяющей проводить испытания крупноразмерных элементов на изгиб. В процессе испытаний в реальном времени синхронно с нагрузкой регистрировались деформации и перемещения балки. Рис. 2. Экспериментальная неоднородно-армированная сталефибробетонная балка и используемое оборудование: 1 - тензометрическая станция Zetlab ZET 017-T32; 2 - гидравлический пресс Matest; 3 - образец-балка с тензорезисторами BX 120-20AA; 4 - персональный компьютер для обработки данных; 5 - цифровой прогибомер И с т о ч н и к: фото Д.А. Голишевской Figure 2. Experimental non-uniformly reinforced steel fiber-reinforced concrete beam and the equipment used: 1 - Zetlab ZET 017-T32 strain gauge station; 2 - Matest hydraulic press; 3 - beam specimen with BX 120-20AA strain gauges; 4 - personal computer for data processing; 5 - digital deflectometer S o u r c e: photo by D.A. Golishevskaia Для построения конечного элемента балки неоднородного армирования была использована теория расчета многослойных балок, приведенная в работе П.М. Варвака[1]. Данная теория была модифицирована авторами в соответствии с общими положениями и принципами метода конечных элементов. Для модели многослойной балки (рис. 3, 4), в которой полагается, что поперечные сечения искривляются за счет влияния касательных напряжений, принимается следующая формула (2), которая следует из условия (1) равновесия части F элемента dx балки: ∂σk dF = 0; (1) τk ⋅bk + ∂x F dκ 1 Z τk =- dx bk - δ2 Ekb zdzk , (2) d w2 где κ( )x = 2 - кривизна нейтрального слоя балки при изгибе; Ek = E zk( ) - модуль упругости dx в направлении оси x. Рис. 3. Поперечное сечение многослойной балки И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 3. Cross-section of a multi-layered beam S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia Рис. 4. Схема смещения слоев многослойной балки при изгибе И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 4. Diagram of layer displacement in a multi-layered beam under bending S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia Продольные деформации и деформации поперечного сдвига для k-го слоя определяются следующими уравнениями: ∂u εk = k = - d w22 Z + d2κ2 ψk ( )z ; ∂x dx dx ∂ γk = uk + ∂wk = τk = dκ dψk ( )z ; ∂z ∂x Gk dx dz (3) ∂uk =-∂wk + dκ dψk( )z , (4) ∂z ∂x dx dz Z z 1 где Gk =G zk ( ) - модуль сдвига; функция ψk ( )z = E b zdz dzk k % % учитывает компонент сдвига; G b 0 k k -δ1 uk - горизонтальное перемещение; wk - вертикальное перемещение, которое принимается постоянным по высоте. Согласно закону Гука, с учетом выражений (3) и (4) напряжения будут иметь вид σk = -Ek d w22 Z - d2κ2 ψk ( )z ; (5) dx dx τk = Gk dκ dψk ( )z . (6) dx dz Выражение для потенциальной энергии деформации многослойной балки можно записать в следующем виде: W = 1 V (σ εk k + τ γk k )dV = 1 0l F σk - d w22 z + d2κ2 ψk ( )z dF + F τk ddxκ dψdzk ( )z dF dx = 2 2 dx dx = -1 0l M d wdx22 - M ddx2κ2 -Q ddxκ dx, (7) 2 где l - длина балки; F - площадь поперечного сечения; М - изгибающий момент; Q - поперечная сила; M и Q - обобщенные изгибающий момент и поперечная сила, возникающие вследствие деформации сдвига поперечных сечений и отвечающие принятым выражениям для деформаций. Тогда функционал полной потенциальной энергии многослойной балки с учетом искривления сечения за счет действия касательных напряжений записывается следующим образом: l l W A 0 M c1 c1 dx 0 qwdx, (8) 2 где q = q xz ( ) - интенсивность распределенной поперечной нагрузки, нормальной к оси x. Аппроксимация перемещений по области КЭ обусловлена функционалом полной потенциальной энергии (8), который учитывает кривизны изгиба κ и сдвига κ . Выражения моментов M и M также записаны через кривизны κ и κ . Так, в каждом i-м узле КЭ (i = 1, 2) назначаются по две независимые группы степеней свободы (изгибная и сдвиговая) (рис. 5): { }zi l, = wi , { }zi = wi , (9) φi φi где w x( ) - перемещение; w x c x( )= 1κ( ) - обобщенное перемещение, связанное с учетом поперечноdw = dw - аналог угла поворота сечения, связанный с го сдвига; φ = - угол поворота сечения; φ dx dx учетом поперечного сдвига. С учетом принятых обозначений выражения для изгибающих моментов и поперечных сил записываются в следующем виде: M D= 11(κ κ+ ); M =-D c11 1( κ+c2κ); Q=-D11 φ; Q D= 11φ. (10) c1 Жесткости D11, D12, D22 определяются уравнениями: n ak n ak D11 = E z dFk 2 = E b z dzk k 2 ; D12 = - Ek kψ ( )z zdF = - E bk k kψ ( )z zdz; = k=1 ak-1 F k 1 ak-1 F n ak D22 = Ekψ2k ( )z dF = E bk k ψ2k ( )z dz; F k=1 ak-1 c1 = D12 ; D11 c2 = D22 . D12 (11) Рис. 5. Конечный элемент многослойной балки И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 5. Finite element of a multi-layered beam S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia Матрица жесткости конечного элемента получена на основании вариационного принципа Лагранжа. Коэффициенты матрицы в общем случае равны l l M k Qk rij = σk ( )x εk ( )x dx= Mk κk - κk + φk dx . c c 0 0 1 1 (12) Система уравнений равновесия МКЭ имеет следующий вид: [R]{z} ={P}, (13) где {P} - вектор внешней узловой нагрузки; {z} - вектор узловых перемещений. { }z ={w1 φ1 w2 φ2 w1 φ1 w2 φ2}T . (14) Матрица жесткости конечного элемента [R] имеет размерность 8×8 и формируется следующим образом: [ ]R = [ ] [ ][r12] [r23] , (15) r r где подматрицы [r1] и [r3]отвечают состоянию изгиба и сдвига, а подматрица [ ]r2 определяет взаимовлияние этих состояний. 12 3 l 6 2 l -123 l 6 2 l [r2] = 12 3 l 6 2 l -123 l 6 2 l 6 2 l 4 l -62 l 2 l 6 2 l 4 l -62 l 2 l -123 l -62 l 12 3 l -62 l -123 l -62 l 12 3 l -62 l 12 3 l 6 2 l -123 l 6 2 l 12 3 l 6 2 l -123 l 6 2 l [r1]= 1 12c2 3 c1 l + 6 5l 1 6c2 + 1 2 c1 l 10 - 1 123c2 + 6 c1 l 5l 1 6c2 + 1 2 c1 l 10 1 6c2 2 c1 l + 1 10 1 4c2 + 2l c1 l 15 - 1 6c22 + 1 c1 l 10 1 2c2 + l c1 l 30 - 1 123c2 c1 l + 6 5l - 1 6c22 + 1 c1 l 10 1 123c2 + 6 c1 l 5l - 1 6c22 + 1 c1 l 10 1 6c2 2 c1 l + 1 10 1 2c2 + l c1 l 30 - 1 6c22 + 1 c1 l 10 1 4c2 + 2l c1 l 15 [ ]r3 = 3. Результаты и обсуждение Для выполнения физически нелинейных расчетов использовался модифицированный метод Ньютона - Рафсона, позволяющий повысить сходимость результатов за счет энергетической коррекции вектора приращения перемещений. На основании приведенного выше алгоритма разработан конечный элемент многослойной балки, интегрированный в вычислительный комплекс ПРИНС [16]. В целях отладки предложенного конечного элемента были использованы результаты эксперимента, проведенного авторами в лаборатории строительных конструкций и материалов инженерной академии РУДН им. Патриса Лумумбы. Для этого была рассмотрена неоднородно армированная сталефибробетонная балка. Геометрические размеры, количество армирующих слоев и их физико-механические характеристики соответствовали параметрам экспериментальной балки (см. рис. 1). Основные результаты расчета представлены на рис. 6 и 7. Длина, м / Length, m а б Рис. 6. Деформированная схема исследуемой балки: а - прогибы при нагрузке P = 1,2 кН; б - прогибы при нагрузке P = 9,6 кН И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 6. Deformed shape of the investigated beam: a - deflections at load P = 1.2 kN; б - deflections at load P = 9.6 kN S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia Напряжения, кПа / Stresses, kPa а Напряжения, кПа / Stresses, kPa б Рис. 7. Эпюра максимальных нормальных напряжений: а - при нагрузке P = 1,2 кН; б - при нагрузке P = 9,6 кН И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 7. Diagram of maximum normal stresses: a - at load P = 1.2 kN; б - at load P = 9.6 kN S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia Для верификации полученных результатов (рис. 6, 7) в дополнение к экспериментальным данным были выполнены нелинейные расчеты исследуемой балки в программном комплексе Ansys. Конечно-элементная модель балки состояла из 3920 объемных восьмиузловых элементов и имела 31 360 узловых неизвестных. Для моделирования сталефибробетона применялся объемный восьмиузловой КЭ Conc65, использующий в своей основе трехосный критерий прочности бетона Виллама и Варнке [17]. Основные результаты расчета в программном комплексе Ansys представлены на рис. 8 и 9. Сопоставление экспериментальных данных и результатов расчетов балки по разработанному КЭ и с применением программы Ansys приведено в таблице. Расхождения в значениях, полученных по результатам конечно-элементных расчетов и экспериментальных данных, не превышают 6 % при нагрузке 1,2 кН и 11 % при нагрузке 9,6 кН. Результаты конечно-элементных расчетов расходятся между собой на 11 % при величине нагрузки 1,2 кН и 15,1 % при значении нагрузки 9,6 кН. Сводные данные результатов неоднородно-армированной сталефибробетонной балки Полученные результаты Значение прогиба балки в середине пролета (мм) при нагрузке, кН Нормальные растягивающие напряжения σfbt, кПа при нагрузке, кН Нормальные сжимающие напряжения σfb, кПа при нагрузке, кН 1,2 9,6 1,2 9,6 1,2 9,6 Результаты эксперимента 0,0132 0,102 +555,13 +4265,0 -511,84 -3938,4 Результаты расчета по разработанному КЭ балки многослойного армирования 0,0140 0,112 +590,74 +4725,9 -543,13 -4345 Результаты расчета в программе Ansys 0,0155 0,132 +539,49 +4315,6 -522,7 -4036,1 Расхождение, % 6,0 10,7 9,8 15,1 6,4 9,5 10,8 9,5 5,8 3,9 10,3 7,7 И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Summary data of results for the non-uniformly reinforced steel fiber-reinforced concrete beam Obtained results Beam deflection value at mid-span (mm) under load Normal tensile stresses σfbt, kPa under load Normal compressive stresses σfb, kPa under load 1.2 kN 9.6 kN 1.2 kN 9.6 kN 1.2 kN 9.6 kN Experimental results 0.0132 0.102 +555.13 +4265.0 -511.84 -3938.4 Calculation results using the developed FE model for a multi-layer reinforced beam 0.0140 0.112 +590.74 +4725.9 -543.13 -4345 Calculation results in Ansys 0.0155 0.132 +539.49 +4315.6 -522.7 -4036.1 Discrepancy, % 6.0 10.7 9.8 15.1 6.4 9.5 10.8 5.8 3.9 10.3 S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia а б Рис. 8. Поля вертикальных перемещений [мм], полученные для нагрузки: а - 1,2 кН; б - 9,6 кН И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 8. Vertical displacement distribution [mm] obtained for the following loads: а - 1.2 kN; б - 9.6 kN S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia а б Рис. 9. Поля нормальных напряжений [кПа], полученные для нагрузки: а - 1,2 кН; б - 9,6 кН И с т о ч н и к: выполнено Д.А. Голишевской Figure 9. Normal stress distribution [kPa] obtained for the following loads: а - 1.2 kN; б - 9.6 kN S o u r c e: made by D.A. Golishevskaia 4. Заключение В результате проведенной работы авторами разработан физически нелинейный стержневой конечный элемент балки многослойного армирования. Для верификации предложенного конечного элемента многослойной балки были использованы экспериментальные данные неоднородно-армированной сталефибробетонной балки и результаты физически нелинейного расчета аналогичной балки в программном комплексе Ansys, выполненные авторами. Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы: 1. Разработан физически нелинейный метод расчета неоднородно-армированных сталефибробетонных элементов, на основании которого разработана методика численного расчета и построен конечный элемент неоднородно-армированной балки. 2. Точность разработанного конечного элемента неоднородно-армированной балки подтверждается приемлемой сходимостью результатов расчета с экспериментальными данными и результатами верификационного расчета в программе Ansys. 3. Данный конечный элемент адаптирован к ВК ПРИНС и в составе этого вычислительного комплекса может быть использован сотрудниками научных и проектных организаций для расчета сталефибробетонных конструкций.

About the authors

Alexey S. Markovich

RUDN University; National Research Moscow State University of Civil Engineering

Email: markovich-as@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3967-2114
SPIN-code: 9203-1434

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering, RUDN University; Associate professor of the Department of Fundamental Education, National Research Moscow State University of Civil Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation; 26 Yaroslavl Highway, Moscow, 129337, Russian Federation

Vladimir P. Agapov

RUDN University

Email: agapovpb@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1749-5797
SPIN-code: 2422-0104

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Darya A. Golishevskaia

RUDN University

Author for correspondence.
Email: miloserdova-da@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-0835-528X
SPIN-code: 1276-6516

Candidate of Technical Sciences, Assistant of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files