Том 68, № 2 (2022)

Полностью решена задача о полноте собственных функций обыкновенного дифференциального оператора 5-го порядка в пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке [0, 1], порожденного простейшим дифференциальным выражением \( y^{(5)} \) и двухточечными двучленными граничными условиями \(\alpha_v y^{(v−1)}(0) + \beta_v y^{(v−1)}(1) = 0\), \(v = \overline{1, 5}\), при основном предположении \(\alpha_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) или \(\beta_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) (в этом случае можно без уменьшения общности считать, что все \(\alpha_v\) или все \(\beta_v\), соответственно, равны единице). Классические методы исследования полноты, восходящие к известным статьям М.В. Келдыша, А.П. Хромова, А.А. Шкаликова и многих других, не применимы к рассматриваемому оператору. В основе этих методов лежат «хорошие» оценки по спектральному параметру используемых порождающих функций («классических») для системы собственных и присоединенных функций. В случае сильной нерегулярности рассматриваемого оператора эти «классические» порождающие функции имеют слишком большой рост по спектральному параметру. Для решения вопроса о кратной полноте автором данной статьи предложен новый подход, который использует специальное параметрическое решение, обобщающее «классические» порождающие функции. Основной идеей этого подхода является подбор параметров этого специального решения для построения уже не «классических» порождающих функций с подходящими оценками по спектральному параметру. Такой подбор для рассматриваемого оператора оказался возможным, хотя и весьма нетривиальным, что позволило провести традиционную схему доказательства полноты системы собственных функций в пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке [0, 1].