TRANSFORMATION ELEMENT BETWEEN THE DEPENDENCE OF THE FRAC- TURE MECHANICS AND THE EQUATIONS OF THE REINFORCED CONCRETE THEORY IN THE CONDITIONS OF A COMPLEX RESISTANCE

Full Text

В последние годы наибольший интерес представляют разработки моделей деформирования железобетона с использованием и развитием основных положений и инструментария механики разрушения [1-5], благодаря которым по- является возможность тщательного изучения напряженно-деформированного состояния в зонах, прилегающим к трещинам. Продолжая эти исследования [4, 6, 7], в работе описаны ключевые положения по разработке универсального короткого двухконсольного элемента применительно к сложному сопротивлению железобетонных конструкций при изгибе с кручением. Отличительной характерной чертой железобетона, конечно же, появление трещин при деформационных и силовых воздействиях. Железобетонные конструкции, как правило, эксплуатируются в стадии, наступающей после образования трещин (ограничивается только ширина их раскрытия). По этой причине логичным является желание определить напряженно-деформированное состояние вблизи трещины. Такая задача может быть решена с использованием базовых положений и гипотез механики разрушения, стремительно развивающейся в последнее время [1, 2]. Применение инструментария механики разрушения [4] для построения расчета, применительно к ширине раскрытия трещин (их развития и определения расстояний между трещинами) железобетонных конструкций, безусловно, дает возможность уточнить такой дифференциальный пара- метр, относительно определяемого в экспериментах с использованием микроскопа. Результаты, достигнутые в в данной сфере, позволяют уже сегодня расширить данные, полученные экспериментально на расчет железобетонных конструкций [1-3]. При этом необходимо учитывать специфику материала. Многое зависит и от удачного выделения в расчетной модели двухконсольного элемента [4, 6, 7]. Ключевые аспекты механики разрушения, заостряют внимание на области предразрушения с локализованной деформацией w в этой зоне [1-7]. Важно, что механизм страгивания трещины (при ее развитии) заложен именно в этой зоне, и поэтому (не смотря на то, что максимальные напряжения в этой зоне не превышают значения Rbt, и вклад напряженного состояния рассматриваемой зоны в общее сопротивление поперечного сечения железобетонной конструкции малозаметен), детальное ее рассмотрение имеет важнейшее значение. Страгивание трещины осуществляется после достижения раскрытия трещины в начале зоны предразрушения определенного критического значения u (являющегося константой материала), равного предельному перемещению на диаграмме s - (гипотеза, аналогичная принятой в моделях Шаха, Бажанта [1], Хиллерборга - Модера - Петерсона [5], Зайцева Ю.В. [2], Голышева - Колчунова - Яковенка [3, 4, 6, 7] и др.). В данной области происходит образование новых удельных поверхностей трещины. Нахождение скорости высвобождения энергии производится с использованием функционала механики разрушения: , (1) где - снижение потенциальной энергии конструкции при продвижении трещины на малое приращение ; - дополнительная работа, которая совершается над конструкцией при продвижении трещины на малое приращение . Рассмотрим более детально основные положения и предпосылки моделирования двухконсольного элемента (ДКЭ) включающего трещину, для разработки расчетного аппарата железобетона. Для сплошного тела, напряженно- деформированное состояние которого определяется методами механики твердого деформируемого тела, выделяется элементарный куб, описывающий взаимосвязь между деформациями и напряжениями в точке. Далее, при рассмотрении поперечного сечения полученная связь интегрируется по всей площади сечения. Та- ким образом, задача сводится к дифференциальным уравнениям, решение которых в целом ряде случаев весьма громоздко. В сопротивлении материалов используется упрощающая гипотеза Бернулли деформаций в поперечном сечении. Для железобетонных конструкций при наличии трещин (с нарушенной сплошностью конструкции) при формировании зависимостей между перемещениями и напряжениями методы, используемые в теории упругости, пластичности и сопротивлении материалов, являются неприемлемыми. Однако использование основного метода сечений для железобетонной конструкции с трещинами дает свои положительные результаты. Данное утверждение справедливо и к приближенному определению коэффициента интенсивности напряжений, его же можно использовать и при построении специального ДКЭ в механике разрушения. Выделение такого ДКЭ, включающего трещину для стержневого железобетонного элемента имеет свои особенности [3, 6, 7]. Во-первых, если ДКЭ выделяется для длинного двухконсольного элемента (полностью включающего всю трещину), на всю длину трещины, а не для какого- то ее элементарного участка, тогда длина трещины в общем случае определяется из следующего условия механики разрушения: . (2) При этом, следует подчеркнуть, что возникающие здесь сложности являются основной причиной (наряду с необходимостью использования комплексных чисел), по которой детально разработанный инструментарий механики разрушения (позволяющий изучить специфику сопротивления конструкции в окрест- ности трещины) еще не нашел должного применения в теории железобетона. Рассмотрим короткий ДКЭ, длина которого известна по конструктивным соображениям (выделяется на половине длины зоны, прилегающей к трещине, рас- положенной между рабочими арматурными стержнями, например, хомутами или многоярусной продольной арматурой), рис. 1. При этом, условие (из которого находится длина трещины ) заменяется условием для отыскания проекции пространственной трещины С, с использованием функции Лагранжа для многих переменных (расчетных параметров разработанной деформационной модели) с использованием множителей Лагранжа . Тогда, из условия экстремума функции многих переменных , и вытекающих из него равенств нулю соответствующих частных производных: , (3) определяется проекция пространственной трещины С. Во-вторых, усилия в сечениях, проходящих на расстоянии t и (для уни- версального двухконсольного элемента) от трещины, необходимо связать с неизвестными составляющими напряженно-деформированного состояния железобетонной конструкции. В-третьих, необходимо учитывать виртуальные перемещения выделенных консолей ДКЭ при повороте нейтральной оси железобетонного элемента и углах поворота рабочего арматурного стержня, вызванного нагельными усилиями, т. е. защемление консолей с обеих сторон ДКЭ, в ряде случаев, может быть не абсо- лютно жестким. Таким образом, выделение ДКЭ для железобетона (являющегося трансфор- мационным между зависимостями механики разрушения и теорией железобетона) является весьма важной, но непростой задачей. Конечно же, ее необходимо увя- зать как с задачей определения напряженно-деформированного состояния попе- речного сечения железобетонной конструкции, но также и с задачей сцепления между бетоном и арматурой. Дело в том, что появление трещины в сплошной кон- струкции целесообразно рассматривать в виде некоторого деформационного воз- действия, отражающегося на специфике сцепления арматуры и бетона в областях, расположенных в окрестностях трещины. С помощью ДКЭ представляется наибо- лее удачной (в отличии от использования функции Гурса с комплексными числа- ми [8]) связь его напряженно-деформированного состояния с величиной ?bu в зоне предразрушения. При этом податливость берегов трещины, через которую может быть выражена величина zbu, определяется с использованием функционала меха- ники разрушения. Таким образом, ДКЭ используется в качестве трансформацион- ного элемента между зависимостями механики разрушения и механики твердого деформируемого тела. Вышеизложенные предпосылки были использованы при разработке уни- версального короткого двухконсольного элемента, пригодного, в том числе для решения задачи сложного сопротивления железобетонных конструкций при кручении с изгибом (рис. 1). Рис. 1. Универсальный ДКЭ для реализации зависимостей механики разрушения в же- лезобетоне в зоне пространственных трещин: а - двухконсольный элемент, вырезанный в окрестности пространственной трещины, прилегающей к рабочей арматуре и харак- терные эпюры напряжений в растянутом бетоне; б - особенности НДС на кончике трещины Здесь параметр в соответствии с принципом Сен-Венана и исследований околоарматурной зоны, выполненных с привлечением полуаналитических и численных методов, в первом приближении равен полутора диаметра арматуры. Растягивающие напряжения в выделенных сечениях распределены по закону квадратной параболы от нейтральной оси до точки, где меняется знак этих на- пряжений. При этом максимальная их величина ограничивается значением , поэтому на значительном участке действительная эпюра растягивающих на- пряжений заменяется прямоугольником, независимо от закона их распределе- ния в упругой стадии. Сжимающие напряжения на участках, прилегающих к арматуре, в этих же сечениях распределяются по треугольнику. Принимается в зоне, прилегающей к арматуре, равной значению защит- ного слоя плюс половина диаметра и это значение удваивается (так как полоска выделяется с двух сторон арматурного стержня см. рис. 1). При изгибе (растяжении-сжатии) выражение (4) не используется, потому что геометрия трещины по толщине b не изменяется. Пространственная же трещина при кручении элемента закручивается, т. е. ее профиль изменяется по толщине. В итоге, , (4) и принимается не более 4d диаметров рабочей арматуры. Здесь и - расс- тояние от центра рабочей арматуры до нижней грани поперечного сечения и диаметр рабочей арматуры, соответственно. Уместно заметить, что физический смысл формулы (4) обусловлен прин- ципом Сен-Венанана, применительно к околоарматурным зонам рабочих арма- турных стержней, прилегающим к пространственной трещине и подтверждает- ся рядом экспериментальных исследований - Гарбой М.О. [9], Демьянова А.И. [10], Немировского Я.М., Колчунова Вл.И. [3, 4, 6, 7], Покусаева А.А. [11], Сальникова А.С. [12], Яковенка И.А. [4, 6, 7] и др. Крутящий момент, который приходится на полоску, занимаемую ДКЭ, оп- ределяется из пропорции: . (5) Аналогичным образом записываются соответствующие соотношения при- менительно к поперечной силе и изгибающему моменту, т.е.: , (6) , (7)п поэтому, несмотря на то, что имеется возможность описать пространственную трещину с помощью билинейной поверхности [13] (или поверхности, предло- женной Пьером Безье [14] и использованную И.В. Бахотским [15] для решения задачи кручения базальтобетонных конструкций), разбив ее предварительно на маленькие квадраты, применительно к построению универсального ДКЭ, при- годного, в том числе для решения задачи сопротивления железобетонных кон- струкций при кручении с изгибом. Для выделенного ДКЭ на толщине , оп- ределяемой по формуле (4), логично упростить эту поверхность, приняв ее на- клон постоянным в пределах (угол - угол наклона пространственной трещины в плоскости, поперечного сечения). В свою очередь, угол наклона пространственной трещины в вертикальной продольной плоскости, перпенди- кулярной поперечному сечению, - угол также принимается постоянным в пределах расстояния между хомутами. До половины толщины b прямоугольной железобетонной конструкции, он принимается равным , а для второй по- ловины, - ?2, crc: . (8) Знак «плюс» или «минус» принимается в зависимости от того, относитель- но какой стороны боковой поверхности (правой или левой) начинается отсчет угла. Принятые упрощения могут значительно упростить разрешающие уравне- ния, не замыкая на них в единую систему сложное уравнение поверхности про- странственной трещины (на каждом шаге итерации), а используя его дискретно для выбранной полоски, толщиной . Итерационный процесс организован при использовании в качестве инстру- ментария переходного (трансформационного) ДКЭ между зависимостями меха- ники разрушения и теории железобетона. В случаях, когда возникает необходимость получения более точного реше- ния, полоска разбивается с помощью сетки малых квадратов (см. рис. 1) и пространственная трещина в пределах этой полоски моделируется ломанной поверхностью. При этом угловые точки малых квадратов определяются на ос- новании уравнений билинейной поверхности, описанной в работе [13], Пьером Безье в работе [14] и И.В. Бахотским [15]. Для определения неизвестного воспользуемся выражением величины , как функции податливости. Эту функция вычисляется из определения скорости высвобождения энергии (см. формулу1). Анализ зависимостей «силовое воздействие - перемещение» для состав- ляющих внутренних усилий на выделенный ДКЭ показывает, что такие зависи- мости нелинейны и могут иметь даже ниспадающую ветвь деформирования. Площадь таких диаграмм, через которую выражается значение потенциальной энергии, отличается от . Здесь - обобщенное усилие, а - обоб- щенное перемещение. Интегралы, характеризующие площади этих диаграмм, дают довольно близкие значения к величине , поэтому выражение для потенциальной энергии, накопленной в теле, может быть представлено в виде: . (9) Податливость рассматриваемого элемента определяется соотношением: . (10) Тогда, ; (11) . (12) Аналогично можно преобразовать член : . (13) Подставляя выражения (12), (13) в уравнение (1), получим: . (14) Применительно к выделенному двухконсольному элементу, находящемуся под воздействием ряда усилий, ( , , q, ), выражение (14) приоб- ретает вид: . (15) Для реализации полученной зависимости, обратимся к рис. 1. Перемещения в любых, интересующих сечениях определяются методами строи- тельной механики. Характеристики жесткости консоли в направлении оси рабочего арматур- ного стержня близки к упругим. Исключение составляет околоарматурная зона, но ввиду малости здесь площадей единичных эпюр, влияние характеристик же- сткости этой зоны на общие перемещения консоли незначительно. Перемещения, связанные с поворотом заделки на угол ?2 определяются из простых геометрических соотношений: ; (16) ; (17) ; (18) Таким образом, определяются параметры, входящие в формулы (15), (16), (18) и, следовательно, перемещения , а также угол поворота . Пе- реходя к соответствующим податливостям элемента, будем иметь: ; (19) ; (20) ; (21) (22) и т.д. При этом, определение параметров, входящих в формулы (19)-(22) не представляет особых затруднений, например: ; (23) . (24) Податливость, соответствующая распределенной нагрузке, может быть вы- ражена виде: ; (25) где - площадь эпюры перемещений на участке распределенной нагрузки. Аналогичным образом отыскиваются и другие параметры, приведен- ные на рис. 1. Теперь, когда все параметры, входящие в формулу (15), выражены в виде функции от параметра (именно по этому параметру выполняется диффе- ренцирование в случае использования, в качестве расчетного, длинного ДКЭ), можно переходить к преобразованиям этой формулы: . (26) Выполняя почленное дифференцирование и после соответствующих алгеб- раических преобразований, будем иметь зависимость, связывающую касатель- ное усилие, возникающее в непосредственной близости от трещины ( ) с длиной ее развития через новую константу бетона . . (27) Зная, что , (28) обозначим , (29) тогда, , (30) где ; ; (31) ; (32) ; ; (33) . (34) Из зависимости (27) определяются касательные напряжения в зоне, непо- средственно прилегающей к трещине. Здесь, как показывают численные и экс- периментальные исследования, имеет место резкое возмущение касательных напряжений, которое сопровождается сменой знака и их скачкообразным уве- личением. При этом изменяется знак и нормальных напряжений в бетоне (из растягивающих они превращаются в сжимающие), что также подтверждается экспериментально [3, 4-6, 13]. Это объясняется тем, что после образования трещин, сплошность бетона нарушается и его деформирование уже не подчиня- ется законам сплошного тела. В зонах, расположенных в непосредственной близости к трещинам, имеет место концентрация деформаций, которая перена- сыщает потребность системы (состоящей из бетонных блоков и арматуры при заданной статической схеме) в деформациях. Таким образом, в трещинах воз- никает дополнительно деформационное воздействие. В численных эксперимен- тах получена картина напряженно-деформированного состояния, аналогичная опытной. Тогда, причиной возмущения НДС в зонах, прилегающим к трещи- нам, является дополнительное деформационное воздействие в трещине, которое необходимо учитывать в расчете. При этом выявлена связь составляющих на- пряженно-деформированного состояния в зоне возмущения с удельной энерги- ей образования новых поверхностей трещины, освобождающейся в зоне пред- разрушения. В результате получено новое решение задачи о напряженно- деформированном состоянии железобетонных конструкций в области, непосред- ственно прилегающей к трещине. Используемые в расчетной модели параметры являются функциями от Rbt, Eb, m, t, b, Icon. Кроме того, прослеживается зависи- мость напряженно-деформированного состояния железобетонного элемента в зоне прилегающей к трещине от углов поворота нейтральной оси ?1 стержневого желе- зобетонного элемента и углов поворота заделок с обоих концов двухконсольного элемента, а также от константы бетона zbu. Длина трещины в общем случае определяется из уравнений механики разрушения, с использованием условия (2). После дифференцирования (27) с учетом формул (28)-(34), будем иметь: . (35) В итоге получена аналитическая зависимость (35) для определения длины трещины hcrc. В ряде случаев, значительное упрощение достигается при замы- кании зависимости на переходный длинный двухконсольный элемент. Напри- мер, для изгибаемых железобетонных конструкций в сжатой зоне развитие тре- щины останавливается. Таким образом, hcrc является постоянной величиной, равной . В этом случае, привлечение производной от функционала а механики разрушения не требуется, так как hcrc известно. Аналогичная ситуация складывается и в случае рассмотрения короткого двухконсольного элемента, выделяемого между ярусами продольной рабочей арматуры или между поперечными стержнями (хомутами, отгибами). Здесь hcrc также известно и равняется половине расстояния между рабочими стержнями и решение заметно упрощается. Что касается определения длины проекции пространственной трещины, то ее можно найти с привлечением функции многих переменных с использованием множителей Лагранжа . Таким образом в случае разработки модели котортого двухконсольного элемента стала возможной разработка универсального двухконсольного элемента для сложного сопротивления железобетонных конструкций, в том числе пригодного для сложного напряженного состояния -кручения с изгибом. В тех случаях, когда hcrc известно, параметры , , … , отыскиваются с использованием методов строительной механики.

About the authors

ALEXEY I DEM'YANOV

Southwest State University, Kursk, Russian Federation

Author for correspondence.
Email: speccompany@gmail.com

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Industrial and Civil Engineering Department Southwest State University, Kursk, Russia. Scientific interests: reinforced concrete structures of buildings and structures, resistance of reinforced concrete structures under the action torsion with bending.

Russian Federation, 50 let Oktyabrya Street, 94, Kursk, 305040, Russian Federation

IGOR A YAKOVENKO

National Aviation University, Kiev, Ukraine

Email: i2103@ukr.net

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Computer Technology of Construction Department National Aviation University, Kiev, Ukraine. Scientific interests: reinforced concrete structures of buildings and structures, reinforced concrete composite structures, reconstruction of buildings and structures, mechanics of destruction of reinforced concrete

Ukraine, Prosp. Kosmonavta Komarova, Kyiv, 03058, Ukraine

VLADIMIR I KOLCHUNOV

Southwest State University, Kursk, Russian Federation

Email: vlik52@mail.ru

Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Unique Buildings and Structures Department, Southwest State University, Kursk, Russia. Foreign member of RAASN. Scientific interests: reinforced concrete structures of buildings and structures, mechanics of reinforced concrete, reconstruction of buildings and structures, reinforced concrete composite structures

Russian Federation, 50 let Oktyabrya Street, 94, Kursk, 305040, Russian Federation

References

Supplementary files