Сравнительный анализ конечно-элементных формулировок при плоском нагружении упругого тела

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Цель исследования - сравнение результатов определения параметров напряженно-деформированного состояния плосконагруженных упругих тел на основе метода конечных элементов в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке. Методы. Разработаны и применены алгоритмы метода конечных элементов в различных формулировках. Результаты. В декартовой системе координат для определения напряженно-деформированного состояния упругого тела при плоском нагружении использован конечный элемент четырехугольной формы в двух формулировках: в формулировке метода перемещений с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных и в смешанной формулировке с узловыми неизвестными в виде перемещений и напряжений. Аппроксимация перемещений через узловые неизвестные при получении матрицы жесткости конечного элемента выполнялась с использованием функции формы, элементами которой принимались полиномы Эрмита третьей степени. При получении матрицы деформирования перемещения и напряжения внутренней точки конечного элемента аппроксимировались через узловые неизвестные с использованием билинейных функций. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента в формулировке метода перемещений получена на основе функционала, основанного на разности действительных работ внешних и внутренних сил при нагружении твердого тела. Матрица деформирования конечного элемента формировалась на основе смешанного функционала, полученного из предложенного функционала путем замены действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ внутренних сил при нагружении тела. На примере расчета показано существенное преимущество использования конечного элемента в смешанной формулировке.

Полный текст

Введение[11] При достаточно полном развитии теории деформирования нагруженных твердых тел [1-2] аналитическое получение конкретных результатов возможно только в некоторых, далеких от практики инженерных расчетов, случаях. Для получения результатов расчетов при определении напряженно-деформированного состояния (НДС) практических инженерных конструкций необходимо использование численных методов. Среди численных методов широкое распространение получил метод конечных элементов в формулировке метода перемещений [3-13]. К существенным недостаткам этого метода относится отсутствие непрерывности производных перемещений на контурах и гранях конечных элементов при сохранении непрерывности в узловых точках. Использование конечных элементов в смешанной формулировке [14-17] приводит к выполнению условий непрерывности напряжений и деформаций не только в узловых точках, но и на контурах и гранях конечных элементов. В настоящей работе для четырехугольного элемента представлены конечно-элементные алгоритмы в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке для определения НДС плоско нагруженных упругих тел. На примере расчета напряженного состояния консольной балки показано преимущество использования конечного элемента в смешанной формулировке. 1. Используемые соотношения теории упругости При плоском нагружении упругого тела в плоскости деформации и перемещения связаны зависимостями Коши [1] или в матричной формулировке (1) где - строка деформаций; - строка перемещений точки; - матрица дифференциальных операторов. При упругом деформировании напряжения и деформации связаны законом Гука (2) где - строка напряжений. 2. Четырехугольный конечный элемент В декартовой системе координат принимается четырехугольник с узлами . Для выполнения численного интегрирования по площади элемента он отображается на локальный квадрат в системе координат , которые изменяются в пределах от -1 до 1. Декартовы координаты внутренней точки четырехугольника определяются через их узловые значения с использованием билинейных функций: (3) где символ означает координату или - строка билинейных функций формы; - строка узловых значений координаты . Дифференцированием (3) определяются производные декартовых координат в локальной системе и локальных координат в декартовой системе . 2.1. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента в формулировке метода перемещений В качестве узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные по координатам . Каждая координата вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные выражениями (4) где - строка узловых неизвестных в локальной системе координат; - аппроксимирующая функция, элементами которой являются произведения полиномов Эрмита от координат в третьей степени. Производные от перемещений по декартовым координатам определяются выражениями (5) На основе (5) формируется матричное выражение (6) где С учетом (5) и (6) матричное выражение для деформаций (1) может быть представлено в виде (7) Для формирования матрицы жесткости конечного элемента используется функционал, отражающий равенство действительных работ внешних и внутренних сил: (8) где - площадь конечного элемента; - длина контура элемента. Принимая во внимание соотношения (2) и (7), функционал (8) можно представить в матричном виде (9) Производные от перемещений в локальной системе координат определяются через производные в глобальной системе соотношениями (10) На основании (10) выполняется преобразование вектора узловых неизвестных в локальной системе через вектор узловых неизвестных в декартовой системе в матричном виде: (11) После минимизации преобразованного функционала (9) на основании (11) по узловым неизвестным получается матрица жесткости конечного элемента: (12) где - матрица жесткости конечного элемента; - вектор узловых усилий конечного элемента. При минимизации функционала (9) принято во внимание, что нагрузка и перемещения связаны линейной зависимостью, поэтому при дифференцировании координатной функции сократился коэффициент перед вектором сил. 2.2 Матрица деформирования конечного элемента в смешанной формулировке В качестве узловых неизвестных четырехугольного конечного элемента принимаются перемещения и напряжения. Перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируются через узловые неизвестные выражениями (4). Матричное выражение для деформаций запишется в виде (13) где Каждая компонента тензора напряжений аппроксимируется через узловые неизвестные также билинейными выражениями: (14) где - строка узловых неизвестных напряжений. На основе (14) формируется матричное соотношение (15) где Для формирования матрицы деформирования конечного элемента выполняется преобразование функционала (8) путем замены действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ при нагружении деформируемого тела: (16) С учетом (16) функционал (8) запишется матричным выражением . (17) После выполнения варьирования функционала (17) по узловым неизвестным и конечного элемента получается система уравнений (18) где ; ; . Системы уравнений (18) представляются в традиционной для метода конечных элементов форме: (19) где - матрица деформирования конечного элемента; - вектор узловых усилий конечного элемента; - вектор узловых неизвестных конечного элемента. 3. Результаты исследований и их анализ Пример. Рассматривалась консольная балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой, при следующих исходных данных: длина L = 0,5 м, высота поперечного сечения h = 0,05 м, ширина t = 0,01 м, модуль упругости материала Е = 2,0´105 МПа, коэффициент Пуассона n = 0,3, интенсивность давления q = 10,0 кН/м2. Результаты вычислительного процесса показаны в табл. 1 (на основе функционала, базирующегося на разности действительных работ внешних и внутренних сил) и 2 (на основе смешанного функционала), где приведены значения нормальных напряжений в крайних волокнах поперечного сечения заделки (так называемая точка a) и сечения, расположенного на расстоянии 5 см от заделки (так называемая точка b), в зависимости от числа конечных элементов при дискретизации консольной балки. В последних колонках таблиц представлены перемещения на свободном конце балки (так называемая точка c) в зависимости от числа конечных элементов. Количество конечных элементов по толщине балки принимались равными 1, 2, 3, 4 и 5. По длине балки число конечных элементов в каждом случае было равным 10, 20, 30, 50 и 100. Таблица 1 Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния при использовании элементов в формулировке метода перемещений [Table 1. Numerical values of stress-strain state parameters when using elements in the formulation of the displacement method] Дискретизация [Sampling] Элемент [Element] 24×24 Напряжение σxx, кПа (точка a) [Stress σxx, kPa (point a)] Напряжение σxx, кПа (точка b) [Stress σxx, kPa (point b)] Перемещение w, см (точка c) [Displacement w, cm (point c)] 10×1 2330 2013 0,377 20×1 2454 2019 0,378 30×1 2478 2023 0,378 50×1 2487 2024 0,378 100×1 2490 2024 0,378 10×2 2735 2248 0,376 20×2 2802 2282 0,377 30×2 2815 2290 0,377 50×2 2821 2294 0,377 100×2 2823 2295 0,378 10×3 2805 2278 0,376 20×3 2886 2319 0,377 30×3 2904 2327 0,378 50×3 2913 2331 0,378 100×3 2914 2332 0,378 10×4 2839 2293 0,376 20×4 2935 2340 0,377 30×4 2957 2350 0,378 50×4 2969 2355 0,378 100×4 2973 2357 0,378 Таблица 2 Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния при использовании элементов в смешанной формулировке [Table 2. The numerical values of the parameters of the stress-strain state when using elements in a mixed formulation] Дискретизация [Sampling] Элемент [Element] 20×20 Напряжение σxx, кПа (точка a) [Stress σxx, kPa (point a)] Напряжение σxx, кПа (точка b) [Stress σxx, kPa (point b)] Перемещение w, см (точка c) [Displacement w, cm (point c)] 10×1 2820 2554 0,377 20×1 2952 2395 0,377 30×1 2978 2444 0,378 50×1 2992 2435 0,378 100×1 2998 2428 0,378 10×2 2836 2554 0,377 20×2 2955 2395 0,377 30×2 2978 2444 0,378 50×2 2989 2435 0,378 100×2 2994 2428 0,378 10×3 2863 2562 0,376 20×3 3007 2386 0,377 30×3 3045 2445 0,378 50×3 3070 2434 0,378 100×3 3082 2426 0,378 10×4 2862 2561 0,377 20×4 3009 2384 0,378 30×4 3050 2445 0,378 50×4 3080 2434 0,378 100×4 3096 2426 0,378 Анализ результатов показывает, что сходимость вычислительного процесса при использовании конечного элемента в смешанной формулировке происходит значительно быстрее. Для сравнения принимались приближенные результата расчета балки по технической теории (с учетом гипотезы прямой нормали): = 3000 кПа (точка a), = 2430 кПа (точка b), = 0,375 см (точка c). В точке b, отстоящей на расстоянии h от заделки, сходимость вычислительного процесса по нормальным напряжениям (в табл. 2 отмечены жирным шрифтом) гораздо лучше в варианте расчета смешанным методом конечных элементов. В точке a на сходимость вычислительного процесса воздействуют граничные условия в виде линейных связей. Поэтому сравнение методов по численным значениям нормальных напряжений целесообразнее выполнять в точке, находящейся на расстоянии h от заделки. При каждой дискретизации балки конечными элементами перемещения оказались практически одинаковыми в обеих формулировках метода конечных элементов. Заключение Для конечного элемента в формулировке метода перемещений выполняются условия совместности по перемещениям и их производным только в узловых точках, на контурах смежных конечных элементов такие условия отсутствуют. В конечном элементе в варианте смешанной формулировки условия совместности по напряжениям выполняются не только в узловых точках, но и на контурах элемента. Поэтому сходимость вычислительного процесса при вычислении параметров напряженного состояния существенно лучше.

×

Об авторах

Наталья Анатольевна Гуреева

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

Автор, ответственный за переписку.
Email: aup-volgau@yandex.ru

доктор физико-математических наук, доцент, доцент департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий

Российская Федерация, 125993, Москва, ГСП-3, Ленинградский пр., 49

Анатолий Петрович Николаев

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: aup-volgau@yandex.ru

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26

Владислав Николаевич Юшкин

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: aup-volgau@yandex.ru

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26

Список литературы

  1. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казанского университета, 1985. 164 с.
  2. Петров В.В. Нелинейная инкреметальная строительная механика. Вологда: Инфра-Инженерия, 2014. 479 с.
  3. Бате К.-Ю. Методы конечных элементов / под ред. Л.И. Турчака. М.: Физматлит, 2010. 1024 с.
  4. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физматлит, 2006. 392 с.
  5. Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента // Известия ВолгГТУ. 2010. Т. 4. № 4. С. 125-128.
  6. Каюмов Р.А. К решению задач неоднородной теории упругости методом конечных элементов // Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). Ч. 1. Математические модели механики, прочность и надежность конструкций. Самара: СамГТУ, 2005. С. 143-145. (Серия «Математическое моделирование и краевые задачи»).
  7. Киселев А.П., Киселева Р.З., Николаев А.П. Учет смещения как жесткого целого осесимметрично нагруженной оболочки вращения на основе МКЭ // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 6. С. 59-64.
  8. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Ищанов Т.Р. Конечно-элементный анализ НДС оболочек вращения с учетом деформаций поперечного сдвига // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 5. С. 48-56.
  9. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Соболевская Т.А., Клочков М.Ю. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов различной мерности при анализе НДС тонких оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 6. С. 459-466.
  10. Гуреева Н.А., Арьков Д.П. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 4. С. 32-36.
  11. Beirão da Veiga L., Lovadina C., Mora D. A virtual element method for elastic and inelastic problems on polytope meshes // Computer methods in applied mechanics and engineering. 2015. Vol. 295. Pp. 327-346.
  12. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Kiseleva T.A. Stress-strain analysis of a thin-shell part of fuselage using a triangular finite element with Lagrange multipliers // Russian Aeronautics. 2016. Vol. 59. No. 3. Pp. 316-323.
  13. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Calculation of rotation shells using finite triangular elements with Lagrange multipliers in variative approximation of displacements // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2016. Vol. 45. No. 1. Pp. 51-58.
  14. Magisano D., Liabg K., Garcea G., Leonetti L., Ruess M. An efficient mixed variational reduced order model formulation for nonlinear analyses of elastic shells // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2018. Vol. 113. Issue 4. Pp. 634-655.
  15. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Расчет осесимметрично нагруженной оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности на основе смешанного МКЭ // Изв. вузов. Авиационная техника. 2014. № 4. С. 14-19.
  16. Бандурин Н.Г., Гуреева Н.А. Определение плоского напряженного состояния оболочек на основе смешанной формулировки метода конечных элементов с учетом геометрической нелинейности // Космонавтика и ракетостроение. 2013. Т. 1. № 70. С. 69-75.
  17. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Решение плоской задачи теории упругости по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2013. Вып. 31-2 (50). С. 337-343.

© Гуреева Н.А., Николаев А.П., Юшкин В.Н., 2020

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах