Multistability for a Mathematical Model of the Dynamics of Predators and Preys in a Heterogeneous Area

Cover Page

Cite item


We consider the system of reaction-diffusion-advection equations describing the evolution of the spatial distributions of two populations of predators and two prey populations. This model allows us to consider directed migration, the Holling functional response of the second kind, and the hyperbolic prey growth function. We obtain conditions on the parameters under which cosymmetries exist. As a result, multistability is realized, i.e., the one- and two-parameter families of stationary solutions appear. For a homogeneous environment, we analytically derive explicit formulas for equilibria. With a heterogeneous habitat, we computed distributions of species using the method of lines and the scheme of staggered grids. We present the results of violation of cosymmetry and transformation of the family in the case of invasion of a predator.

About the authors

T. D. Ha

Southern Federal University; Vietnam-Hungary Industrial University

Rostov-on-Don, Russia; Hanoi, Vietnam

V. G. Tsybulin

Southern Federal University

Author for correspondence.
Rostov-on-Don, Russia


  1. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. - Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2003.
  2. Епифанов А.В., Цибулин В.Г. О динамике косимметричных систем хищников и жертв// Комп. иссл. и модел.- 2017.- 9, № 5.- С. 799-813.
  3. Куракин Л.Г., Юдович В.И. Применение метода Ляпунова-Шмидта в задаче ответвления цикла от семейства равновесий системы с мультикосимметрией// Сиб. мат. ж.- 2000.- 41, № 1.- С. 136-149.
  4. Мюррей Дж. Математическая биология. Т. 1.- М.-Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2011.
  5. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии.-М.: Наука, 1987.
  6. Ха Т.Д., Цибулин В.Г. Мультистабильные сценарии для дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы хищников и жертв// Комп. иссл. и модел.- 2020.-12, № 6.- С. 1451-1466.
  7. Ха Т.Д., Цибулин В.Г. Уравнения диффузии-реакции-адвекции для системы хищник-жертва в гетерогенной среде// Комп. иссл. и модел. -2021.- 13, № 6.- С. 1161-1176.
  8. Цибулин В.Г., Ха Т.Д., Зеленчук П.А. Нелинейная динамика системы хищник-жертва на неоднородном ареале и сценарии локального взаимодействия видов// Изв. вузов. Прикл. нелин. динам. - 2021.-29, № 5.- С. 751-764.
  9. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции// Мат. заметки.- 1991.- 49, № 5.-С. 142-148.
  10. Юдович В.И. О бифуркациях при возмущениях, нарушающих косимметрию// Докл. РАН. - 2004.- 398, № 1.-С. 57-61.
  11. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations.- Berlin: Springer, 2013.
  12. Budyansky A.V., Frischmuth K., Tsybulin V.G. Cosymmetry approach and mathematical modeling of species coexistence in a heterogeneous habitat// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B.- 2019.- 24.- С. 547- 561.
  13. Cosner C., Cantrell R. Spatial Ecology Via Reaction-Diffusion Equations.- Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2003.
  14. Feudel U. Complex dynamics in multistable systems// Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg.- 2008.- 18, № 6.- С. 1607-1626.
  15. Frischmuth K., Budyansky A.V., Tsybulin V.G. Modeling of invasion on a heterogeneous habitat: taxis and multistability // Appl. Math. Comput.- 2021.- 410.- 126456.
  16. Frischmuth K., Kovaleva E.S., Tsybulin V.G. Family of equilibria in a population kinetics model and its collapse// Nonlinear Anal. -2011.-12.-С. 146-155.
  17. Holling C.S. Some characteristics of simple types of predation and parasitism // Can. Entomologist.- 1959.-91.-С. 385-398.
  18. Ibragimov N.H. A Practical Course in Differential Equations and Mathematical Modelling: Classical and New Methods.- Singapore: World Scientific, 2010.
  19. Kim K., Choi W. Local dynamics and coexistence of predator-prey model with directional dispersal of predator// Math. Biosci. Eng.- 2020.- 17.-С. 6737-6755.
  20. Rubin A., Riznichenko G. Mathematical Biophysics.- New York: Springer, 2014.
  21. Tyutyunov Y.V., Zagrebneva A.D., Azovsky A.I. Spatiotemporal pattern formation in a prey-predator system: The case study of short-term interactions between diatom microalgae and microcrustaceans// Mathematics.- 2020.- 8, № 7.- С. 1065-1079.
  22. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it// Chaos.- 1995.- 5, № 2.-С. 402-411.

Copyright (c) 2022 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies