On the Completeness of Eigenfunctions of One 5th-Order Differential Operator

Cover Page

Cite item

Abstract

In this paper, we fully solve the problem of the completeness of the eigenfunctions of an ordinary 5th-order differential operator in the space of square-summable functions on the segment [0, 1] generated by the simplest differential expression \( y^{(5)} \) and two-point two-term boundary conditions \(\alpha_v y^{(v−1)}(0) + \beta_v
y^{(v−1)}(1) = 0\)
and \(v =
\overline{1, 5}\)
, under the main assumption \(\alpha_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) or \(\beta_v \ne 0\), \(v = \overline{1, 5}\) (in this case, without loss of generality, we can assume that all \(\alpha_v\) or all \(\beta_v\) , respectively, are equal to one). The classical methods of studying completeness, which go back to well-known articles by M. V. Keldysh, A. P. Khromov, A. A. Shkalikov, and many others, are not applicable to the operator under consideration. These methods are based on “good” estimates for the spectral parameter of the used generating functions (“classical”) for the system of eigenfunctions and associated functions. In the case of a strong irregularity of the operator under consideration, these «classical» generating functions have too large rate of grows in the spectral parameter. To solve the problem of multiple completeness, we propose a new approach that uses a special parametric solution that generalizes «classical» generating functions. The main idea of this approach is to select the parameters of this special solution to construct generating functions that are no longer «classical» with suitable estimates in terms of the spectral parameter. Such a selection for the operator under consideration turned out to be possible, although rather nontrivial, which allowed us to follow the traditional scheme of proving the completeness of the system of eigenfunctions in the space of square-summable functions on the segment [0, 1].

About the authors

V. S. Rykhlov

Saratov State University

Author for correspondence.
Email: RykhlovVS@yandex.ru
Saratov, Russia

References

  1. Вагабов А.И. Разложения в ряды Фурье по главным функциям дифференциальных операторов и их применения// Дисс. д.ф.-м.н.- Москва, 1988.
  2. Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов.-Ростов-на-Дону: Изд-во Рост. ун-та, 1994.
  3. Гасымов М.Г., Магеррамов А.М. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов// Докл. АН АзССР. - 1974.- 30, № 12.- С. 9-12.
  4. Голубь А.В., Кутепов В.А., Рыхлов В.С. О полноте собственных функций простейшего дифференциального оператора 5-го порядка// Деп. в ВИНИТИ.- 05.08.2004.- № 1354-В2004.
  5. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с нерегулярными краевыми условиями// В сб.: «Математика и ее приложения. Теория, методы, алгоритмы. Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 2».- Саратов: Изд-во СГУ, 1991.-С. 70-72.
  6. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка// В сб.: «Математика. Механика. Межвуз cб. науч. трудов. Вып. 3». -Саратов: Изд-во СГУ, 2001.- С. 40-42.
  7. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с нерегулярными краевыми условиями// Изв. СГУ. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф.-2007.- 2.- С. 10-14.
  8. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи пятого порядка// В сб.: «Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 5».- Саратов: Изд-во СГУ, 2009.-С. 14-17.
  9. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// Докл. АН СССР. -1951.- 77, № 1.-С. 11-14.
  10. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций.- М.: ГИТТЛ, 1956.
  11. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков.-Кишинев: Штиинца, 1986.
  12. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1969.
  13. Рыхлов В.С. Разложения по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов// Дисс. к.ф.-м.н. -Саратов, 1981.
  14. Рыхлов В.С. Асимптотика системы решений квазидифференциальных уравнений// В сб.: «Дифференциальные уравнения и теория функций. Разложение и сходимость. Межвуз. науч. сб. Вып. 5».- Саратов: Изд-во СГУ, 1983.-С. 51-59.
  15. Рыхлов В.С. Асимптотика системы решений дифференциального уравнения общего вида с параметром// Укр. мат. журн. -1996.-48, № 1. -С. 96-108.
  16. Рыхлов В.С. Кратная полнота собственных функций простейшего пучка 5-го порядка// Spectral and Evolution Problems.- 2002.- 12.-С. 42-51.
  17. Рыхлов В.С. Полнота собственных функций некоторых классов нерегулярных дифференциальных операторов// Spectral and evolution problems.- 2003.- 13.- С. 165-169.
  18. Рыхлов В.С. О полноте корневых функций простейших сильно нерегулярных дифференциальных операторов с двучленными двухточечными краевыми условиями// Докл. РАН. -2009.- 428, № 6.- С. 740-743.
  19. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. -Петроград: Тип. М.П. Фроловой, 1917.
  20. Тихомиров С.А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций// Дисс. к.ф.-м.н., Саратов, 1987.-126 с.
  21. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов в конечном интервале// Докл. АН СССР. - 1962.- 146, № 6.- С. 1294-1297.
  22. Хромов А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов// Дисс. д.ф.-м.н. -Новосибирск, 1973.
  23. Хромов А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов// Мат. заметки.-1974.-16, № 4. -С. 669-680.
  24. Хромов А.П. О порождающих функциях вольтерровых операторов// Мат. сб.-1977.-102, № 3.- С. 457-472.
  25. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка// В сб.: «Исследования по теории операторов».- Уфа: БФ АН СССР, 1988.-С. 182-193.
  26. Шкаликов А.А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями// Функц. анализ и его прилож. -1976.- 10, № 4. -С. 69-80.
  27. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях// Тр. сем. им. И.Г. Петровского.-1983.-№ 9.-С. 190-229.
  28. Benzinger H.E. Green’s function for ordinary differential operators// J. Differ. Equ. -1970.-7, № 3.- С. 478-496.
  29. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations// Trans. Am. Math. Soc.- 1908.- 9.- С. 373-395.
  30. Eberhard W. Zur Vollst¨andigkeit des Biorthogonalsystems von Eigenfunktionen irregul¨arer Eigenwertprobleme// Math. Z. -1976.- 146, № 3.- С. 213-221.
  31. Freiling G. Zur Vollst¨andigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregul¨arer Operator-bu¨schel// Math. Z.- 1984.- 188, № 1. -С. 55-68.
  32. Rykhlov V.S. On completeness of eigenfunctions for pencils of differential operators// Spectral and Evolution Problems.- 1997.- 7.- С. 70-73.
  33. Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff// Trans. Am. Math. Soc.- 1926.- 28.- С. 695-761.
  34. Stone M.H. Irregular differential systems of order two and related expansion problems// Trans. Am. Math. Soc. -1927.- 29.-С. 23-53.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies