Assistant of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
DSc., Head of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of RUDN University; Senior Researcher of Joint Institute for Nuclear Research
The article considers reversible difference schemes for dynamical systems based on the system doubling method proposed by V.N. Abrashin and S.N. Sytova. The method duplicates the original variables, leading to an extended system whose finite-difference approximation defines a birational map between time layers. The preservation of algebraic integrals in such schemes is investigated. It is proved that if the original system admits a homogeneous quadratic first integral, the corresponding bilinear form is exactly preserved by the discrete scheme. This property is demonstrated on the Jacobi oscillator, where the geometric mean of the duplicated variables ensures exact conservation of the quadratic integral. A more detailed analysis is performed on the non-trivial Vanhaecke system, an integrable Hamiltonian system with two degrees of freedom and higher-degree polynomial integrals. Numerical experiments carried out in the computer algebra system Sage using the package fdm.sage confirm that the two copies oscillate synchronously around the exact values of the first integrals, and averaging reduces the oscillation amplitude. For separable Hamiltonian systems, the scheme is shown to be symplectic. The results obtained allow recommending the doubling method for constructing stable and structure-preserving numerical integrators for a wide class of dynamical systems with polynomial right-hand sides, including high-dimensional systems.
В статье рассматриваются обратимые разностные схемы для динамических систем, основанные на методе удвоения системы, предложенном В.\,Н. Абрашиным и С.\,Н. Сытовой. Метод заключается в дублировании исходного набора переменных, что позволяет перейти к расширенной системе, для которой строится конечно-разностная аппроксимация, задающая бирациональное отображение между соседними временными слоями. Исследуется сохранение алгебраических интегралов таких схем. Доказывается, что если исходная система допускает однородный квадратичный первый интеграл, то соответствующая билинейная форма является точным интегралом дискретной схемы. Это свойство демонстрируется на классическом примере осциллятора Якоби, где схема сохраняет точную величину, выраженную через среднее геометрическое дублированных переменных, воспроизводя корректную геометрию фазовых траекторий. Более глубокий анализ проводится на примере нетривиальной системы Ванхаеке --- интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, обладающей полиномиальными интегралами высших степеней, интегрируемость которой выражается через абелевы функции. Численные эксперименты, реализованные в системе компьютерной алгебры Sage с использованием специализированного пакета fdm.sage, подтверждают, что при дискретизации методом удвоения две копии системы синхронно колеблются около точных значений первых интегралов, а применение усреднения снижает амплитуду колебаний. Для сепарабельных гамильтоновых систем показана симплектичность схемы. Полученные результаты позволяют рекомендовать метод удвоения для построения устойчивых и структуросохраняющих численных интеграторов для широкого класса динамических систем с полиномиальными правыми частями, включая системы высокой размерности.