Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science

Пакет siunitx предназначен для типографски правильного и согласованного набора физических величин (чисел с единицами измерения) в документах LaTeX. Он автоматизирует форматирование в соответствии с правилами Международной системы единиц (СИ), что избавляет от необходимости вручную следить за пробелами, шрифтами и разделителями.

\emph {Введение} В современном мире компьютеров и сетей всё более привлекательной выглядит возможность расширения ресурсов персонального компьютера за счет облачных хранилищ и вычислений, однако, использование таких ресурсов может поставить под угрозу безопасность обрабатываемых данных. В последние двадцать лет появилось множество алгоритмов гомоморфного шифрования, позволяющих в частности решить эту задачу. Однако эти алгоритмы проектируются в основном как системы с открытым ключом, предназначенные для долгосрочного хранения и обработки данных. В данной статье предлагается два алгоритма гомоморфного шифрования, оптимизированных для однократной обработки данных. \emph {Цель} Целью работы является разработка системы кодирования информации, позволяющей проводить безопасную обработку данных в публичных облаках. \emph {Результаты} Разработаны две системы скрытых вычислений: первая, основанная на представлении чисел в виде многочленов и вторая, основанная на дальнейшем представлении многочленов в виде набора значений. Разработанные системы позволяют проводить приближённые вычисления над зашифрованными данными без их расшифровки, что позволяет проводить обработку вещественных чисел. Система отличается высоким уровнем защиты и обеспечивает высокую точность вычислений, сравнимую с точностью обеспечиваемой стандартными вычислениями компьютера. Структура зашифрованных данных позволяет проведение параллельных вычислений. Предложенная система позволяет безопасную обработку данных в публичных облачных сетях. Остаётся открытым вопрос оптимальных параметров системы защиты информации, обеспечивающих более высокую точность для ограниченного набора операций, либо постоянную точность для больших наборов операций.

В данной работе мы разрабатываем новое семейство итерационных методов высокого порядка без использования производных для решения систем нелинейных уравнений. В частности, мы предлагаем четыре двухшаговые схемы без использования производных с порядками сходимости четыре и пять, а также двенадцать трёхшаговых схем без использования производных, достигающих порядков сходимости шесть, семь и восемь. Главная особенность этих итераций заключается в том, что они включают векторный или даже скалярный параметр итерации вместо матричного параметра, присущего другим существующим итерационным методам. Это структурное упрощение значительно снижает вычислительные затраты, требования к хранению данных и матричные операции, тем самым повышая общую вычислительную эффективность. Представлен анализ сходимости, устанавливающий теоретический порядок сходимости предлагаемых методов. Выведены показатели эффективности предложенных схем и проведено их сравнение с показателями нескольких известных итерационных методов без использования производных. Численные эксперименты на стандартных академических задачах подтверждают теоретические результаты и демонстрируют, что предложенные методы являются конкурентоспособными и во многих случаях превосходят другие методы с точки зрения эффективности и устойчивости.

\emph {Предпосылки} В предыдущей статье авторов был подробно рассмотрен вопрос использования бикватернионов для задания точек, прямых и плоскостей и решения стандартных геометрических задач. Данная статья является логическим продолжением и раскрывает применение бикватернионов для описания изометрий трёхмерного пространства. \emph {Цель} Вывод всех необходимых формул для винтового движения точек, прямых и плоскостей, а также зеркальной симметрии (отражения) относительно плоскости. Доработка обозначений и формализма. \emph {Методы} Используется алгебра дуальных чисел, кватернионов и бикватернионов, а также элементы теории винтов и скользящих векторов. \emph {Результаты} Получены и систематизированы формулы для вращения, трансляции, отражения, винтового движения и зеркального вращения. \emph {Выводы} Бикватернионы могут служить полноценным инструментом для описания винтового движения в пространстве. Благодаря возможности выражения бикватернионных операций через стандартное векторное и скалярное произведения, полученные формулы допускают эффективную программную реализацию.

Строгая теория и описание динамики заряженных частиц в высокоинтенсивных электромагнитных полях имеют фундаментальное значение для разработки перспективных плазменных приложений. Точные аналитические модели должны устранять разрыв между усредненными траекториями и истинным движением частиц для предварительного определения параметров инжекции и набора энергии. Основная цель данного обзора заключается в создании строгого аналитического описания усредненного релятивистского движения электронов с упором на строгий вывод пондеромоторных сил и влияние быстро осциллирующих периодических добавок на динамические переменные. С помощью метода усреднения Крылова--Боголюбова--Митропольского для получения уравнений движения в работе анализируются релятивистские эффекты в лазерных пучках и волноводах. Теоретические результаты подтверждаются в ходе численной валидации, включающей моделирование тестовых частиц в заданных полях и трехмерное моделирование плазмы в ячейках (PIC) для режимов релятивистского самозахвата, таких как структуры «лазерная пуля» и «пузырь». В обзоре подробно описаны независимость результатов от способа описания (приближение), строгая зависимость от поляризации волны и нестрого потенциальный характер релятивистской пондеромоторной силы. Анализ показывает, что периодические быстро осциллирующие добавки необходимы для полного описания, точного задания начальных условий в усреднённых уравнениях и обеспечения достоверного прогнозирования явлений отражения и преломления электронов. Моделирование подтверждает, что быстро осциллирующие добавки определяют инжекцию электронов и заряд пучка в реалистичных сценариях лазерно-плазменного ускорения. Данный обзор демонстрирует, что комбинированное использование моделей тестовых частиц и PIC-моделирования является крайне важным для исследования пределов теории усреднённого движения. Полученные результаты имеют прямую практическую значимость для оптимизации источников излучения и служат ориентиром для развития будущих теорий, учитывающих неадиабатические эффекты и эффекты, зависящие от топологии поля.

В работе методом степенных рядов решается одномерное уравнение Шрёдингера с треугольной потенциальной функцией, которая применяется в различных современных гетероструктурах, в частности для GaAs и других. Варьируя доступные параметры, можно получить желаемую точность численного решения уравнения Шрёдингера с любым типом потенциальной функции для современных гетероструктур. Для исходного уравнения Шрёдингера получены волновые функции в виде функций Эйри и аналитическая формула для уровней энергии с помощью нулей функции Эйри. Значения энергетических уровней из этой аналитической формулы согласуются с результатами, полученными методом прямых степенных рядов, с точностью до $10^{-4}$ процентов, то есть до 5 десятичных знаков. Однако рациональнее и проще использовать решение уравнения Шрёдингера. Но для достижения высокой точности вычислений необходимо установить флажок Digits на несколько десятков значащих цифр и увеличить количество членов степенного ряда, что приводит увеличению времени счета на компьютере.

В статье делается попытка модифицировать стандартную модель Ферхюльста для описания динамики научных конференций с учётом кумулятивного преимущества.