Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)4998810.22363/2658-4670-2026-34-1-24-39VCZSIWComputer ScienceИнформатика и вычислительная техникаResearch ArticleThe waiting time extremal index in GI/G/1 systemЭкстремальный индекс времени ожидания в системе GI/G/1https://orcid.org/0000-0002-1461-242557190062292P-4375-2015PeshkovaIrina V.ПешковаИ. В.

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior researcher, SMITS Lab, Institute of Applied Mathematical Research of the Karelian Research Center of Russian Academy of Sciences; head of the Applied Mathematics and Cybernetics department, Petrozavodsk State University 

iaminova@petrsu.ruPetrozavodsk State UniversityПетрозаводский государственный университетInstitute of Applied Mathematical Research of the KarRC RASИнститут прикладных математических исследований КарНЦ РАН30042026341Vol 34, No 1 (2026)ТОМ 34, № 1 (2026)243929042026Copyright ©; 2026, Peshkova I.V.Copyright ©; 2026, Пешкова И.В.2026Peshkova I.V.Пешкова И.В.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/49988

In this paper the conditions to compare the extremal index of the stationary waiting time in the $M/G/1$ and $GI/M/1$ systems are obtained. These conditions include exponential asymptotic behaviour of waiting time tail and the order in failure rates for the interarrival intervals and for the service times in the systems to be compared. For $M/G/1$ system the obtained result is extended to the mixed service times with ordered components. If, in a $GI/G/1$ system, the service time is determined by a finite mixture whose dominant component of the equilibrium distribution belongs to the class of subexponential distributions then the tail of the limiting distribution of the stationary waiting time is equivalent to the tail of this distribution up to a constant obtained explicitly. Furthermore, the limiting distribution of the maximum of the stationary waiting time belongs to the maximum domain of attraction of the distribution of extreme values of the same type as the maximum of the random variables defined by the dominant component.

В данной работе получены условия сравнения экстремального индекса стационарного времени ожидания в системах $M/G/1$ и $GI/M/1$. Эти условия включают экспоненциальное асимптотическое поведение хвоста времени ожидания и порядок по интенсивности отказов для интервалов между приходами заявок и для времени обслуживания в сравниваемых системах. Для системы $M/G/1$ полученный результат распространяется на смешанные времена обслуживания с упорядоченными компонентами. Если в системе $GI/G/1$ время обслуживания определяется конечной смесью, доминирующая компонента равновесного распределения которой принадлежит классу субэкспоненциальных распределений, то хвост предельного распределения стационарного времени ожидания эквивалентен хвосту этого распределения с точностью до константы, вычисленной в явном виде. Кроме того, предельное распределение максимума стационарного времени ожидания принадлежит области максимального притяжения распределения экстремальных значений того же типа, что и максимум случайных величин, определяемых доминирующей компонентой.

extremal indexqueueing systemorder in failure rateэкстремальный индекссистема обслуживанияупорядоченность по интенсивности отказаLeadbetter, M., Lindgren, G. & H., R. Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processe (Springer Series in Statistics, 1983).Resnick, S. I. Extreme Values, Regular Variation and Point Processes doi:10.1007/978-0-387-75953-1 (Springer New York, 1987).Smith, R. L. The extremal index for a Markov chain. Journal of Applied Probability 29, 37–45. doi:10.2307/3214789 (Mar. 1992).Weissman, I. & Cohen, U.The extremal index and clustering of high values for derived stationary sequences. Journal of Applied Probability 32, 972–981. doi:10.2307/3215211 (Dec. 1995).Moloney, N. R., Faranda, D. & Sato, Y. An overview of the extremal index. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 29. doi:10.1063/1.5079656 (Feb. 2019).Beirlant, J., Goegebeur, Y., Teugels, J. & Segers, J. Statistics of Extremes: Theory and Applications doi:10.1002/0470012382 (Wiley, Aug. 2004).Ferro, C. A. T. & Segers, J. Inference for Clusters of Extreme Values. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statistical Methodology) 65, 545–556 (2003).Asmussen, S. Applied Probability and Queues doi:10.1007/b97236 (Springer New York, 2003).Hooghiemstra, G. & Meester, L. E. Computing the extremal index of special Markov chains and queues. Stochastic Processes and their Applications 65, 171–185. doi:10.1016/s0304-4149(96)00111-1 (Dec. 1996).Iglehart, D. L. Extreme Values in the GI/G/1 Queue. The Annals of Mathematical Statistics 43, 627– 635. doi:10.1214/aoms/1177692642 (Apr. 1972).Rootzén, H. Maxima and exceedances of stationary Markov chains. Advances in Applied Probability 20, 371–390. doi:10.2307/1427395 (June 1988).Markovich, N. & Razumchik, R. Cluster Modeling of Lindley Process with Application to Queuing in Distributed Computer and Communication Networks (Springer International Publishing, 2019). doi:10.1007/978-3-030-36614-8_25.Veraverbeke, N. Asymptotic behaviour of Wiener-Hopf factors of a random walk. Stochastic Processes and their Applications 5, 27–37. doi:10.1016/0304-4149(77)90047-3 (Feb. 1977).Berger, A. W. & Whitt, W. Maximum Values in Queueing Processes. Probability in the Engineering and Informational Sciences 9, 375–409. doi:10.1017/s0269964800003934 (July 1995).Cohen, J. W. The Single Server Queu (North-Holland, 1992).Cohen, J. W. Asymptotic relations in queueing theory. Advances in Applied Probability 5, 8–9. doi:10.2307/1425945 (Apr. 1973).Marshall, A. W. & Olkin, I. Distributions: Structure of Nonparametric, Semiparametric, and Parametric Familie doi:10.1007/978-0-387-68477-2 (Springer New York, 2007).Peshkova, I. V. & Morozov, E. V. On Comparison of Multiserver Systems with Multicomponent Mixture Distributions. Journal of Mathematical Sciences 267, 260–272. doi:10.1007/s10958-02206132-z (Oct. 2022).Asmussen, S., Klüppelberg, C. & Sigman, K. Sampling at subexponential times, with queueing applications. Stochastic Processes and their Applications 79, 265–286. doi:10.1016/s0304-4149(98) 00064-7 (Feb. 1999).Foss, S., Korshunov, D. & Zachary, S. An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions doi:10.1007/978-1-4614-7101-1 (Springer New York, 2013).Simon,B.&Foley,R.D.SomeResultsonSojournTimesinAcyclicJacksonNetworks.Management Science 25, 1027–1034 (1979).Peshkova, I. EXPONENTIAL-PARETO MIXTURE DISTRIBUTION. doi:10.24412/1932-2321-2023476-632-645 (2023).Klüppelberg, C. Subexponential distributions and integrated tails. Journal of Applied Probability 25, 132–141. doi:10.2307/3214240 (Mar. 1988).