Том 63, № 3 (2017): Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения

В работе рассматривается периодический магнитный оператор Шредингера в бесконечной плоской прямой полосе. Показано, что при определенных условиях на магнитный потенциал и достаточно малом периоде нижняя часть зонного спектра не содержит внутренних лакун. Длина нижней части зонного спектра, в которой гарантируется отсутствие внутренних лакун, получена в явном виде. Верхняя оценка на величину малого параметра, гарантирующая описанный выше результат, также получена в виде конкретного числа.

Представлен подход, объединяющий два класса дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка: вводится понятие лагранжева представления для уравнения неразрывности и скалярных законов сохранения. С одной стороны, это дает единственность слабых решений уравнений переноса, определяемых двумерными почти несжимаемыми векторными полями ограниченной вариации. С другой стороны, доказывается, что мера энтропийной диссипации для скалярных законов сохранения в случае одной пространственной переменной сконцентрирована на счетном множестве липшицевых кривых.

В обзоре обсуждается применение современных методов теории динамических систем с регулярной и хаотической гиперболической динамикой к исследованию топологической структуры магнитных полей в проводящих средах. Для содержательных классов магнитных полей рассматриваются известные физические модели, позволяющие редуцировать исследование таких полей к изучению векторных полей и диффеоморфизмов Морса-Смейла, а также диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме A, введенной С. Смейлом, обладающих нетривиальными базисными множествами. Для точечно-зарядной модели магнитного поля рассматриваются вопросы существования сепараторов, играющих важную роль в процессах пересоединения, а также изучаются соотношения между его особенностями. Приводится класс магнитных полей в короне Солнца, внутри которого решается вопрос о топологической эквивалентности двух полей. Приводится топологическая конструкция модификации веревочной модели Я. Б. Зельдовича недиссипативного кинематического динамо, заключающаяся в построении гиперболического диффеоморфизма с хаотической динамикой и консервативного в окрестности своего транзитивного инвариантного множества.

В настоящей работе получена явная формула объема произвольного гиперболического 4-симплекса через координаты вершин.

С помощью метода Эрмана изучается сохранение гладких семейств инвариантных торов в обратимом контексте 2 теории КАМ при различных слабых условиях невырожденности. Обратимый контекст 2 - это ситуация, в которой размерность многообразия неподвижных точек обращающей инволюции меньше половины коразмерности рассматриваемого инвариантного тора. Используемые условия невырожденности гарантируют сохранение любых заранее выбранных подмножеств частот невозмущенных торов и их показателей Флоке (собственных чисел матрицы коэффициентов вариационного уравнения вдоль тора).