ЗАДАЧА ПО ДИНАМИКЕ ПОЛОЙ ПРИЗМЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Полный текст

Введение Динамика прямоугольных призм, являясь одной из интереснейших тем механики, издавна привлекает внимание большинства исследователей всего мира. Процесс распространения волн в сплошных прямоугольных призмах изучен достаточно хорошо, особенно в работах Н.Б. Расуловой [1-3], где впервые исследованы нестационарные динамические процессы и построены аналитические решения некоторых задач, с позиции трехмерной теории упругости. Случай полой призмы не рассмотрен никем. В настоящей работе впервые исследуется процесс распространения нестационарных упругих волн в полубесконечной прямоугольной полой приз- ме, при наличии смешанных условий на всех 8-ми боковых поверхностях этой призмы. 2. Постановка и решение задачи Рассмотренный процесс происходит в пространстве между боковыми поверхностями двух параллельных призм полубесконечной длины, с одинаковой центральной осью (рис. 1), где 2a1, 2b1 - длины сторон внутреннего, а 2a2, 2b2 - размеры внешнего контура поперечного сечения приз- мы (рис. 2). Вообще говоря, толщина стенок непостоянная величина, и равен- ство не обязательно. В момент торцевая площадка подвергается осевым ударным нагрузкам извне, под действием которых в рассматриваемом теле, возникают возмущения, распространяющиеся по всему телу в различных направлениях. Рассматриваемая задача требует решения следующей начально-краевой задачи математической физики. Движение описывается системой трехмерных уравнений Ляме, которые в век- торной форме имеют вид: (2.1) и оно происходит в области пространства, находящейся между поверхностями: с одной стороны и с другой, и для К этой системе присоединяются следующие начально-краевые условия: при (2.2) при (2.3) (2.4) где - вектор перемещения, - тензор напряжения, - коэффициенты Ляме, - время, - плотность материала, а - симметричная функция в отношении обеих координат. Следуя [1, 2], задача (2.1) - (2.4) сводится к интегрированию более простой системы: (2.5) Здесь и - операторы Гельмгольца, а три новые функции и связаны с двукратными преобразованиями трех компонентов перемещения (операторы Лапласа и Фурье ), по формулам: (2.6) Здесь, в левой части индекс - соответствует и индекс - преобразования Фурье, (2.7) Решение для целой полубесконечной призмы для одинаковых начальных, торцевых и боковых условий (2.2) - (2.4) легко можно получить из приведенного решения в [1]. Если взять , где и длины сторон поперечного сечения, то решение [1], точно будет удовлетворять всем условиям (2.4) на гранях призмы. Следует отметить, что, в обоих случаях, (здесь и в (1)) боковые условия являются смешанными; они относятся к типам, называемым "условия перпендикулярных сечений" (cross section conditions): (2.8) Здесь обозначены функции: а знак указывает на свертки функций, и (2.9) В таком случае зависимость искомых решений от поперечных координат оказывается в виде произведения двух простых функций: . Поскольку - функция периодическая, то этим свойством можно воспользоваться для удовлетворения боковых условий (2.4), т.к., по сути строения, эти условия заимствуют некую периодичность. Сначала рассмотрим случай, когда и где и - некие целые числа. Тогда искомое решение в точности совпадает с решением (2.8), если принимать: и В остальных случаях очевидно, что поставленная задача требует нахождения двух характерных размеров, свойственных только парным числам и Будем считать, что отношения этих размеров являются рациональными числами: (2.10) если и - рациональные числа, то очевидно, что где - некие целые числа. Тогда получим: и (2.11) В таком случае решение (2.8) будет представлять и решение настоящей задачи при условии (2.12) т.к. заодно будут удовлетворены и боковые условия (2.4), с выбором (2.12). Естественно, в этом случае, чтобы сохранить обобщения с формулой (2.9), и с учетом вида области поперечного сечения (рис. 2), соответствующие коэффициенты разложения, на этот раз, могут быть определены следующим образом: , где H(x) - функция Хэвисайда. Таким образом, простыми приемами нам удалась построить решение одной нестационарной динамической задачи для полой призмы прямоугольного попе- речного сечения

Об авторах

МУБАРИЗ ОГЛЫ РАСУЛОВ

Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана, Баку, Азербайджан

Автор, ответственный за переписку.
Email: rasulova@gmail.com

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, отдел Волновой динамики, Институт Математики и Механики, НАН Азербайджана.

Азербайджан, AZ1143. Азербайджан, Баку, ул. Б. Вахабзаде 9

МАТЛАБ ОГЛЫ АГАЯРОВ

Сумгаитский государственный Университет, Сумгаит, Азербайджан

Email: rasulova@gmail.com

кандидат физико-математических наук, доцент, директор Центра дополнительного образования, доцент, Сумгаитский Государственный Университет.

Азербайджан, AZ5008, Азербайджан, Сумгаит, 43й квартал

Список литературы