Academician, Professor, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics
Associate Professor of Department of Mathematics at School of Applied Sciences
Professor of Department of Mathematics at School of Applied Sciences
Senior Lecturer of Department of Mathematics at School of Applied Sciences
In this paper, we develop a new family of high-order derivative-free iterative methods for solving systems of nonlinear equations. Specifically, we propose four two-step derivative-free schemes with convergence orders four and five, together with twelve three-step derivative-free schemes achieving convergence orders six, seven, and eight. The main specific of these iterations is that they include a vector or even a scalar iteration parameter instead of the matrix parameter inherent to other existing iterative methods. This structural simplification significantly reduces computational cost, storage requirements, and matrix operations, thereby improving overall computational efficiency. A convergence analysis is presented, establishing the theoretical order of convergence of the proposed methods. The efficiency indices of the proposed schemes are derived and compared with those of several well-known derivative-free iterative methods. The numerical experiments on standard academic problems confirm the theoretical results and demonstrate that the proposed methods are competitive and, in many cases, superior in terms of efficiency and robustness.
В данной работе мы разрабатываем новое семейство итерационных методов высокого порядка без использования производных для решения систем нелинейных уравнений. В частности, мы предлагаем четыре двухшаговые схемы без использования производных с порядками сходимости четыре и пять, а также двенадцать трёхшаговых схем без использования производных, достигающих порядков сходимости шесть, семь и восемь. Главная особенность этих итераций заключается в том, что они включают векторный или даже скалярный параметр итерации вместо матричного параметра, присущего другим существующим итерационным методам. Это структурное упрощение значительно снижает вычислительные затраты, требования к хранению данных и матричные операции, тем самым повышая общую вычислительную эффективность. Представлен анализ сходимости, устанавливающий теоретический порядок сходимости предлагаемых методов. Выведены показатели эффективности предложенных схем и проведено их сравнение с показателями нескольких известных итерационных методов без использования производных. Численные эксперименты на стандартных академических задачах подтверждают теоретические результаты и демонстрируют, что предложенные методы являются конкурентоспособными и во многих случаях превосходят другие методы с точки зрения эффективности и устойчивости.