Том 68, № 3 (2022): Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума

Изучаются пространства вектор-функций, голоморфных в угловой области комплексной плоскости, со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве. Показано, что, снабженные соответствующими нормами, указанные пространства являются гильбертовыми пространствами.

Мы называем слоение (M,F) на топологическом многообразии M хаотическим, если оно топологически транзитивно и объединение всех замкнутых слоев всюду плотно в M. При этом компактность слоеного многообразия не предполагается. Исследуемые нами топологические слоения можно рассматривать как многомерные обобщения хаотических динамических систем в смысле Дивани. Для топологических слоений (M,F), накрытых расслоениями, мы доказываем, что существование хаоса в (M,F) эквивалентно хаотичности его глобальной группы голономии. Мы вводим понятие интегрируемой связности Эресмана для топологических слоений как естественное обобщение интегрируемой связности Эресмана для гладких слоений. Получены описание глобальной структуры топологических слоений с интегрируемой связностью Эресмана и критерий хаотичности таких слоений. Применяя метод надстройки, нами построено новое счетное семейство хаотических, попарно не изоморфных топологических слоений коразмерности два на 3-мерных замкнутых и незамкнутых многообразиях.

Градиентно-подобные потоки на поверхностях имеют простую динамику, что вдохновляло многих математиков на поиски инвариантов их топологической эквивалентности. В предположениях различной общности на рассматриваемый класс градиентно-подобных потоков, были получены такие классические инварианты, как схема Леонтович-Майера, граф Пейшото, оснащенный граф Пейшото, двуцветный граф Вонга, трехцветный граф Ошемкова-Шарко, круговая схема Флейтас и др. Таким образом, проблема классификации градиентно-подобных потоков на поверхностях с точки зрения топологической эквивалентности решена исчерпывающим образом. В недавних работах В.Е. Круглова, Д.С. Малышева, О.В. Починки доказано, что для градиентно-подобных потоков классы топологической эквивалентности совпадают с классами топологической сопряженности. Полученный результат позволяет использовать для топологической сопряженности градиентно-подобных потоков любые инварианты их эквивалентности. Настоящее исследование является обзором результатов по топологической сопряженности градиентноподобных потоков на поверхностях и эффективным алгоритмам ее различения, т. е. алгоритмам, время работы которых ограничено некоторым полиномом от длины входной информации.

Рассматривается система уравнений реакции-диффузии-адвекции, описывающая эволюцию пространственных распределений двух популяций хищников и двух родственных популяций жертв с учетом направленной миграции, функционального отклика Холлинга второго рода и гиперболической функции роста жертв. Найдены условия на параметры, при которых существуют линейные по плотностям популяций косимметрии и реализуется мультистабильность - формирование одно- и двупараметрических семейств стационарных решений. Для однородного ареала получены явные формулы для равновесий, а в случае неоднородного ареала стационарные решения вычислены при помощи метода прямых и схемы смещенных сеток. Представлены результаты по нарушению косимметрии и трансформации семейства в случае инвазии хищника.