Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Data Analysis, Decision Making and Financial Technologies
доктор физико-математических наук, доцент, доцент департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий
Doctor Of Technical Sciences, Professor, Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования
Candidate Of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования
The aim of the work - comparison of the results of determining the parameters of the stress-strain state of plane-loaded elastic bodies based on the finite element method in the formulation of the displacement method and in the mixed formulation. Methods. Algorithms of the finite element method in various formulations have been developed and applied. Results. In the Cartesian coordinate system, to determine the stress-strain state of an elastic body under plane loading, a finite element of a quadrangular shape is used in two formulations: in the formulation of the method of displacements with nodal unknowns in the form of displacements and their derivatives, and in a mixed formulation with nodal unknowns in the form of displacements and stresses. The approximation of displacements through the nodal unknowns when obtaining the stiffness matrix of the finite element was carried out using the form function, whose elements were adopted Hermite polynomials of the third degree. Upon receipt of the deformation matrix, the displacements and stresses of the internal points of the finite element were approximated through nodal unknowns using bilinear functions. The stiffness matrix of the quadrangular finite element in the formulation of the displacement method is obtained on the basis of a functional based on the difference between the actual workings of external and internal forces under loading of a solid. The matrix of deformation of the finite element was formed on the basis of a mixed functional obtained from the proposed functional by repla-cing the actual work of internal forces with the difference between the total and additional work of internal forces when loading the body. The calculation example shows a significant advantage of using a finite element in a mixed formulation.
Цель исследования - сравнение результатов определения параметров напряженно-деформированного состояния плосконагруженных упругих тел на основе метода конечных элементов в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке. Методы. Разработаны и применены алгоритмы метода конечных элементов в различных формулировках. Результаты. В декартовой системе координат для определения напряженно-деформированного состояния упругого тела при плоском нагружении использован конечный элемент четырехугольной формы в двух формулировках: в формулировке метода перемещений с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных и в смешанной формулировке с узловыми неизвестными в виде перемещений и напряжений. Аппроксимация перемещений через узловые неизвестные при получении матрицы жесткости конечного элемента выполнялась с использованием функции формы, элементами которой принимались полиномы Эрмита третьей степени. При получении матрицы деформирования перемещения и напряжения внутренней точки конечного элемента аппроксимировались через узловые неизвестные с использованием билинейных функций. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента в формулировке метода перемещений получена на основе функционала, основанного на разности действительных работ внешних и внутренних сил при нагружении твердого тела. Матрица деформирования конечного элемента формировалась на основе смешанного функционала, полученного из предложенного функционала путем замены действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ внутренних сил при нагружении тела. На примере расчета показано существенное преимущество использования конечного элемента в смешанной формулировке.