The hierarchical approach to proving the existence of generalized planar nested central configurations on some versions of the general (pn+1)-body problem

Full Text

Введение В последние десятилетия проблема существования обобщенных классических, главным образом плоских центральных конфигураций (ц.к.) небесной механики и звездной динамики развивается в нескольких направлениях. Первое состоит в рассмотрении действующих между телами сил, отличных от сил гравитационного притяжения (фотогравитационных, радиационных, электрических, магнитных и др.)[5] [1; 2]. Второе рассматривает фигуры, участвующие в конфигурации тел, в частности центральные тела конфигурации [3; 4], отличные от сферических (эллипсоид вращения сжатый или вытянутый, трехосный эллипсоид) [5-8]. Третье изучает гнездовидные (то есть «наращиваемые») плоские ц.к., а четвертое - гнездовидные пространственные ц.к. Как показали исследования, структура уравнений движения и, как следствие, необходимых и достаточных условий существования [9; 10] ц.к. зависит от вида (формы) рассматриваемых ц.к. В различных трудах еще начала ХХ в. [11; 12] рассматривались элементы обобщенных квадратных и трапецевидных плоских ц.к. с несферическими телами в центре, а позднее - обобщенные плоские ц.к. смешанного вида [5; 6; 13]. Современное прикладное программное обеспечение позволяет с достаточно высокой точностью моделировать подобные системы [14; 15]. В данном исследовании рассматриваются плоские гнездовидные ц.к. в форме вложенных один в другой выпуклых четырехугольников смешанных форм, а именно типа квадрат - ромб - дельтоид - трапеция - центральное тело, то есть в рамках общей задачи (4n+1)-тел небесной механики (рис.). Для таких ц.к. предложен так называемый иерархический подход для поиска совокупностей значений геометрических и динамических параметров, определяющих их существование. Изображение выглядит как диаграмма Автоматически созданное описание Гнездовидная плоская центральная конфигурация типа квадрат - ромб - дельтоид - трапеция Nest-shaped flat central configuration of the square - rhombus - deltoid - trapezoid type 1. Постановка задачи: общий вид уравнений движения (pn+1)-тел Уравнения пространственного движения тел Plk с массой mlk, l = 1, …, p; k = 1, …, n (l - число вложенных один в другой выпуклых многоугольников, k - число вершин многоугольников) в относительной гелиоцентрической системе координат P0xyz, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг тела P0 с массой M0, имеют вид [13] (1) где При записи системы уравнений (1) предполагалось, что все тела Plk, P0 притягиваются по закону Ньютона, но в то же время взаимодействующие один с другим тела Plk не оказывают влияния на движение центрального тела P0 ввиду mlk << M0, то есть рассматривается ограниченный вариант задачи N-тел, или планетный случай. Первая сумма в правой части системы уравнений (1) отражает гравитационное взаимодействие тела Plk с телами внутри «первого» многоугольника (l = 1), а вторая сумма учитывает гравитационное взаимодействие этого же тела Plk с телами, расположенными в вершинах «второго» (l = 2) и последующих (l = 3, …, p) многоугольников. 2. Общий вид необходимых и достаточных условий существования гнездовидных плоских центральных конфигураций в задаче (pn+1)-тел Упомянутые условия легко получаются из при- веденной выше системы дифференциальных урав- нений (1), описывающей движение тел в рамках приведенной постановки задачи. Действительно, будем искать плоские ц.к. Для этого достаточно в уравнениях (1) положить xlk = x̅lk = const, ylk = y̅lk = const, zlk = z̅lk = const = 0, координаты тел, которые вместе с массами (которые позднее будут найдены) mlk, l = 1, …, p; k = 1, …, n, собственно, и определяют плоские центральные конфигурации. Поскольку в этом случае имеет место , то необходимыми и достаточными условиями существования ц.к. будут (при mlk > 0, mσs > 0): (2) 1. Необходимость. Пусть упомянутые ц.к существуют, то есть для известной конфигурации известны ее размеры (x̅lk, …, z̅lk, r̅lk, Δlk), величины масс mlk, M0 в ее вершинах и в центре и квадрат угловой скорости ω2 вращения конфигурации относительно центрального тела M0, тогда условия (2) выполняются, так как подстановка значений перечисленных переменных и параметров превращает условия (2) в числовые тождества. 2. Достаточность. Пусть условия (2) выполнены. Тогда после исключения квадрата угловой скорости ω2 из этих уравнений, которое достигается делением этих уравнений на x̅lk ≠ 0, …, y̅lk ≠ 0 и последующем их вычитании попарно, получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных mlk. Масса M0 может рассматриваться в качестве основного варьируемого параметра, а совокупности значений x̅lk, …, z̅lk, r̅lk выбираются в соответствии с формой рассматриваемой ц.к. и значением параметра M0, который часто выбирается равным единице. При этом оказывается, что дефект матрицы системы алгебраических уравнений d ≥ 1, и, таким образом, система имеет множество решений относительно mlk, ω2. Используя возможности символьных вычислений математического пакета Maple [15; 16], запишем общий вид относительно угловых скоростей вращения ωlk тел Plk необходимых и достаточных условий существования плоских ц.к. в рамках задачи (4n+1)-тел. Для этого последовательно для случаев одного многоугольника, положив в условиях (1) l = 1, затем для двух вложенных один в другой многоугольников (l = 1, 2) и, наконец, для р вложенных один в другой многоугольников (l = 1, 2, …, p - 1, p): …………………………………………………….. (3) при l = 1, 2; k = 1, …, 4 к системе уравнений (3) добавляются …………………………………………………….. (4) при l = 1, 2, …, (p - 1), p; k = 1, …, 4 к системам уравнений (3), (4) добавляются ……………………………………………………… (5) Символ (x ↔ y) означает, что аналогичные системы уравнений имеют место и для переменных у. Отметим, что приведенные общие условия существования справедливы для любых гнездовидных плоских ц.к. в рамках задачи (4n+1)-тел, например для дельтообразных, трапецеобразных и др. 3. Необходимые и достаточные условия существования гнездовидных плоских центральных конфигураций смешанных форм при иерархической последовательности Рассмотрим гнездовидные плоские ц.к. в виде последовательно вложенных один в другой p многоугольников разной формы (рис.), что позволяет говорить о ц.к. смешанных форм в классическом варианте. Для уменьшения объема алгебраических преобразований и частичного упрощения изложения алгоритма вычислений ограничимся случаем p = 4, n = 4. Для удобства выпишем фактические значения координат (xlk, ylk) тел Pkl в соответствии с pисунком в виде таблицы. Координаты тел гнездовидной конфигурации для различных типов четырехугольников Coordinates of nest-shaped bodies for different types of quadrilaterals k 1 2 3 4 l = 1 (квадрат/square) x1k α11 0 -α11 0 y1k 0 α11 0 -α11 r1k α11 α11 α11 α11 l = 2 (ромб/rhombus) x2k α21 0 -α21 0 y2k 0 β22 0 -β22 r2k α21 β22 α21 β22 l = 3 (дельтоид/deltoid) x3k α31 0 -α31 0 y3k 0 β32 0 -β34 r3k α31 β32 α31 β34 l = 4 (трапеция/trapezoid) x4k α41 0 -α43 0 y4k 0 α41 0 -α43 r4k α41 α41 α43 α43 Подстановка значений координат из таблицы последовательно в системы уравнений (3)-(5) [15] дает (l = 1; k = 1, …, 4): a) первый уровень иерархии - квадрат, центральное тело шар с массой M0: (6) Таким образом, при последовательной записи условий существования сначала квадратной ц.к. m11 = m12 = m13 = m14 = m с центральным телом M0 l = 1; k = 1, …, 4 получается одно уравнение (6) с тремя неизвестными ω2, M, m, если считать геометрические размеры ц.к. заданными (α - размер полудиагонали квадрата). Далее учитываем следующее «кольцо» и записываем условия существования ц.к. типа квадрат - ромб - центральное тело - шар; б) второй уровень иерархии - для двух вложенных один в другой четырехугольников (l = 1, 2; k = 1, …, 4) к уравнению (6) добавляются два уравнения (7) в) третий уровень иерархии - для трех вложенных один в другой четырехугольников (l = 1, 2, 3; k = 1, …, 4) к уравнениям (6), (7) добавляются еще три уравнения: (8) г) четвертый уровень иерархии - для четырех вложенных один в другой четырехугольников (l = 1, …, 4; k = 1, …, 4) к уравнениям (6)-(8) добавляются еще четыре уравнения: (9) 4. Алгоритм последовательных вычислений Число выписанных уравнений на последнем четвертом уровне иерархии равно 10, однако они образуют систему из 42 уравнений, если записать их в виде попарных разностей вида , соответствующих исключению из системы уравнений квадрата угловой скорости ω2 и отражающих тот факт, что все 16 тел, расположенных в вершинах четырех многоугольников гнездовидной плоской ц.к., должны вращаться относительно их общего центра M0 (который, строго говоря, не является центром масс системы тел) с одной и той же угловой скоростью, в то время как само тело с массой M0, которое на рисунке не отражено, каким-то образом движется относительно общего центра масс. Отмечаем, что полученная выше система ал- гебраических уравнений имеет иерархическую структуру, подобную получаемой при реализации в системе алгебраических уравнений пря- мого хода преобразований в процессе решения систем линейных алгебраических уравнений ме- тодом исключения неизвестных Гаусса. Правда, полученная таким образом «трапецевидная» форма расширенной матрицы системы урав- нений имеет «перевернутый» вид, поскольку строки с наименьшим числом неизвестных с не- нулевыми коэффициентами оказываются вверху, а не внизу, как это бывает в классическом методе Гаусса. Действительно, первое уравнение содержит лишь массу М и неизвестные ω11, α11, m11 и образует первый уровень иерархии. Далее добавляется второй уровень из трех уравнений, содержащих массу М и неизвестные α21, α22, m21, m22, так как неизвестные с индексом 11 уже оказываются найденными из решения уравнения предыдущего уровня. Следующий третий уровень иерархии образуется подсистемой из 12 уравнений, содержащих массу М и неизвестные α31, α32, α34, m31, m32, m34, так как неизвестные с индексами 11, 21, 22 уже найдены из решения уравнений предыдущего (второго) уровня. Наконец, четвертый уровень иерархии образуется подсистемой из 26 уравнений, содержащих массу М и неизвестные α41, α43, m41, m43, так как неизвестные с индексами 11, 21, 22, 31, 32 и 34 уже найдены из решения уравнений предыдущего уровня. Считая геометрические размеры αlk рассматриваемых в ц.к. многоугольников заданными, получим переопределенную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных масс mlk, которых из-за наличия симметрий оказывается всего 8 (m11 - для квадрата; m21, m22 - для ромба; m31, m32, m34 - для дельтоида; m31, m33 - для трапеции). Используя возможности Maple, выписав последовательно 42 упомянутые попарные разности , получим систему линейных алгебраических уравнений вида, которая имеет множество решений относительно масс при условии наличия переменных значений центральной массы и размеров многоугольников. (10) Заключение Предложен и описан новый подход к доказательству существования обобщенных плоских центральных конфигураций в рамках общей задачи (pn+1)-тел, в которой р вложенных один в другой выпуклых n-угольников, в вершинах которых, в свою очередь, расположены n точечных, строго говоря, разных масс mlk, вращаются с постоянной угловой скоростью вокруг центрального тела M0. Центральное тело может иметь сферическую (шар) или несферическую структуру (эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид). В каждом из случаев соответствующие необходимые и достаточные условия существования ц.к. имеют различный вид.

About the authors

Yulianna V. Perepelkina

Russian State University of Tourism and Service

Author for correspondence.
Email: amadeycity@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8115-8253
SPIN-code: 5157-4093
Scopus Author ID: 25925321600

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of High School of Service

99 Glavnaya St, Cherkizovo, 141221, Russian Federation

Alexander N. Zadiranov

State Fire Academy of EMERCOM of Russia

Email: zadiranov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7787-8290
SPIN-code: 2873-6465
Scopus Author ID: 57214856655

Doctor of Technical Sciences, Professor of Combustion Behavior and Environmental Safety Department, Educational and Scientific Complex of Combustion Processes and Environmental Safety

4 Borisa Galushkina St, Moscow, 129366, Russian Federation

References

Supplementary files