Comparative analysis of finite element formulations at plane loading of an elastic body

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The aim of the work - comparison of the results of determining the parameters of the stress-strain state of plane-loaded elastic bodies based on the finite element method in the formulation of the displacement method and in the mixed formulation. Methods. Algorithms of the finite element method in various formulations have been developed and applied. Results. In the Cartesian coordinate system, to determine the stress-strain state of an elastic body under plane loading, a finite element of a quadrangular shape is used in two formulations: in the formulation of the method of displacements with nodal unknowns in the form of displacements and their derivatives, and in a mixed formulation with nodal unknowns in the form of displacements and stresses. The approximation of displacements through the nodal unknowns when obtaining the stiffness matrix of the finite element was carried out using the form function, whose elements were adopted Hermite polynomials of the third degree. Upon receipt of the deformation matrix, the displacements and stresses of the internal points of the finite element were approximated through nodal unknowns using bilinear functions. The stiffness matrix of the quadrangular finite element in the formulation of the displacement method is obtained on the basis of a functional based on the difference between the actual workings of external and internal forces under loading of a solid. The matrix of deformation of the finite element was formed on the basis of a mixed functional obtained from the proposed functional by repla-cing the actual work of internal forces with the difference between the total and additional work of internal forces when loading the body. The calculation example shows a significant advantage of using a finite element in a mixed formulation.

Full Text

Введение[11] При достаточно полном развитии теории деформирования нагруженных твердых тел [1-2] аналитическое получение конкретных результатов возможно только в некоторых, далеких от практики инженерных расчетов, случаях. Для получения результатов расчетов при определении напряженно-деформированного состояния (НДС) практических инженерных конструкций необходимо использование численных методов. Среди численных методов широкое распространение получил метод конечных элементов в формулировке метода перемещений [3-13]. К существенным недостаткам этого метода относится отсутствие непрерывности производных перемещений на контурах и гранях конечных элементов при сохранении непрерывности в узловых точках. Использование конечных элементов в смешанной формулировке [14-17] приводит к выполнению условий непрерывности напряжений и деформаций не только в узловых точках, но и на контурах и гранях конечных элементов. В настоящей работе для четырехугольного элемента представлены конечно-элементные алгоритмы в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке для определения НДС плоско нагруженных упругих тел. На примере расчета напряженного состояния консольной балки показано преимущество использования конечного элемента в смешанной формулировке. 1. Используемые соотношения теории упругости При плоском нагружении упругого тела в плоскости деформации и перемещения связаны зависимостями Коши [1] или в матричной формулировке (1) где - строка деформаций; - строка перемещений точки; - матрица дифференциальных операторов. При упругом деформировании напряжения и деформации связаны законом Гука (2) где - строка напряжений. 2. Четырехугольный конечный элемент В декартовой системе координат принимается четырехугольник с узлами . Для выполнения численного интегрирования по площади элемента он отображается на локальный квадрат в системе координат , которые изменяются в пределах от -1 до 1. Декартовы координаты внутренней точки четырехугольника определяются через их узловые значения с использованием билинейных функций: (3) где символ означает координату или - строка билинейных функций формы; - строка узловых значений координаты . Дифференцированием (3) определяются производные декартовых координат в локальной системе и локальных координат в декартовой системе . 2.1. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента в формулировке метода перемещений В качестве узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные по координатам . Каждая координата вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные выражениями (4) где - строка узловых неизвестных в локальной системе координат; - аппроксимирующая функция, элементами которой являются произведения полиномов Эрмита от координат в третьей степени. Производные от перемещений по декартовым координатам определяются выражениями (5) На основе (5) формируется матричное выражение (6) где С учетом (5) и (6) матричное выражение для деформаций (1) может быть представлено в виде (7) Для формирования матрицы жесткости конечного элемента используется функционал, отражающий равенство действительных работ внешних и внутренних сил: (8) где - площадь конечного элемента; - длина контура элемента. Принимая во внимание соотношения (2) и (7), функционал (8) можно представить в матричном виде (9) Производные от перемещений в локальной системе координат определяются через производные в глобальной системе соотношениями (10) На основании (10) выполняется преобразование вектора узловых неизвестных в локальной системе через вектор узловых неизвестных в декартовой системе в матричном виде: (11) После минимизации преобразованного функционала (9) на основании (11) по узловым неизвестным получается матрица жесткости конечного элемента: (12) где - матрица жесткости конечного элемента; - вектор узловых усилий конечного элемента. При минимизации функционала (9) принято во внимание, что нагрузка и перемещения связаны линейной зависимостью, поэтому при дифференцировании координатной функции сократился коэффициент перед вектором сил. 2.2 Матрица деформирования конечного элемента в смешанной формулировке В качестве узловых неизвестных четырехугольного конечного элемента принимаются перемещения и напряжения. Перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируются через узловые неизвестные выражениями (4). Матричное выражение для деформаций запишется в виде (13) где Каждая компонента тензора напряжений аппроксимируется через узловые неизвестные также билинейными выражениями: (14) где - строка узловых неизвестных напряжений. На основе (14) формируется матричное соотношение (15) где Для формирования матрицы деформирования конечного элемента выполняется преобразование функционала (8) путем замены действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ при нагружении деформируемого тела: (16) С учетом (16) функционал (8) запишется матричным выражением . (17) После выполнения варьирования функционала (17) по узловым неизвестным и конечного элемента получается система уравнений (18) где ; ; . Системы уравнений (18) представляются в традиционной для метода конечных элементов форме: (19) где - матрица деформирования конечного элемента; - вектор узловых усилий конечного элемента; - вектор узловых неизвестных конечного элемента. 3. Результаты исследований и их анализ Пример. Рассматривалась консольная балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой, при следующих исходных данных: длина L = 0,5 м, высота поперечного сечения h = 0,05 м, ширина t = 0,01 м, модуль упругости материала Е = 2,0´105 МПа, коэффициент Пуассона n = 0,3, интенсивность давления q = 10,0 кН/м2. Результаты вычислительного процесса показаны в табл. 1 (на основе функционала, базирующегося на разности действительных работ внешних и внутренних сил) и 2 (на основе смешанного функционала), где приведены значения нормальных напряжений в крайних волокнах поперечного сечения заделки (так называемая точка a) и сечения, расположенного на расстоянии 5 см от заделки (так называемая точка b), в зависимости от числа конечных элементов при дискретизации консольной балки. В последних колонках таблиц представлены перемещения на свободном конце балки (так называемая точка c) в зависимости от числа конечных элементов. Количество конечных элементов по толщине балки принимались равными 1, 2, 3, 4 и 5. По длине балки число конечных элементов в каждом случае было равным 10, 20, 30, 50 и 100. Таблица 1 Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния при использовании элементов в формулировке метода перемещений [Table 1. Numerical values of stress-strain state parameters when using elements in the formulation of the displacement method] Дискретизация [Sampling] Элемент [Element] 24×24 Напряжение σxx, кПа (точка a) [Stress σxx, kPa (point a)] Напряжение σxx, кПа (точка b) [Stress σxx, kPa (point b)] Перемещение w, см (точка c) [Displacement w, cm (point c)] 10×1 2330 2013 0,377 20×1 2454 2019 0,378 30×1 2478 2023 0,378 50×1 2487 2024 0,378 100×1 2490 2024 0,378 10×2 2735 2248 0,376 20×2 2802 2282 0,377 30×2 2815 2290 0,377 50×2 2821 2294 0,377 100×2 2823 2295 0,378 10×3 2805 2278 0,376 20×3 2886 2319 0,377 30×3 2904 2327 0,378 50×3 2913 2331 0,378 100×3 2914 2332 0,378 10×4 2839 2293 0,376 20×4 2935 2340 0,377 30×4 2957 2350 0,378 50×4 2969 2355 0,378 100×4 2973 2357 0,378 Таблица 2 Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния при использовании элементов в смешанной формулировке [Table 2. The numerical values of the parameters of the stress-strain state when using elements in a mixed formulation] Дискретизация [Sampling] Элемент [Element] 20×20 Напряжение σxx, кПа (точка a) [Stress σxx, kPa (point a)] Напряжение σxx, кПа (точка b) [Stress σxx, kPa (point b)] Перемещение w, см (точка c) [Displacement w, cm (point c)] 10×1 2820 2554 0,377 20×1 2952 2395 0,377 30×1 2978 2444 0,378 50×1 2992 2435 0,378 100×1 2998 2428 0,378 10×2 2836 2554 0,377 20×2 2955 2395 0,377 30×2 2978 2444 0,378 50×2 2989 2435 0,378 100×2 2994 2428 0,378 10×3 2863 2562 0,376 20×3 3007 2386 0,377 30×3 3045 2445 0,378 50×3 3070 2434 0,378 100×3 3082 2426 0,378 10×4 2862 2561 0,377 20×4 3009 2384 0,378 30×4 3050 2445 0,378 50×4 3080 2434 0,378 100×4 3096 2426 0,378 Анализ результатов показывает, что сходимость вычислительного процесса при использовании конечного элемента в смешанной формулировке происходит значительно быстрее. Для сравнения принимались приближенные результата расчета балки по технической теории (с учетом гипотезы прямой нормали): = 3000 кПа (точка a), = 2430 кПа (точка b), = 0,375 см (точка c). В точке b, отстоящей на расстоянии h от заделки, сходимость вычислительного процесса по нормальным напряжениям (в табл. 2 отмечены жирным шрифтом) гораздо лучше в варианте расчета смешанным методом конечных элементов. В точке a на сходимость вычислительного процесса воздействуют граничные условия в виде линейных связей. Поэтому сравнение методов по численным значениям нормальных напряжений целесообразнее выполнять в точке, находящейся на расстоянии h от заделки. При каждой дискретизации балки конечными элементами перемещения оказались практически одинаковыми в обеих формулировках метода конечных элементов. Заключение Для конечного элемента в формулировке метода перемещений выполняются условия совместности по перемещениям и их производным только в узловых точках, на контурах смежных конечных элементов такие условия отсутствуют. В конечном элементе в варианте смешанной формулировки условия совместности по напряжениям выполняются не только в узловых точках, но и на контурах элемента. Поэтому сходимость вычислительного процесса при вычислении параметров напряженного состояния существенно лучше.

×

About the authors

Natalia A. Gureeva

Financial University under the Government of the Russian Federation

Author for correspondence.
Email: aup-volgau@yandex.ru

Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Data Analysis, Decision Making and Financial Technologies

49 Leningradsky Ave, GSP-3, Moscow, 125993, Russian Federation

Anatoly P. Nikolaev

Volgоgrad State Agrarian University

Email: aup-volgau@yandex.ru

Doctor Of Technical Sciences, Professor, Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department

26 Universitetskii Ave, Volgograd, 400002, Russian Federation

Vladislav N. Yushkin

Volgоgrad State Agrarian University

Email: aup-volgau@yandex.ru

Candidate Of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department

26 Universitetskii Ave, Volgograd, 400002, Russian Federation

References

  1. Galimov K.Z., Paimushin V.N. Teoriya obolochek slozhnoj geometrii [The theory of shells of complex geometry]. Kazan, Kazan University Publ.; 1985. (In Russ.)
  2. Petrov V.V. Nelinejnaya inkremetal'naya stroitel'naya mekhanika [Nonlinear incremental structural mechanics]. Vologda, Infra-Inzheneriya Publ.; 2014. (In Russ.)
  3. Bate K.-U. Metody konechnyh elementov [Finite Element Methods]. Moscow, Fizmatlit Publ.; 2010. (In Russ.)
  4. Golovanov A.I., Tyuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. Metod konechnyh elementov v statike i dinamike tonkostennyh konstrukcij [Finite element method in the statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow, Fizmatlit Publ.; 2006. (In Russ.)
  5. Kiselev A.P., Gureeva N.A., Kiseleva R.Z. Raschet mnogoslojnoj obolochki s ispol'zovaniem ob"emnogo konechnogo elementa [Calculation of a multilayer shell using a volumetric finite element]. Izvestia VSTU [Bulletin of the Volgograd State Technical University]. 2010;4(4):125–128. (In Russ.)
  6. Kayumov R.A. K resheniyu zadach neodnorodnoi teorii uprugosti metodom konechnykh elementov [To the solution of problems of the heterogeneous theory of elasticity by the finite element method]. Trudy Vtoroi Vserossiiskoi nauchnoi konferentsii (1–3 iyunya 2005 g.). Ch. 1. Matematicheskie modeli mekhaniki, prochnost' i nadezhnost' konstruktsii [Proceedings of the Second All-Russian Scientific Conference (1–3 June 2005). Part 1. Mathematical models of mechanics, strength and reliability of structures]. Samara, SamGTU Publ.; 2005. p. 143–145. (In Russ.)
  7. Kiselev A.P., Kiseleva R.Z., Nikolaev A.P. Account of the shift as rigid body of shell of revolution axially symmetric loaded on the base of FEM. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2014;(6):59–64. (In Russ.)
  8. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Ischanov T.R. Finite element analysis of stress-strain state of shells of revolution with taking into account the strain of transversal shearing. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2016;(5):48–56. (In Russ.)
  9. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Sobolevskaya T.A., Klochkov M.Yu. Comparative analysis of efficiency of use of finite elements of different dimensionality in the analysis of the stress-strain state of thin shells. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2018;14(6): 459–466. (In Russ.)
  10. Gureeva N.A., Arkov D.P. Flat problem of theory of jump in base method of final elements in mixed understanding in account physical nonlinearity. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2010;(4): 32–36. (In Russ.)
  11. Beirão da Veiga L., Lovadina C., Mora D. A virtual element method for elastic and inelastic problems on polytope meshes. Computer methods in applied mechanics and engineering. 2015;(295):327–346.
  12. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Kiseleva T.A. Stress-strain analysis of a thin-shell part of fuselage using a triangular finite element with Lagrange multipliers. Russian Aeronautics. 2016;59(3):316–323.
  13. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Calculation of rotation shells using finite triangular elements with Lagrange multipliers in variative approximation of displacements. Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2016;45(1):51–58.
  14. Magisano D., Liabg K., Garcea G., Leonetti L., Ruess M. An efficient mixed variational reduced order model formulation for nonlinear analyses of elastic shells. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2018;113(4):634–655.
  15. Gureeva N.A., Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P. Analysis of a shell of revolution subjected to axisymmetric loading taking into account geometric nonlinearity on the basis of the mixed finite element method. Russian Aeronautics. 2014;57(3):232–239.
  16. Bandurin N.G., Gureeva N.A. Determination of plain stress condition of shells applying mixed formulation of finite-element method in terms of geometrical nonlinearity. Cosmonautics and rocket engineering. 2013;(1):69–75. (In Russ.)
  17. Ignatiev V.A., Ignatiev A.V. Plane problem solution of elasticity theory by the finite element method in the form of classical mixed method. Bulletin of the Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series: Construction and Architecture. 2013;31–2(50):337–343. (In Russ.)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Gureeva N.A., Nikolaev A.P., Yushkin V.N.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.