THE PROBLEM ON THE DYNAMICS OF A HOLLOW PRISM OF A RECTANGULAR CROSS SECTION

Full Text

Введение Динамика прямоугольных призм, являясь одной из интереснейших тем механики, издавна привлекает внимание большинства исследователей всего мира. Процесс распространения волн в сплошных прямоугольных призмах изучен достаточно хорошо, особенно в работах Н.Б. Расуловой [1-3], где впервые исследованы нестационарные динамические процессы и построены аналитические решения некоторых задач, с позиции трехмерной теории упругости. Случай полой призмы не рассмотрен никем. В настоящей работе впервые исследуется процесс распространения нестационарных упругих волн в полубесконечной прямоугольной полой приз- ме, при наличии смешанных условий на всех 8-ми боковых поверхностях этой призмы. 2. Постановка и решение задачи Рассмотренный процесс происходит в пространстве между боковыми поверхностями двух параллельных призм полубесконечной длины, с одинаковой центральной осью (рис. 1), где 2a1, 2b1 - длины сторон внутреннего, а 2a2, 2b2 - размеры внешнего контура поперечного сечения приз- мы (рис. 2). Вообще говоря, толщина стенок непостоянная величина, и равен- ство не обязательно. В момент торцевая площадка подвергается осевым ударным нагрузкам извне, под действием которых в рассматриваемом теле, возникают возмущения, распространяющиеся по всему телу в различных направлениях. Рассматриваемая задача требует решения следующей начально-краевой задачи математической физики. Движение описывается системой трехмерных уравнений Ляме, которые в век- торной форме имеют вид: (2.1) и оно происходит в области пространства, находящейся между поверхностями: с одной стороны и с другой, и для К этой системе присоединяются следующие начально-краевые условия: при (2.2) при (2.3) (2.4) где - вектор перемещения, - тензор напряжения, - коэффициенты Ляме, - время, - плотность материала, а - симметричная функция в отношении обеих координат. Следуя [1, 2], задача (2.1) - (2.4) сводится к интегрированию более простой системы: (2.5) Здесь и - операторы Гельмгольца, а три новые функции и связаны с двукратными преобразованиями трех компонентов перемещения (операторы Лапласа и Фурье ), по формулам: (2.6) Здесь, в левой части индекс - соответствует и индекс - преобразования Фурье, (2.7) Решение для целой полубесконечной призмы для одинаковых начальных, торцевых и боковых условий (2.2) - (2.4) легко можно получить из приведенного решения в [1]. Если взять , где и длины сторон поперечного сечения, то решение [1], точно будет удовлетворять всем условиям (2.4) на гранях призмы. Следует отметить, что, в обоих случаях, (здесь и в (1)) боковые условия являются смешанными; они относятся к типам, называемым "условия перпендикулярных сечений" (cross section conditions): (2.8) Здесь обозначены функции: а знак указывает на свертки функций, и (2.9) В таком случае зависимость искомых решений от поперечных координат оказывается в виде произведения двух простых функций: . Поскольку - функция периодическая, то этим свойством можно воспользоваться для удовлетворения боковых условий (2.4), т.к., по сути строения, эти условия заимствуют некую периодичность. Сначала рассмотрим случай, когда и где и - некие целые числа. Тогда искомое решение в точности совпадает с решением (2.8), если принимать: и В остальных случаях очевидно, что поставленная задача требует нахождения двух характерных размеров, свойственных только парным числам и Будем считать, что отношения этих размеров являются рациональными числами: (2.10) если и - рациональные числа, то очевидно, что где - некие целые числа. Тогда получим: и (2.11) В таком случае решение (2.8) будет представлять и решение настоящей задачи при условии (2.12) т.к. заодно будут удовлетворены и боковые условия (2.4), с выбором (2.12). Естественно, в этом случае, чтобы сохранить обобщения с формулой (2.9), и с учетом вида области поперечного сечения (рис. 2), соответствующие коэффициенты разложения, на этот раз, могут быть определены следующим образом: , где H(x) - функция Хэвисайда. Таким образом, простыми приемами нам удалась построить решение одной нестационарной динамической задачи для полой призмы прямоугольного попе- речного сечения

About the authors

MUBARIZ B RASOULOV

Institute Mathematics and Mechanics of NASA, Baku, Azerbaijan

Author for correspondence.
Email: rasulova@gmail.com

PhD of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Department of Wave Dynamics, Institute of Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Azerbaijan

Azerbaijan, Vahabzade Street, 9, Baku, Azerbaijan, AZ-1143

MATLAB G AGAYAROV

Sumgait State University, Sumgait, Azerbaijan

Email: rasulova@gmail.com

PhD of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Sumqait State University, Head of Additional Education Center.

Azerbaijan, 43 quarter, Sumqait, Azerbaijan, AZ-50008

References

Supplementary files