Иерархический подход к доказательству существования обобщенных плоских гнездовидных центральных конфигураций в некоторых вариантах общей задачи (pn+1)-тел

Полный текст

Введение В последние десятилетия проблема существования обобщенных классических, главным образом плоских центральных конфигураций (ц.к.) небесной механики и звездной динамики развивается в нескольких направлениях. Первое состоит в рассмотрении действующих между телами сил, отличных от сил гравитационного притяжения (фотогравитационных, радиационных, электрических, магнитных и др.)[5] [1; 2]. Второе рассматривает фигуры, участвующие в конфигурации тел, в частности центральные тела конфигурации [3; 4], отличные от сферических (эллипсоид вращения сжатый или вытянутый, трехосный эллипсоид) [5-8]. Третье изучает гнездовидные (то есть «наращиваемые») плоские ц.к., а четвертое - гнездовидные пространственные ц.к. Как показали исследования, структура уравнений движения и, как следствие, необходимых и достаточных условий существования [9; 10] ц.к. зависит от вида (формы) рассматриваемых ц.к. В различных трудах еще начала ХХ в. [11; 12] рассматривались элементы обобщенных квадратных и трапецевидных плоских ц.к. с несферическими телами в центре, а позднее - обобщенные плоские ц.к. смешанного вида [5; 6; 13]. Современное прикладное программное обеспечение позволяет с достаточно высокой точностью моделировать подобные системы [14; 15]. В данном исследовании рассматриваются плоские гнездовидные ц.к. в форме вложенных один в другой выпуклых четырехугольников смешанных форм, а именно типа квадрат - ромб - дельтоид - трапеция - центральное тело, то есть в рамках общей задачи (4n+1)-тел небесной механики (рис.). Для таких ц.к. предложен так называемый иерархический подход для поиска совокупностей значений геометрических и динамических параметров, определяющих их существование. Изображение выглядит как диаграмма Автоматически созданное описание Гнездовидная плоская центральная конфигурация типа квадрат - ромб - дельтоид - трапеция Nest-shaped flat central configuration of the square - rhombus - deltoid - trapezoid type 1. Постановка задачи: общий вид уравнений движения (pn+1)-тел Уравнения пространственного движения тел Plk с массой mlk, l = 1, …, p; k = 1, …, n (l - число вложенных один в другой выпуклых многоугольников, k - число вершин многоугольников) в относительной гелиоцентрической системе координат P0xyz, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг тела P0 с массой M0, имеют вид [13] (1) где При записи системы уравнений (1) предполагалось, что все тела Plk, P0 притягиваются по закону Ньютона, но в то же время взаимодействующие один с другим тела Plk не оказывают влияния на движение центрального тела P0 ввиду mlk << M0, то есть рассматривается ограниченный вариант задачи N-тел, или планетный случай. Первая сумма в правой части системы уравнений (1) отражает гравитационное взаимодействие тела Plk с телами внутри «первого» многоугольника (l = 1), а вторая сумма учитывает гравитационное взаимодействие этого же тела Plk с телами, расположенными в вершинах «второго» (l = 2) и последующих (l = 3, …, p) многоугольников. 2. Общий вид необходимых и достаточных условий существования гнездовидных плоских центральных конфигураций в задаче (pn+1)-тел Упомянутые условия легко получаются из при- веденной выше системы дифференциальных урав- нений (1), описывающей движение тел в рамках приведенной постановки задачи. Действительно, будем искать плоские ц.к. Для этого достаточно в уравнениях (1) положить xlk = x̅lk = const, ylk = y̅lk = const, zlk = z̅lk = const = 0, координаты тел, которые вместе с массами (которые позднее будут найдены) mlk, l = 1, …, p; k = 1, …, n, собственно, и определяют плоские центральные конфигурации. Поскольку в этом случае имеет место , то необходимыми и достаточными условиями существования ц.к. будут (при mlk > 0, mσs > 0): (2) 1. Необходимость. Пусть упомянутые ц.к существуют, то есть для известной конфигурации известны ее размеры (x̅lk, …, z̅lk, r̅lk, Δlk), величины масс mlk, M0 в ее вершинах и в центре и квадрат угловой скорости ω2 вращения конфигурации относительно центрального тела M0, тогда условия (2) выполняются, так как подстановка значений перечисленных переменных и параметров превращает условия (2) в числовые тождества. 2. Достаточность. Пусть условия (2) выполнены. Тогда после исключения квадрата угловой скорости ω2 из этих уравнений, которое достигается делением этих уравнений на x̅lk ≠ 0, …, y̅lk ≠ 0 и последующем их вычитании попарно, получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных mlk. Масса M0 может рассматриваться в качестве основного варьируемого параметра, а совокупности значений x̅lk, …, z̅lk, r̅lk выбираются в соответствии с формой рассматриваемой ц.к. и значением параметра M0, который часто выбирается равным единице. При этом оказывается, что дефект матрицы системы алгебраических уравнений d ≥ 1, и, таким образом, система имеет множество решений относительно mlk, ω2. Используя возможности символьных вычислений математического пакета Maple [15; 16], запишем общий вид относительно угловых скоростей вращения ωlk тел Plk необходимых и достаточных условий существования плоских ц.к. в рамках задачи (4n+1)-тел. Для этого последовательно для случаев одного многоугольника, положив в условиях (1) l = 1, затем для двух вложенных один в другой многоугольников (l = 1, 2) и, наконец, для р вложенных один в другой многоугольников (l = 1, 2, …, p - 1, p): …………………………………………………….. (3) при l = 1, 2; k = 1, …, 4 к системе уравнений (3) добавляются …………………………………………………….. (4) при l = 1, 2, …, (p - 1), p; k = 1, …, 4 к системам уравнений (3), (4) добавляются ……………………………………………………… (5) Символ (x ↔ y) означает, что аналогичные системы уравнений имеют место и для переменных у. Отметим, что приведенные общие условия существования справедливы для любых гнездовидных плоских ц.к. в рамках задачи (4n+1)-тел, например для дельтообразных, трапецеобразных и др. 3. Необходимые и достаточные условия существования гнездовидных плоских центральных конфигураций смешанных форм при иерархической последовательности Рассмотрим гнездовидные плоские ц.к. в виде последовательно вложенных один в другой p многоугольников разной формы (рис.), что позволяет говорить о ц.к. смешанных форм в классическом варианте. Для уменьшения объема алгебраических преобразований и частичного упрощения изложения алгоритма вычислений ограничимся случаем p = 4, n = 4. Для удобства выпишем фактические значения координат (xlk, ylk) тел Pkl в соответствии с pисунком в виде таблицы. Координаты тел гнездовидной конфигурации для различных типов четырехугольников Coordinates of nest-shaped bodies for different types of quadrilaterals k 1 2 3 4 l = 1 (квадрат/square) x1k α11 0 -α11 0 y1k 0 α11 0 -α11 r1k α11 α11 α11 α11 l = 2 (ромб/rhombus) x2k α21 0 -α21 0 y2k 0 β22 0 -β22 r2k α21 β22 α21 β22 l = 3 (дельтоид/deltoid) x3k α31 0 -α31 0 y3k 0 β32 0 -β34 r3k α31 β32 α31 β34 l = 4 (трапеция/trapezoid) x4k α41 0 -α43 0 y4k 0 α41 0 -α43 r4k α41 α41 α43 α43 Подстановка значений координат из таблицы последовательно в системы уравнений (3)-(5) [15] дает (l = 1; k = 1, …, 4): a) первый уровень иерархии - квадрат, центральное тело шар с массой M0: (6) Таким образом, при последовательной записи условий существования сначала квадратной ц.к. m11 = m12 = m13 = m14 = m с центральным телом M0 l = 1; k = 1, …, 4 получается одно уравнение (6) с тремя неизвестными ω2, M, m, если считать геометрические размеры ц.к. заданными (α - размер полудиагонали квадрата). Далее учитываем следующее «кольцо» и записываем условия существования ц.к. типа квадрат - ромб - центральное тело - шар; б) второй уровень иерархии - для двух вложенных один в другой четырехугольников (l = 1, 2; k = 1, …, 4) к уравнению (6) добавляются два уравнения (7) в) третий уровень иерархии - для трех вложенных один в другой четырехугольников (l = 1, 2, 3; k = 1, …, 4) к уравнениям (6), (7) добавляются еще три уравнения: (8) г) четвертый уровень иерархии - для четырех вложенных один в другой четырехугольников (l = 1, …, 4; k = 1, …, 4) к уравнениям (6)-(8) добавляются еще четыре уравнения: (9) 4. Алгоритм последовательных вычислений Число выписанных уравнений на последнем четвертом уровне иерархии равно 10, однако они образуют систему из 42 уравнений, если записать их в виде попарных разностей вида , соответствующих исключению из системы уравнений квадрата угловой скорости ω2 и отражающих тот факт, что все 16 тел, расположенных в вершинах четырех многоугольников гнездовидной плоской ц.к., должны вращаться относительно их общего центра M0 (который, строго говоря, не является центром масс системы тел) с одной и той же угловой скоростью, в то время как само тело с массой M0, которое на рисунке не отражено, каким-то образом движется относительно общего центра масс. Отмечаем, что полученная выше система ал- гебраических уравнений имеет иерархическую структуру, подобную получаемой при реализации в системе алгебраических уравнений пря- мого хода преобразований в процессе решения систем линейных алгебраических уравнений ме- тодом исключения неизвестных Гаусса. Правда, полученная таким образом «трапецевидная» форма расширенной матрицы системы урав- нений имеет «перевернутый» вид, поскольку строки с наименьшим числом неизвестных с не- нулевыми коэффициентами оказываются вверху, а не внизу, как это бывает в классическом методе Гаусса. Действительно, первое уравнение содержит лишь массу М и неизвестные ω11, α11, m11 и образует первый уровень иерархии. Далее добавляется второй уровень из трех уравнений, содержащих массу М и неизвестные α21, α22, m21, m22, так как неизвестные с индексом 11 уже оказываются найденными из решения уравнения предыдущего уровня. Следующий третий уровень иерархии образуется подсистемой из 12 уравнений, содержащих массу М и неизвестные α31, α32, α34, m31, m32, m34, так как неизвестные с индексами 11, 21, 22 уже найдены из решения уравнений предыдущего (второго) уровня. Наконец, четвертый уровень иерархии образуется подсистемой из 26 уравнений, содержащих массу М и неизвестные α41, α43, m41, m43, так как неизвестные с индексами 11, 21, 22, 31, 32 и 34 уже найдены из решения уравнений предыдущего уровня. Считая геометрические размеры αlk рассматриваемых в ц.к. многоугольников заданными, получим переопределенную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных масс mlk, которых из-за наличия симметрий оказывается всего 8 (m11 - для квадрата; m21, m22 - для ромба; m31, m32, m34 - для дельтоида; m31, m33 - для трапеции). Используя возможности Maple, выписав последовательно 42 упомянутые попарные разности , получим систему линейных алгебраических уравнений вида, которая имеет множество решений относительно масс при условии наличия переменных значений центральной массы и размеров многоугольников. (10) Заключение Предложен и описан новый подход к доказательству существования обобщенных плоских центральных конфигураций в рамках общей задачи (pn+1)-тел, в которой р вложенных один в другой выпуклых n-угольников, в вершинах которых, в свою очередь, расположены n точечных, строго говоря, разных масс mlk, вращаются с постоянной угловой скоростью вокруг центрального тела M0. Центральное тело может иметь сферическую (шар) или несферическую структуру (эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид). В каждом из случаев соответствующие необходимые и достаточные условия существования ц.к. имеют различный вид.

Об авторах

Юлианна Вячеславовна Перепелкина

Российский государственный университет туризма и сервиса

Автор, ответственный за переписку.
Email: amadeycity@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8115-8253
SPIN-код: 5157-4093
Scopus Author ID: 25925321600

кандидат физико-математических наук, доцент Высшей школы сервиса

Российская Федерация, 141221, Черкизово, ул. Главная, д. 99

Александр Никитич Задиранов

Академия государственной противопожарной службы МЧС России

Email: zadiranov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7787-8290
SPIN-код: 2873-6465
Scopus Author ID: 57214856655

доктор технических наук, профессор кафедры процессов горения и экологической безопасности, Учебно-научный комплекс процессов горения и экологической безопасности

Российская Федерация, 129366, Москва, ул. Бориса Галушкина, д. 4

Список литературы