Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)4998710.22363/2658-4670-2026-34-1-12-23URRPMTComputer ScienceИнформатика и вычислительная техникаResearch ArticleUsage of polynomial representation of numbers for approximate homomorphic encryptionИспользование представления чисел в виде многочленов для реализации скрытых приближённых вычисленийhttps://orcid.org/0009-0008-1162-2020KroukAndrey E.КрукА. Е.

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor

svinenka@mail.ruSaint-Petersburg State University of Aerospace InstrumentationСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения30042026341Vol 34, No 1 (2026)ТОМ 34, № 1 (2026)122329042026Copyright ©; 2026, Krouk A.E.Copyright ©; 2026, Крук А.Е.2026Krouk A.E.Крук А.Е.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/49987

\emph {Introduction} In the modern world of computers and networks the idea of expanding of personal computer resources with the help of cloud storages and computation looks more and more lucrative. However, usage of these resources may endanger data being processed. In last twenty years several algorithms of homomorphic encryption were developed allowing solving of this problem among other applications. However such algorithms are usually constructed as public key systems for long term storage and processing of data. In this article two algorithms of homomorphic encryption optimized for single data processing are proposed. \emph {Purpose} The target of research is development of data coding system which allows safe data processing in public clouds. \emph {Results} Two homomorphic coding systems had been developed, first is based on representation of numbers in the form of polynomials, second based on further representation of polynomials in the form of sets of values. Developed systems allow approximate calculations of coded data without decryption allowing processing of real numbers. System has high level of protection and provides high precision of calculations, comparable with standard personal computer calculation precision. Structure of coded data allows parallel computing. Proposed system allows safe data processing in public networks. Question of finding of optimal parameters for the system stands open both for high precision calculation of limited sets of operations and repeatedly good precision for big sets of operations.

\emph {Введение} В современном мире компьютеров и сетей всё более привлекательной выглядит возможность расширения ресурсов персонального компьютера за счет облачных хранилищ и вычислений, однако, использование таких ресурсов может поставить под угрозу безопасность обрабатываемых данных. В последние двадцать лет появилось множество алгоритмов гомоморфного шифрования, позволяющих в частности решить эту задачу. Однако эти алгоритмы проектируются в основном как системы с открытым ключом, предназначенные для долгосрочного хранения и обработки данных. В данной статье предлагается два алгоритма гомоморфного шифрования, оптимизированных для однократной обработки данных. \emph {Цель} Целью работы является разработка системы кодирования информации, позволяющей проводить безопасную обработку данных в публичных облаках. \emph {Результаты} Разработаны две системы скрытых вычислений: первая, основанная на представлении чисел в виде многочленов и вторая, основанная на дальнейшем представлении многочленов в виде набора значений. Разработанные системы позволяют проводить приближённые вычисления над зашифрованными данными без их расшифровки, что позволяет проводить обработку вещественных чисел. Система отличается высоким уровнем защиты и обеспечивает высокую точность вычислений, сравнимую с точностью обеспечиваемой стандартными вычислениями компьютера. Структура зашифрованных данных позволяет проведение параллельных вычислений. Предложенная система позволяет безопасную обработку данных в публичных облачных сетях. Остаётся открытым вопрос оптимальных параметров системы защиты информации, обеспечивающих более высокую точность для ограниченного набора операций, либо постоянную точность для больших наборов операций.

homomorphic encryptioncloud calculationsоблачные вычислениягомоморфное шифрованиеRivest, R. L., Adleman, L. & Dertouzos, M. L. On Data Banks and Privacy Homomorphisms in Foundations of Secure Computation (1978).Marcolla, C., Sucasas, V., Manzano, M., Bassoli, R., Fitzek, F. H. P. & Aaraj, N. Survey on Fully Homomorphic Encryption, Theory, and Applications. Proceedings of the IEEE 110, 1572–1609. doi:10.1109/JPROC.2022.3205665 (2022).Van Tilborg, H. C. A. Fundamentals of Cryptology [in Russian] (Mir, Moscow, 2006).Gentry, C. A Fully Homomorphic Encryption Scheme PhD thesis (Stanford University, 2009).Brakerski, Z., Gentry, C. & Vaikuntanathan, V. (Leveled) fully homomorphic encryption without bootstrapping in Proceedings of the 3rd Innovations in Theoretical Computer Science Conference (ITCS) (Association for Computing Machinery, Cambridge, Massachusetts, 2012), 309–325. doi:.1145/2090236.2090262.van Dijk, M., Gentry, C., Halevi, S. & Vaikuntanathan, V. Fully Homomorphic Encryption over the Integers. Cryptology ePrint Archive, Report 2009/616 (2010).Albrecht, M. et al. Homomorphic Encryption Standard in Protecting Privacy through Homomorphic Encryption (eds Lauter, K., Dai, W. & Laine, K.) (Springer International Publishing, Cham, 2021). doi:10.1007/978-3-030-77287-1_2.Cheon, J. H., Kim, A., Kim, M. & Song, Y. Homomorphic Encryption for Arithmetic of Approximate Numbers in Advances in Cryptology – ASIACRYPT 2017 (eds Takagi, T. & Peyrin, T.) (Springer International Publishing, Cham, 2017), 409–437. doi:10.1007/978-3-319-70694-8_15.Brakerski, Z. & Vaikuntanathan, V. Fully Homomorphic Encryption from Ring-LWE and Security for Key Dependent Messages in Advances in Cryptology – CRYPTO 2011 (ed Rogaway, P.) 6841 (Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2011), 505–524. doi:10.1007/978-3-642-22792-9_29.Cheon, J. H., Han, K., Kim, A., Kim, M. & Song, Y. Bootstrapping for Approximate Homomorphic Encryption in Advances in Cryptology – EUROCRYPT 2018 (eds Nielsen, J. B. & Rijmen, V.) (Springer International Publishing, Cham, 2018), 360–384. doi:10.1007/978-3-319-78381-9_14.Chen, H., Laine, K. & Player, R. Simple Encrypted Arithmetic Library – SEAL (v2.1) in Financial Cryptography and Data Security (eds Brenner, M., Rohloff, K., Bonneau, J., Miller, A., Ryan, P. Y., Teague, V., Bracciali, A., Sala, M., Pintore, F. & Jakobsson, M.) 10323 (Springer International Publishing, Cham, 2017), 3–18. doi:10.1007/978-3-319-70278-0_1.Lepoint, T. & Naehrig, M. A Comparison of the Homomorphic Encryption Schemes FV and YASHE in Progress in Cryptology – AFRICACRYPT 2014 8469 (2014), 318–335. doi:10.1007/978-3-319-067346_20.Bajard, J.-C., Eynard, J., Hasan, M. A. & Zucca, V. A Full RNS Variant of FV Like Somewhat Homomorphic Encryption Schemes in Cryptographic Hardware and Embedded Systems – CHES 2016 (eds Avanzi, R. & Heys, H.) 10532 (2016), 423–442. doi:10.1007/978-3-319-69453-5_23.Halevi, S., Polyakov, Y. & Shoup, V. An Improved RNS Variant of the BFV Homomorphic Encryption Scheme in Topics in Cryptology – CT-RSA 2019 (ed Matsui, M.) 11405 (2019), 83–105. doi:10.1007/9783-030-12612-4_5.Babenko, M. G., Golimblevskaia, E. I. & Shiriaev, E. M. Comparative Analysis of Homomorphic Encryption Algorithms Based on Learning with Errors. Proceedings of the Institute for System Programming of the RAS (Proceedings of ISP RAS) 32, 37–51. doi:10.15514/ISPRAS-2020-32(2)-4 (2020).Gentry, C. Fully Homomorphic Encryption Using Ideal Lattices in Proceedings of the 41st Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC) (2009), 169–178. doi:10.1145/1536414.1536440.Pulido-Gaytan, B., Tchernykh, A., Cortés-Mendoza, J. M., Babenko, M., Radchenko, G., Avetisyan, A. & Drozdov, A. Y. Privacy-preserving Neural Networks with Homomorphic Encryption: Challenges and Opportunities. Peer-to-Peer Networking and Applications 14, 1666– 1691. doi:10.1007/s12083-021-01076-8 (2021).Akritas, A. Elements of Computer Algebra with Applications 425 pp. (JohnWiley & Sons, Inc., United States, 1989).Krouk, A. E. & Fedorenko, S. V. Construction of the solution of the Chinese Remainder Theorem for polynomials using the method of undetermined coefficients in 2019 XVI International Symposium ”Problems of Redundancy in Information and Control Systems” (REDUNDANCY) (Moscow, Russia, 2019), 115–116. doi:10.1109/REDUNDANCY48165.2019.9003344.Halevi, S. & Shoup, V. Bootstrapping for HElib in Advances in Cryptology – EUROCRYPT 2015 (eds Oswald, E. & Fischlin, M.) 9056 (2015), 641–670. doi:10.1007/978-3-662-46800-5_25.Li, B. & Micciancio, D. On the Security of Homomorphic Encryption on Approximate Numbers in Advances in Cryptology – EUROCRYPT 2021 12696 (2021), 648–677. doi:10.1007/978-3-030-778705_23.Kabatiansky, G., Krouk, E. & Semenov, S. Error Correcting Coding and Security for Data Networks. Analysis of the Super Channel Concept doi:10.1002/0470867574 (John Wiley & Sons, Ltd., 2005).