ТРАНСФОРМАЦИОННЫЙ ЭЛЕМЕНТ МЕЖДУ ЗАВИСИМОСТЯМИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯМИ ТЕОРИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА В УСЛОВИЯХ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Полный текст

В последние годы наибольший интерес представляют разработки моделей деформирования железобетона с использованием и развитием основных положений и инструментария механики разрушения [1-5], благодаря которым по- является возможность тщательного изучения напряженно-деформированного состояния в зонах, прилегающим к трещинам. Продолжая эти исследования [4, 6, 7], в работе описаны ключевые положения по разработке универсального короткого двухконсольного элемента применительно к сложному сопротивлению железобетонных конструкций при изгибе с кручением. Отличительной характерной чертой железобетона, конечно же, появление трещин при деформационных и силовых воздействиях. Железобетонные конструкции, как правило, эксплуатируются в стадии, наступающей после образования трещин (ограничивается только ширина их раскрытия). По этой причине логичным является желание определить напряженно-деформированное состояние вблизи трещины. Такая задача может быть решена с использованием базовых положений и гипотез механики разрушения, стремительно развивающейся в последнее время [1, 2]. Применение инструментария механики разрушения [4] для построения расчета, применительно к ширине раскрытия трещин (их развития и определения расстояний между трещинами) железобетонных конструкций, безусловно, дает возможность уточнить такой дифференциальный пара- метр, относительно определяемого в экспериментах с использованием микроскопа. Результаты, достигнутые в в данной сфере, позволяют уже сегодня расширить данные, полученные экспериментально на расчет железобетонных конструкций [1-3]. При этом необходимо учитывать специфику материала. Многое зависит и от удачного выделения в расчетной модели двухконсольного элемента [4, 6, 7]. Ключевые аспекты механики разрушения, заостряют внимание на области предразрушения с локализованной деформацией w в этой зоне [1-7]. Важно, что механизм страгивания трещины (при ее развитии) заложен именно в этой зоне, и поэтому (не смотря на то, что максимальные напряжения в этой зоне не превышают значения Rbt, и вклад напряженного состояния рассматриваемой зоны в общее сопротивление поперечного сечения железобетонной конструкции малозаметен), детальное ее рассмотрение имеет важнейшее значение. Страгивание трещины осуществляется после достижения раскрытия трещины в начале зоны предразрушения определенного критического значения u (являющегося константой материала), равного предельному перемещению на диаграмме s - (гипотеза, аналогичная принятой в моделях Шаха, Бажанта [1], Хиллерборга - Модера - Петерсона [5], Зайцева Ю.В. [2], Голышева - Колчунова - Яковенка [3, 4, 6, 7] и др.). В данной области происходит образование новых удельных поверхностей трещины. Нахождение скорости высвобождения энергии производится с использованием функционала механики разрушения: , (1) где - снижение потенциальной энергии конструкции при продвижении трещины на малое приращение ; - дополнительная работа, которая совершается над конструкцией при продвижении трещины на малое приращение . Рассмотрим более детально основные положения и предпосылки моделирования двухконсольного элемента (ДКЭ) включающего трещину, для разработки расчетного аппарата железобетона. Для сплошного тела, напряженно- деформированное состояние которого определяется методами механики твердого деформируемого тела, выделяется элементарный куб, описывающий взаимосвязь между деформациями и напряжениями в точке. Далее, при рассмотрении поперечного сечения полученная связь интегрируется по всей площади сечения. Та- ким образом, задача сводится к дифференциальным уравнениям, решение которых в целом ряде случаев весьма громоздко. В сопротивлении материалов используется упрощающая гипотеза Бернулли деформаций в поперечном сечении. Для железобетонных конструкций при наличии трещин (с нарушенной сплошностью конструкции) при формировании зависимостей между перемещениями и напряжениями методы, используемые в теории упругости, пластичности и сопротивлении материалов, являются неприемлемыми. Однако использование основного метода сечений для железобетонной конструкции с трещинами дает свои положительные результаты. Данное утверждение справедливо и к приближенному определению коэффициента интенсивности напряжений, его же можно использовать и при построении специального ДКЭ в механике разрушения. Выделение такого ДКЭ, включающего трещину для стержневого железобетонного элемента имеет свои особенности [3, 6, 7]. Во-первых, если ДКЭ выделяется для длинного двухконсольного элемента (полностью включающего всю трещину), на всю длину трещины, а не для какого- то ее элементарного участка, тогда длина трещины в общем случае определяется из следующего условия механики разрушения: . (2) При этом, следует подчеркнуть, что возникающие здесь сложности являются основной причиной (наряду с необходимостью использования комплексных чисел), по которой детально разработанный инструментарий механики разрушения (позволяющий изучить специфику сопротивления конструкции в окрест- ности трещины) еще не нашел должного применения в теории железобетона. Рассмотрим короткий ДКЭ, длина которого известна по конструктивным соображениям (выделяется на половине длины зоны, прилегающей к трещине, рас- положенной между рабочими арматурными стержнями, например, хомутами или многоярусной продольной арматурой), рис. 1. При этом, условие (из которого находится длина трещины ) заменяется условием для отыскания проекции пространственной трещины С, с использованием функции Лагранжа для многих переменных (расчетных параметров разработанной деформационной модели) с использованием множителей Лагранжа . Тогда, из условия экстремума функции многих переменных , и вытекающих из него равенств нулю соответствующих частных производных: , (3) определяется проекция пространственной трещины С. Во-вторых, усилия в сечениях, проходящих на расстоянии t и (для уни- версального двухконсольного элемента) от трещины, необходимо связать с неизвестными составляющими напряженно-деформированного состояния железобетонной конструкции. В-третьих, необходимо учитывать виртуальные перемещения выделенных консолей ДКЭ при повороте нейтральной оси железобетонного элемента и углах поворота рабочего арматурного стержня, вызванного нагельными усилиями, т. е. защемление консолей с обеих сторон ДКЭ, в ряде случаев, может быть не абсо- лютно жестким. Таким образом, выделение ДКЭ для железобетона (являющегося трансфор- мационным между зависимостями механики разрушения и теорией железобетона) является весьма важной, но непростой задачей. Конечно же, ее необходимо увя- зать как с задачей определения напряженно-деформированного состояния попе- речного сечения железобетонной конструкции, но также и с задачей сцепления между бетоном и арматурой. Дело в том, что появление трещины в сплошной кон- струкции целесообразно рассматривать в виде некоторого деформационного воз- действия, отражающегося на специфике сцепления арматуры и бетона в областях, расположенных в окрестностях трещины. С помощью ДКЭ представляется наибо- лее удачной (в отличии от использования функции Гурса с комплексными числа- ми [8]) связь его напряженно-деформированного состояния с величиной ?bu в зоне предразрушения. При этом податливость берегов трещины, через которую может быть выражена величина zbu, определяется с использованием функционала меха- ники разрушения. Таким образом, ДКЭ используется в качестве трансформацион- ного элемента между зависимостями механики разрушения и механики твердого деформируемого тела. Вышеизложенные предпосылки были использованы при разработке уни- версального короткого двухконсольного элемента, пригодного, в том числе для решения задачи сложного сопротивления железобетонных конструкций при кручении с изгибом (рис. 1). Рис. 1. Универсальный ДКЭ для реализации зависимостей механики разрушения в же- лезобетоне в зоне пространственных трещин: а - двухконсольный элемент, вырезанный в окрестности пространственной трещины, прилегающей к рабочей арматуре и харак- терные эпюры напряжений в растянутом бетоне; б - особенности НДС на кончике трещины Здесь параметр в соответствии с принципом Сен-Венана и исследований околоарматурной зоны, выполненных с привлечением полуаналитических и численных методов, в первом приближении равен полутора диаметра арматуры. Растягивающие напряжения в выделенных сечениях распределены по закону квадратной параболы от нейтральной оси до точки, где меняется знак этих на- пряжений. При этом максимальная их величина ограничивается значением , поэтому на значительном участке действительная эпюра растягивающих на- пряжений заменяется прямоугольником, независимо от закона их распределе- ния в упругой стадии. Сжимающие напряжения на участках, прилегающих к арматуре, в этих же сечениях распределяются по треугольнику. Принимается в зоне, прилегающей к арматуре, равной значению защит- ного слоя плюс половина диаметра и это значение удваивается (так как полоска выделяется с двух сторон арматурного стержня см. рис. 1). При изгибе (растяжении-сжатии) выражение (4) не используется, потому что геометрия трещины по толщине b не изменяется. Пространственная же трещина при кручении элемента закручивается, т. е. ее профиль изменяется по толщине. В итоге, , (4) и принимается не более 4d диаметров рабочей арматуры. Здесь и - расс- тояние от центра рабочей арматуры до нижней грани поперечного сечения и диаметр рабочей арматуры, соответственно. Уместно заметить, что физический смысл формулы (4) обусловлен прин- ципом Сен-Венанана, применительно к околоарматурным зонам рабочих арма- турных стержней, прилегающим к пространственной трещине и подтверждает- ся рядом экспериментальных исследований - Гарбой М.О. [9], Демьянова А.И. [10], Немировского Я.М., Колчунова Вл.И. [3, 4, 6, 7], Покусаева А.А. [11], Сальникова А.С. [12], Яковенка И.А. [4, 6, 7] и др. Крутящий момент, который приходится на полоску, занимаемую ДКЭ, оп- ределяется из пропорции: . (5) Аналогичным образом записываются соответствующие соотношения при- менительно к поперечной силе и изгибающему моменту, т.е.: , (6) , (7)п поэтому, несмотря на то, что имеется возможность описать пространственную трещину с помощью билинейной поверхности [13] (или поверхности, предло- женной Пьером Безье [14] и использованную И.В. Бахотским [15] для решения задачи кручения базальтобетонных конструкций), разбив ее предварительно на маленькие квадраты, применительно к построению универсального ДКЭ, при- годного, в том числе для решения задачи сопротивления железобетонных кон- струкций при кручении с изгибом. Для выделенного ДКЭ на толщине , оп- ределяемой по формуле (4), логично упростить эту поверхность, приняв ее на- клон постоянным в пределах (угол - угол наклона пространственной трещины в плоскости, поперечного сечения). В свою очередь, угол наклона пространственной трещины в вертикальной продольной плоскости, перпенди- кулярной поперечному сечению, - угол также принимается постоянным в пределах расстояния между хомутами. До половины толщины b прямоугольной железобетонной конструкции, он принимается равным , а для второй по- ловины, - ?2, crc: . (8) Знак «плюс» или «минус» принимается в зависимости от того, относитель- но какой стороны боковой поверхности (правой или левой) начинается отсчет угла. Принятые упрощения могут значительно упростить разрешающие уравне- ния, не замыкая на них в единую систему сложное уравнение поверхности про- странственной трещины (на каждом шаге итерации), а используя его дискретно для выбранной полоски, толщиной . Итерационный процесс организован при использовании в качестве инстру- ментария переходного (трансформационного) ДКЭ между зависимостями меха- ники разрушения и теории железобетона. В случаях, когда возникает необходимость получения более точного реше- ния, полоска разбивается с помощью сетки малых квадратов (см. рис. 1) и пространственная трещина в пределах этой полоски моделируется ломанной поверхностью. При этом угловые точки малых квадратов определяются на ос- новании уравнений билинейной поверхности, описанной в работе [13], Пьером Безье в работе [14] и И.В. Бахотским [15]. Для определения неизвестного воспользуемся выражением величины , как функции податливости. Эту функция вычисляется из определения скорости высвобождения энергии (см. формулу1). Анализ зависимостей «силовое воздействие - перемещение» для состав- ляющих внутренних усилий на выделенный ДКЭ показывает, что такие зависи- мости нелинейны и могут иметь даже ниспадающую ветвь деформирования. Площадь таких диаграмм, через которую выражается значение потенциальной энергии, отличается от . Здесь - обобщенное усилие, а - обоб- щенное перемещение. Интегралы, характеризующие площади этих диаграмм, дают довольно близкие значения к величине , поэтому выражение для потенциальной энергии, накопленной в теле, может быть представлено в виде: . (9) Податливость рассматриваемого элемента определяется соотношением: . (10) Тогда, ; (11) . (12) Аналогично можно преобразовать член : . (13) Подставляя выражения (12), (13) в уравнение (1), получим: . (14) Применительно к выделенному двухконсольному элементу, находящемуся под воздействием ряда усилий, ( , , q, ), выражение (14) приоб- ретает вид: . (15) Для реализации полученной зависимости, обратимся к рис. 1. Перемещения в любых, интересующих сечениях определяются методами строи- тельной механики. Характеристики жесткости консоли в направлении оси рабочего арматур- ного стержня близки к упругим. Исключение составляет околоарматурная зона, но ввиду малости здесь площадей единичных эпюр, влияние характеристик же- сткости этой зоны на общие перемещения консоли незначительно. Перемещения, связанные с поворотом заделки на угол ?2 определяются из простых геометрических соотношений: ; (16) ; (17) ; (18) Таким образом, определяются параметры, входящие в формулы (15), (16), (18) и, следовательно, перемещения , а также угол поворота . Пе- реходя к соответствующим податливостям элемента, будем иметь: ; (19) ; (20) ; (21) (22) и т.д. При этом, определение параметров, входящих в формулы (19)-(22) не представляет особых затруднений, например: ; (23) . (24) Податливость, соответствующая распределенной нагрузке, может быть вы- ражена виде: ; (25) где - площадь эпюры перемещений на участке распределенной нагрузки. Аналогичным образом отыскиваются и другие параметры, приведен- ные на рис. 1. Теперь, когда все параметры, входящие в формулу (15), выражены в виде функции от параметра (именно по этому параметру выполняется диффе- ренцирование в случае использования, в качестве расчетного, длинного ДКЭ), можно переходить к преобразованиям этой формулы: . (26) Выполняя почленное дифференцирование и после соответствующих алгеб- раических преобразований, будем иметь зависимость, связывающую касатель- ное усилие, возникающее в непосредственной близости от трещины ( ) с длиной ее развития через новую константу бетона . . (27) Зная, что , (28) обозначим , (29) тогда, , (30) где ; ; (31) ; (32) ; ; (33) . (34) Из зависимости (27) определяются касательные напряжения в зоне, непо- средственно прилегающей к трещине. Здесь, как показывают численные и экс- периментальные исследования, имеет место резкое возмущение касательных напряжений, которое сопровождается сменой знака и их скачкообразным уве- личением. При этом изменяется знак и нормальных напряжений в бетоне (из растягивающих они превращаются в сжимающие), что также подтверждается экспериментально [3, 4-6, 13]. Это объясняется тем, что после образования трещин, сплошность бетона нарушается и его деформирование уже не подчиня- ется законам сплошного тела. В зонах, расположенных в непосредственной близости к трещинам, имеет место концентрация деформаций, которая перена- сыщает потребность системы (состоящей из бетонных блоков и арматуры при заданной статической схеме) в деформациях. Таким образом, в трещинах воз- никает дополнительно деформационное воздействие. В численных эксперимен- тах получена картина напряженно-деформированного состояния, аналогичная опытной. Тогда, причиной возмущения НДС в зонах, прилегающим к трещи- нам, является дополнительное деформационное воздействие в трещине, которое необходимо учитывать в расчете. При этом выявлена связь составляющих на- пряженно-деформированного состояния в зоне возмущения с удельной энерги- ей образования новых поверхностей трещины, освобождающейся в зоне пред- разрушения. В результате получено новое решение задачи о напряженно- деформированном состоянии железобетонных конструкций в области, непосред- ственно прилегающей к трещине. Используемые в расчетной модели параметры являются функциями от Rbt, Eb, m, t, b, Icon. Кроме того, прослеживается зависи- мость напряженно-деформированного состояния железобетонного элемента в зоне прилегающей к трещине от углов поворота нейтральной оси ?1 стержневого желе- зобетонного элемента и углов поворота заделок с обоих концов двухконсольного элемента, а также от константы бетона zbu. Длина трещины в общем случае определяется из уравнений механики разрушения, с использованием условия (2). После дифференцирования (27) с учетом формул (28)-(34), будем иметь: . (35) В итоге получена аналитическая зависимость (35) для определения длины трещины hcrc. В ряде случаев, значительное упрощение достигается при замы- кании зависимости на переходный длинный двухконсольный элемент. Напри- мер, для изгибаемых железобетонных конструкций в сжатой зоне развитие тре- щины останавливается. Таким образом, hcrc является постоянной величиной, равной . В этом случае, привлечение производной от функционала а механики разрушения не требуется, так как hcrc известно. Аналогичная ситуация складывается и в случае рассмотрения короткого двухконсольного элемента, выделяемого между ярусами продольной рабочей арматуры или между поперечными стержнями (хомутами, отгибами). Здесь hcrc также известно и равняется половине расстояния между рабочими стержнями и решение заметно упрощается. Что касается определения длины проекции пространственной трещины, то ее можно найти с привлечением функции многих переменных с использованием множителей Лагранжа . Таким образом в случае разработки модели котортого двухконсольного элемента стала возможной разработка универсального двухконсольного элемента для сложного сопротивления железобетонных конструкций, в том числе пригодного для сложного напряженного состояния -кручения с изгибом. В тех случаях, когда hcrc известно, параметры , , … , отыскиваются с использованием методов строительной механики.

Об авторах

АЛЕКСЕЙ ИВАНОВИЧ ДЕМЬЯНОВ

Юго-западный государственный университет, Курск, Россия

Автор, ответственный за переписку.
Email: speccompany@gmail.com

кандидат технических наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства, Юго-Западный государственный университет, Курск, Россия. Научные интересы: железобетонные конструкции зданий и сооружений, сопротивление железобетонных конструкций при кручении с изгибом

Россия, 305040, Россия, Курск, ул. 50 лет Октября, 94

ИГОРЬ АНАТОЛЬЕВИЧ ЯКОВЕНКО

Национальный авиационный университет, Киев, Украина

Email: i2103@ukr.net

кандидат технических наук, доцент кафедры компьютерных технологий, Национальный авиационный университет, Киев, Украина. Научные интересы: конструкции зданий и сооружений, железобетонные составные конструкции, реконструкция зданий и сооружений, механика разрушения железобетона

Украина, 03058, Украина, Киев, Проспект Космонавта Комарова, 1

ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ КОЛЧУНОВ

Юго-западный государственный университет, Курск, Россия

Email: vlik52@mail.ru

доктор технических наук, профессор кафедры уникальных зданий и сооружений, Юго-Западный государственный университет, Курск, Россия. Иностранный член РААСН. Научные интересы: железобетонные конструкции зданий и сооружений, механика железобетона, реконструкция зданий и сооружений, железобетонные составные конструкции

Россия, Россия 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94

Список литературы