On Entropy Solutions of Anisotropic Elliptic Equations with Variable Nonlinearity Indices

Abstract

For a certain class of second-order anisotropic elliptic equations with variable nonlinearity indices and L1 right-hand side we consider the Dirichlet problem in arbitrary unbounded domains. We prove the existence and uniqueness of entropy solutions in anisotropic Sobolev spaces with variable indices.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Пусть Ω - произвольная область пространства Rn = {x = (x1, x2,..., xn)}, Ω < Rn, n ) 2. В работе рассматривается задача Дирихле для уравнения вида n i \(ai(x, ∇u))x i=1 с однородным краевым условием = |u|p0(x)-2u + a(x, u), x ∈ Ω; (1) u ∂Ω = 0. (2) С конца прошлого столетия ведутся активные исследования нелинейных эллиптических уравнений второго порядка n i \(ai(x, u, ∇u))x i=1 - a0(x, u, ∇u) = f (3) с f ∈ L1 и мерами в качестве правых частей. Слабые решения уравнений вида (3) со степенными нелинейностями во всем пространстве Rn с f ∈ L1,loc(Rn) исследовались в работах [14, 21, 23] и др. Существование слабых решений задачи Дирихле в ограниченной области Ω для эллиптических уравнений с правой частью f ∈ L1(Ω) или ограниченной мерой Радона f, соответственно, установлено в работах [19, 20]. Ф. Бенилан, Л. Боккардо, Т. Галле, Р. Гариепи, М. Пьер, Дж. Л. Васкез для эллиптических уравнений со степенными нелинейностями с L1-правой частью в [16] предложили понятие энтропийного решения задачи Дирихле и доказали его существование и единственность. Вместо энтропийного решения, введенного впервые С. Н. Кружковым [7] для уравнений первого порядка, можно рассматривать также ренормализованное решение. Такие решения являются элементами того же функционального класса, которому принадлежат энтропийные решения, но в отличие от Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 475 последних удовлетворяют другому семейству интегральных соотношений. В ряде случаев понятия энтропийного и ренормализованного решения эквивалентны. Свойства суммируемости и оценки энтропийных решений задачи Дирихле в ограниченных областях для нелинейного эллиптического уравнения (3) с условием вырождающейся коэрцитивности установлены А. А. Ковалевским [2]. Существование энтропийного решения задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с вырождающейся коэрцитивностью и L1правой частью установлено в работе [9] и, в более общем случае, А. А. Ковалевским в [3]. В работе [18] введено понятие локального энтропийного решения для уравнения с p-лапласианом, поглощением и мерой Радона f : Δpu - |u|p0-2u = f, p ∈ (1, n), p < p0. (4) В частности, М. Ф. Биде-Верон для f ∈ L1,loc(Rn) доказала существование локального энтропийного решения уравнения (4) в пространстве Rn. Вопросы существования и единственности ренормализованных и энтропийных решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями и f ∈ L1(Ω) (Ω - ограниченная область) в пространствах Орлича исследовались в работах [8, 17, 27]. Теоремы существования и единственности энтропийных решений задачи Дирихле в произвольных областях для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями доказаны автором в [4, 5]. В настоящее время широко изучаются дифференциальные уравнения и вариационные задачи, связанные с условиями p(x)-роста. Интерес к исследованию был вызван тем фактом, что такие уравнения могут быть использованы для моделирования явлений, возникающих в математической физике. Электрореологические и термореологические жидкости являются двумя примерами физических полей, для которых востребованы такого рода исследования [28]. Другие важные приложения связаны с обработкой изображений и эластичностью. В работах [10, 12, 13, 15, 22, 29, 30] для уравнений с переменными показателями нелинейностей доказаны теоремы существования и единственности ренормализованных и энтропийных решений задачи Дирихле в ограниченных областях Ω. Из наиболее близких работ к представленному здесь результату являются [22, 29]. А именно, в работе [22] Б. К. Бонзи, С. Оуаро рассматривали в ограниченной области Ω ⊂ Rn, n ) 3, задачу Дирихле c граничным условием (2) для изотропного уравнения n i \(ai(x, ∇u))x i=1 n = f + a(u), где ),(ai(x, ∇u))xi - оператор типа p(x)-лапласиана, p : Ω → (1, ∞) - измеримая функция, i=1 a : R → R - непрерывная неубывающая функция. Для f ∈ L1(Ω) доказаны существование и единственность энтропийного решения. С. Оуаро в работе [29] для анизотропного уравнения n i i \(ai(x, ux ))x = f i=1 с f ∈ L1(Ω) доказал существование и единственность энтропийного решения задачи Дирихле в ограниченной области Ω ⊂ Rn, n ) 3, с граничным условием (2). На каратеодориевы функции ai(x, s) : Ω × R → R наложены довольно ограничительные условия. В качестве примера можно взять ai(x, s) = |s|pi(x)-2s, i = 1,..., n. Здесь pi : Ω → [2, n) - непрерывные функции такие, что n + - - p-(n - 1) < p- p-(n - 1) \ 1 pi - pi - 1 p - n i n(p- - 1) < , n - p- i=1 > 1, p - i < , p i - p-(n - 1) где p- = n ( n ), 1/p- \-1 , p- = inf pi(x), p+ = sup pi(x), i = 1,..., n. i i=1 i x∈Ω i x∈Ω Следует отметить, что имеется немало работ по рассматриваемой тематике с краевым условием Неймана, в том числе и нелинейным (см., например, [25]), здесь мы не будем останавливаться на этих результатах. Таким образом, в известных автору публикациях результаты установлены для энтропийных и ренормализованных решений эллиптических задач в ограниченных областях (за исключением работ [16, 18]). В настоящей статье доказаны существование и единственность энтропийных решений задачи Дирихле (1), (2) в анизотропных пространствах Соболева с переменными показателями без предположения ограниченности области Ω для существенно более широкого класса уравнений, чем в работах [22, 29] (см. ниже условия (2.1)-(2.7)). 1. АНИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО СОБОЛЕВА С ПЕРЕМЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Пусть Q < Rn - произвольная область. Обозначим C+(Q) = {p ∈ C(Q) : 1 < p- � p+ < +∞}, где p- = inf p(x), p+ = sup p(x). x∈Q x∈Q Пусть p ∈ C+(Q). Справедливо неравенство Юнга: |zy| � |y|p(x) + |z|pt(x), z, y ∈ R, x ∈ Q, p∗(x) = p(x)/(p(x) - 1), (1.5) кроме того, ввиду выпуклости имеет место неравенство: + |y + z|p(x) � 2p -1(|y|p(x) + |z|p(x)), z, y ∈ R, x ∈ Q. (1.6) Определим лебегово пространство с переменным показателем Lp(·)(Q) как множество измеримых на Q вещественнозначных функций v таких, что: r ρp(·),Q(v) = |v(x)| p(x) dx < ∞. Q Норма Люксембурга в пространстве Lp(·)(Q) определяется равенством ⊕v⊕Lp(·)(Q) = ⊕v⊕p(·),Q = inf ( p(·),Q k > 0 ρ (v/k) � 1 . Ниже будут использоваться обозначения ⊕v⊕p(·),Ω = ⊕v⊕p(·), ρp(·),Ω(v) = ρp(·)(v). Норма пространства Lp(Q) будет обозначаться как ⊕v⊕p,Q, причем ⊕v⊕p,Ω = ⊕v⊕p. Пространство Lp(·)(Q) является сепарабельным рефлексивным банаховым пространством [24]. Для любых u ∈ Lpt(·)(Q), v ∈ Lp(·)(Q) справедливо неравенство Гельдера r pt(·),Q p(·),Q u(x)v(x)dx � 2⊕u⊕ ⊕v⊕ , (1.7) Q а также имеют место следующие соотношения [24]: p- p+ ⊕v⊕p(·),Q - 1 � ρp(·),Q(v) � ⊕v⊕p(·),Q + 1, (1.8) 1/p+ ( )1/p- (ρp(·),Q(v) - 1) � ⊕v⊕p(·),Q � ρp(·),Q(v)+1 . (1.9) Обозначим -→p (·) = (p1(·), p2(·), ..., pn(·)) ∈ (C+(Q))n и определим p+(x) = max pi(x), x ∈ Q. i=1,n H- Анизотропное пространство Соболева с переменными показателями ˚1 →p (·) (Q) определим как по- 0 полнение пространства C∞(Q) по норме ⊕v⊕H˚1 n = \ ⊕vx ⊕ . →-p (·)(Q) i=1 i pi(·),Q H- Пространство ˚1 →p (·) (Q) является рефлексивным банаховым [26]. Пусть / n \-1 ⎧ np(x) ⎨ , p(x) < n, p(x) = n \ 1/pi(x) i=1 , p∗(x) = n - p(x) ⎩ +∞, p(x) ) n, p∞(x) = max{p∗(x), p+(x)}. H- Приведем теорему вложения для пространства ˚1 →p (·) (Q) [26, Теорема 2.5]. Лемма 1.1. Пусть Q - ограниченная область и -→p (·) = (p1(·), p2(·), ..., pn(·)) ∈ (C+(Q))n. Если q ∈ C+(Q) и q(x) < p∞(x) ∀ x ∈ Q, (1.10) →p (·) то имеет место непрерывное и компактное вложение H˚-1 (Q) '→ Lq(·)(Q). W 1 Замечание 1.1. Интересная особенность пространства Соболева c переменным показателем p(·)(Q) заключается в том, что гладкие функции не плотны в нем без дополнительных предположений о степени p(x). Это было отмечено В. В. Жиковым [1] в связи с эффектом Лаврентьева. Однако, если модуль непрерывности показателя p(x) удовлетворяет логарифмическому условию, то гладкие функции плотны в пространстве W 1 p(·) (Q) и нет никакой путаницы в определении пространства Соболева c переменным показателем H˚1 p(·) 0 1. в виде пополнения пространства C∞(Q) по норме ⊕∇ · ⊕p(·),Q. 2. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ Пусть -→p (·) = (p0(·), p1(·), ..., pn(·)) ∈ (C+(Ω))n+1. Будем считать, что p+(x) � p0(x) < p∗(x), x ∈ Ω. (2.1) Предполагается, что функции ai(x, s), a(x, s0), i = 1,..., n, входящие в (1), измеримы по x ∈ Ω для s0 ∈ R, s = (s1,..., sn) ∈ Rn, непрерывны по s0 ∈ R, s ∈ Rn для почти всех x ∈ Ω. a, Функция a(x, s0) не убывает по s0 ∈ R. Кроме того, существуют положительные числа � a и i(·) неотрицательные измеримые функции Φi ∈ Lpt (Ω) , i = 1,..., n, такие, что для п.в. x ∈ Ω и любых s, t ∈ Rn справедливы неравенства a(P(x 1/pt (x) |ai(x, s)| � � , s)) i + Φi(x), i = 1,..., n; (2.2) (a(x, s) - a(x, t)) · (s - t) > 0, s ⊗= t; (2.3) a(x, s) · s ) aP(x, s), (2.4) n где P(x, s) = ), |si|pi(x), s · t обозначает скалярное произведение s = (s1,..., sn), t = (t1,..., tn) ∈ i=1 Rn и a(x, s) = (a1(x, s),..., an(x, s)). Кроме того, будем использовать обозначения P∗(x, s) = n i(x) ), |si|pt , P(x, s0, s) = P(x, s) + |s0| p0(x). i=1 Применяя (1.6), из неравенств (2.2) выводим оценки: i(x) ∗ |ai(x, s)|pt � A�P(x, s) + Ψi(x), i = 1,..., n, (2.2 ) с неотрицательными измеримыми функциями Ψi ∈ L1(Ω), i = 1,..., n. Сформулируем дополнительные условия, которые используются в теореме существования. Положим a(x, s0) = a(x, 0) + b(x, s0). Будем считать, что a(x, 0) ∈ L1(Ω), (2.5) sup |s0|�k |b(x, s0)| = Gk (x) ∈ L1,loc(Ω). (2.6) Функция b(x, s0) каратеодориева, неубывающая по s0 ∈ R, b(x, 0) = 0 для п.в. x ∈ Ω, поэтому для п.в. x ∈ Ω, s0 ∈ R справедливо неравенство b(x, s0)s0 ) 0. (2.7) Через L-→p (·)(Ω) обозначим пространство Lp1(·)(Ω) × ... × Lpn(·)(Ω) с нормой ⊕v⊕L→-p (·)(Ω) = ⊕v⊕-→p (·) = ⊕v1⊕p1(·) + ... + ⊕vn⊕pn(·), v = (v1,..., vn) ∈ L-→p (·)(Ω). А через L-→p (·)(Ω) обозначим пространство Lp0(·)(Ω) × L-→p (·)(Ω) с нормой ⊕v⊕L→-p (·)(Ω) = ⊕v0⊕p0(·) + ⊕v⊕-→p (·), v = (v0, v1,..., vn) ∈ L-→p (·)(Ω). -→ Определим пространство Соболева с переменными показателями W˚ 1 p (·) (Ω) как пополнение про- 0 странства C∞(Ω) по норме Определим функцию ⊕ ⊕W˚ 1 v →-p (·)(Ω) · = ⊕v⊕p0( ) + ⊕v⊕H˚1 (Ω). →-p (·) Введем обозначение (u) = { udx. Ω Tk (r) = ⎧ ⎪⎨k при r > k, r при |r| � k, ⎪⎩-k при r < -k. Определение 2.1. Энтропийным решением задачи (1), (2) называется измеримая функция u : Ω → R такая, что 1. A(x) = a(x, u) ∈ L1(Ω); →p (·) 2. Tk (u) ∈ W˚-1 (Ω) при всех k > 0; 0 3. при всех k > 0, ξ(x) ∈ C1(Ω) справедливо неравенство: ((a(x, u)+ |u|p0(x)-2u)Tk (u - ξ)) + (a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ξ)) � 0. (2.8) Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.1)-(2.4) и u1, u2 - энтропийные решения задачи (1),(2), тогда u1 = u2 в Ω. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (2.1)-(2.7), тогда существует энтропийное решение задачи (1), (2). 1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны. Пусть χG(x) - характеристическая функция множества G. Из условия 2 определения энтропийного решения следует, что для любого k > 0 ∇Tk (u) = χ{Ω:|u|<k}∇u ∈ L-→p (·)(Ω). (3.1) Отсюда, применяя (2.2∗), устанавливаем, что для любого k > 0 χ{Ω:|u|<k}a(x, ∇u) ∈ L-→p t(·)(Ω). (3.2) Лемма 3.1. Если u - энтропийное решение задачи (1), (2), тогда для всех k > 0 справедливо неравенство r r P(x, u, ∇u)dx+ k |u|p0(x)-1dx � C1k. (3.3) {Ω:|u|<k} {Ω:|u|)k} Доказательство. Согласно неравенству (2.8) и условию 1 для ξ = 0 имеем r r |u|p0(x)-2uTk (u)dx+ r a(x, ∇u) · ∇udx � - a(x, u)Tk (u)dx � k⊕A⊕1. Ω {Ω:|u|<k} Ω Применяя неравенство (2.4), устанавливаем r r k |u|p0(x)-1dx+ r |u|p0(x)dx+ a P(x, ∇u)dx � k⊕A⊕1. {Ω:|u|)k} Отсюда имеем (3.3). {Ω:|u|<k} {Ω:|u|<k} Лемма 3.2. Пусть измеримая функция v : Ω → R такова, что при всех k > 0 имеем Tk v ∈ →p (·) W˚-1 (Ω) и справедливо неравенство тогда r {Ω:|v|)k} |v|p0(x)-1dx � C2, (3.4) meas {Ω : |v| ) k}→ 0, k → ∞; (3.5) |v|p0(x)-1 ∈ L1(Ω). (3.6) Доказательство. Включение (3.6) является очевидным следствием (3.4). Кроме того, из неравенства (3.4) следует отсюда имеем (3.5). kp- 0 -1meas{Ω : |v| ) k} � C2, k ) 1, Замечание 3.1. Если u - энтропийное решение задачи (1), (2), то из лемм 3.1, 3.2 следует meas {Ω : |u| ) k}→ 0, k → ∞; (3.7) |u|p0(x)-1 ∈ L1(Ω). (3.8) Лемма 3.3. Пусть измеримая функция v : Ω → R такова, что при всех k > 0 имеем Tk v ∈ →p (·) W˚-1 (Ω) и справедливо неравенство r r P(x, ∇v)dx+ k |v|p0(x)-1dx � C3k, (3.9) тогда {Ω:|v|<k} {Ω:|v|)k} meas {Ω : P(x, ∇v) ) h}→ 0, h → ∞. (3.10) Доказательство. Положим Φ(k, h) = meas {Ω : |v| ) k, P(x, ∇v) ) h}, k, h > 0. Выше установлено (см. (3.5)), что Φ(k, 0) → 0, k → ∞. Поскольку функция h → Φ(k, h) невозрастающая, то для k, h > 0 справедливы неравенства Отметим, что h 1 r Φ(0, h) � h 0 h 1 r Φ(0, Q)dQ � Φ(k, 0) + h 0 (Φ(0, Q) - Φ(k, Q))dQ. (3.11) Φ(0, Q) - Φ(k, Q) = meas {Ω : |v| < k, P(x, ∇v) ) Q}. Поэтому из (3.9) следует, что r∞ (Φ(0, Q) - Φ(k, Q))dQ = 0 Теперь, из (3.11) получаем неравенство r {Ω:|v|<k} P(x, ∇v)dx � C3k. Φ(0, h) � Φ(k, 0) + C3k/h. Выбирая k так, чтобы Φ(k, 0) < ε, затем выбирая h, добиваемся неравенства Φ(0, h) < 2ε. Тем самым (3.10) установлено. Лемма 3.4. Пусть p ∈ C+(Ω), vm(x), m ∈ N, v - такие функции из Lp( )(Ω), что {vm} ограничена в Lp(·)(Ω) и · vm → v, m → ∞, п.в. в Ω, m∈N · тогда vm --слабо в Lp( )(Ω) при m → ∞. Доказательство леммы 3.4 для ограниченной области проведено в [11], для неограниченной области оно также справедливо. Лемма 3.5. Если u является энтропийным решением задачи (1), (2), то неравенство (2.8) →p (·) справедливо для любой функции ξ ∈ W˚-1 (Ω) ∩ L∞ (Ω). Доказательство. По определению пространства -→ W˚ 1 p (·) (Ω) ∩ L∞ (Ω) существует последователь- 0 ∞ ность ξm ∈ C∞(Ω), ограниченная в L · (Ω), такая, что ∇ξm → ∇ξ в L-→p( )(Ω), ξm → ξ в L p0(·) (Ω) при m → ∞. Отсюда следует сходимость ξm → ξ, ∇ξm → ∇ξ в L1,loc(Ω) при m → ∞, а значит можно выделить подпоследовательность (обозначим ее так же) такую, что ξm → ξ, ∇ξm → ∇ξ п.в. в Ω. Тогда для любого k > 0 имеют место сходимости: Tk (u - ξm) → Tk (u - ξ), ∇Tk (u - ξm) → ∇Tk (u - ξ), m → ∞, п.в. в Ω. (3.12) ∞ Пусть �k = k + sup(⊕ξm⊕ , ⊕ξ⊕∞ ), тогда m∈N k |∇Tk (u - ξm)| � |∇T (u)| + |∇ξm|, x ∈ Ω, m ∈ N. · · Поскольку сходящаяся последовательность ∇ξm ограничена в L-→p( )(Ω), то отсюда, согласно (3.1), следует ограниченность норм ⊕∇Tk (u - ξm)⊕-→p( ), m ∈ N. Применяя (3.12), пользуясь леммой 3.4, при любом k > 0 имеем · ∇Tk (u - ξm) --∇Tk (u - ξ), m → ∞, в L-→p( )(Ω). (3.13) Теперь перейдем к пределу при m →∞ в неравенстве r r (a(x, u)+ |u|p0(x)-2u)Tk (u - ξm)dx+ Ω Ω a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ξm)dx � 0. Поскольку a(x, u), |u|p0(x)-2u ∈ L1(Ω) (см. определение 2.1 и (3.8)), то в первом слагаемом, применяя (3.12), согласно теореме Лебега, можно перейти к пределу при m → ∞. Ввиду того, что a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<k} ∈ L-→p t(·)(Ω) (см. (3.2)), применяя (3.13), устанавливаем, что второе слагаемое последнего неравенства также имеет предел при k → ∞. Замечание 3.2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо утверждения типа «из последовательности um можно выделить подпоследовательность (обозначим ее так же) сходящуюся п.в. в Ω при m → ∞» будем писать просто «последовательность um выборочно сходится п.в. в Ω при m → ∞». Соответственно, будем использовать термин «выборочно слабо сходится» и т.п. Лемма 3.6. Пусть (X, T , meas) - измеримое пространство такое, что meas(X) < ∞. Пусть γ : X → [0, +∞] - измеримая функция такая, что meas{x ∈ X : γ(x) = 0} = 0. Тогда для любого ε> 0 существует δ > 0 такое, что неравенство r влечет meas Q<ε [19, лемма 2]. γ(x)dx <δ Q 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ Рассмотрим при k, h > 0 функцию Tk,h(r) = Tk (r - Th(r)). Очевидно, ⎧ ⎪⎨0 при |r| < h, Tk,h(r) = r - h sign r при h � |r| <k + h, ⎪⎩k sign r при |r| ) k + h. Пусть u - энтропийное решение задачи (1), (2). Зафиксировав k, h > 0, положим в (2.8) ξ = 1 Th(u) ∈ L∞(Ω) ∩ W˚-→p ( )(Ω). Имеем · r r |u|p0(x)-2uTk,h(u)dx+ Ω Ω r r a · ∇Tk,h(u)dx = r = k {Ω:|u|)k+h} |u|p0(x)-1dx+ {Ω:h�|u|<k+h} r |u|p0(x)-2uTk,h(u)+ {Ω:h�|u|<k+h} r a · ∇udx � Применяя (2.4), выводим � - a(x, u)Tk,h(u)dx � k Ω {Ω:h�|u|} |A|dx. r r k |u|p0(x)-1dx+ a r P(x, ∇u)dx � k |A|dx. (4.1) {Ω:|u|)k+h} {Ω:h�|u|<k+h} {Ω:h�|u|} Поскольку A ∈ L1(Ω), то из (3.7) следует, что правая часть в (4.1) стремится к нулю при h → ∞. Доказательство теоремы 2.1. Пусть u1, u2 - энтропийные решения задачи (1), (2). В неравенстве (2.8) для u1 положим ξ = Th(u2), а для u2 положим ξ = Th(u1), h > k. Сложив интегральные неравенства, получим r I(h, k) = r A1 · ∇(u1 - Th(u2))dx+ A2 · ∇(u2 - Th(u1))dx � (4.2) Ω1(h,k) r r � - (A1 + |u1|p0(x)-2u1)Tk (u1 - Th(u2))dx - Ω2(h,k) (A2 + |u2|p0(x)-2u2)Tk (u2 - Th(u1))dx = J (h, k). Ω(h,k) Ω(h,k) Здесь Ai(x) = a(x, ∇ui), Ai(x) = a(x, ui), Ωi(k, h) = {x ∈ Ω : |ui - Th(u3-i)| < k}, i = 1, 2. Множества Ω1(h, k), Ω2(h, k) представляются в виде объединения непересекающихся подмножеств: Ω1(h, k) = Ω12(h, k) ∪ Ω1(h, k) ∪ Ω1(h, k), Ω2(h, k) = Ω12(h, k) ∪ Ω2(h, k) ∪ Ω2(h, k), 1 2 1 2 Ω12(h, k) = {x ∈ Ω : |u1 - u2| < k, |u1| < h, |u2| < h}, Ωi i 3-i(h, k) = {x ∈ Ω : |u - h sign u 3-i | < k, |u 3-i | ) h}, i = 1, 2, Ωi i(h, k) = {x ∈ Ω : |ui - u3-i i | < k, |u | ) h, |u 3-i | < h}, i = 1, 2. Интегралы в левой части (4.2) от функций Ai · ∇(ui - Th(u3-i)), i = 1, 2, по множеству Ω12(h, k) принимают вид: r Ω12(h,k) (A1 - A2) · ∇(u1 - u2)dx = I12(h, k). (4.3) 3-i Интегралы от функций Ai · ∇(ui - Thu3-i) по множествам Ωi (h, k), i = 1, 2, соответственно, благодаря (2.4), неотрицательны: r Ω1 r A1 · ∇u1dx+ 2 A2 · ∇u2dx ) 0. (4.4) 2(h,k) Наконец, пользуясь (2.4), получаем: r Ω1(h,k) r A1 · ∇(u1 - u2)dx+ Ω1 2 A2 · ∇(u2 - u1)dx ) 1(h,k) r r ) - A1 · ∇u2dx - Ω2(h,k) A2 · ∇u1dx = -I1(h, k) - I2(h, k). (4.5) Ω1 1(h,k) 1 2 2 Ω2(h,k) Соединяя (4.3)-(4.5), устанавливаем оценку I(h, k) ) I12(h, k) - I3(h, k), I3(h, k) = I1(h, k)+ I2(h, k). 1 2 Покажем, что I3(h, k) → 0 при h → ∞. Используя (1.5), оценим интеграл 1 |I1(h, k)| � ⊕χ {Ω:h�|u1|<h+k} P∗(x, A1)⊕1 + ⊕χ {Ω:h-k�|u2|<h} P(x, ∇u2)⊕1. 1 Применяя (4.1), (3.2), (3.7), устанавливаем, что I1(h, k) → 0 при h → ∞. Аналогично оценивается 2 интеграл I2(h, k). Очевидно представление: Ω = Ω�12(h) ∪ Ω�1(h) ∪ Ω�2(h), Ω�12(h) = {x ∈ Ω : |u1| < h, |u2| < h}, Ω�i(h) = {x ∈ Ω : |ui| ) h}, i = 1, 2. Для интегралов в правой части неравенства (4.2) от функций -(Ai + |ui|p0(x)-2ui)Tk (ui - Th(u3-i)), i = 1, 2, по множеству s0, имеем: Ω�12(h), ввиду неубывания функций a(x, s0), |s0|p0(x)-2s0 по r J 12(h) = - (a(x, u1) - a(x, u2)+ |u1|p0(x)-2u1 - |u2|p0(x)-2u2)Tk (u1 - u2)dx � 0. Ω� 12(h) Для интегралов от тех же функций по множеству Ω�1(h) получаем оценку: r |J 1(h)| � k Ω� 1(h) (|A1| + |A2| + |u1|p0(x)-1 + |u2|p0(x)-1)dx. (4.6) Аналогичная оценка имеет место для интегралов от тех же функций по множеству Ω�2(h): r |J 2(h)| � k Ω� 2(h) (|A1| + |A2| + |u1|p0(x)-1 + |u2|p0(x)-1)dx. (4.7) Поскольку A1, A2 ∈ L1(Ω), |u1|p0(x)-1, |u2|p0(x)-1 ∈ L1(Ω) и мера множеств Ω�1(h), Ω�2(h) стремится к нулю при h →∞ (см. (3.7)), то из оценок (4.6), (4.7) следует, что lim (|J 1(h)| + |J 2(h)|) = 0. h→∞ Таким образом, предельный переход в (4.2) дает соотношение r lim h→∞ I12(h, k) = lim h→∞ Ω12(h,k) (A1 - A2) · ∇(u1 - u2)dx � 0. Множество Ω12(h, k) при h →∞ сходится к Ω�12(k) = {x ∈ Ω | |u1 - u2| � k}, поэтому при любом k > 0 справедливо неравенство lim h→∞ r I12(h) = (a(x, ∇u1) - a(x, ∇u2) · ∇(u1 - u2)dx � 0. Ω 12(k) Это противоречит условию (2.3), поэтому ∇(u1 - u2) = 0 п.в. в Ω�12(k) при любом k > 0. Отсюда следует, что u1 = u2 п.в. в Ω. Рассмотрим уравнение 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ n i \(ai(x, ∇u))x i=1 - a0(x, u) = 0, x ∈ Ω. (5.1) a, Пусть существуют положительные числа � a и измеримые неотрицательные функции φ ∈ L1(Ω), i Φi ∈ Lpt (·) (Ω), i = 0, 1,..., n, такие, что для п.в. x ∈ Ω и любых s = (s0, s) ∈ Rn+1 справедливы неравенства a|s0|p0(x)-1 a(P(x, s))1/pt (x) + Φi(x), i = 1,..., n; (5.2) |a0(x, s0)| � � + Φ0(x), |ai(x, s)| � � i n a0(x, s0)s0 + \ ai(x, s)si ) aP(x, s0, s) - φ(x). (5.3) i=1 Определение 5.1. Обобщенным решением задачи (5.1), (2) назовем функцию u ∈ W˚ 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству →-p (·) v ∈ W- для любой функции ˚ 1 →p (·) В частности, в [6] доказана (a0(x, u)v) + (a(x, ∇u) · ∇v) = 0 (5.4) (Ω). Теорема 5.1. Если выполнены условия (2.3), (5.2), (5.3), (2.1), то существует обобщенное решение задачи (5.1), (2). На основе теоремы 5.1 строится 0 Доказательство теоремы 2.2. Шаг 1. Выберем последовательность функций Am(x) ∈ C∞(Ω) так, чтобы и при этом Рассмотрим уравнение Am(x) → A0(x) = a(x, 0), m → ∞, в L1(Ω) (5.5) ⊕Am⊕1 � ⊕A0⊕1, m ∈ N. (5.6) n i \(ai(x, ∇u))x i=1 0 = am(x, u), m ∈ N, (5.7) 0 c функцией am(x, s0) = Am(x) + bm(x, s0)+ |s0|p0(x)-2s0. Здесь bm(x, s0) = Tm(b(x, s0))χ < m}. Очевидно, что Ω(m) , где |bm(x, s0)| � |b(x, s0)|, x ∈ Ω, s0 ∈ R. (5.8) Кроме того, применяя (2.7), устанавливаем неравенство bm(x, s0)s0 ) 0, x ∈ Ω, s0 ∈ R. (5.9) Обобщенным решением задачи (5.7), (2) является функция um ∈ W˚ 1 (Ω), удовлетворяющая интегральному тождеству -→p (·) ((Am(x) + Tm(b(x, um))χΩ(m) + |um|p0(x)-2um)v) + (a(x, ∇um) · ∇v) = 0, m ∈ N, (5.10) v ∈ W- для любой функции ˚ 1 →p (·) (Ω). 0 Для функций a(x, s), am(x, s0) проверим условия (5.2), (5.3). Очевидно, что 0(·) |bm(x, s0)| = |Tm(b(x, s0))|χΩ(m) � mχΩ(m) ∈ Lpt (Ω), поэтому устанавливаем |am(x, s0)| � |Am(x)| + |bm(x, s0)| + |s0|p0(x)-1 � |s0|p0(x)-1 + Φm(x), Φm ∈ L t (Ω). (5.11) 0 Из (2.2), (5.11) следуют неравенства (5.2). Далее, применяя (1.5), (5.9), выводим 0 0 p0(·) am m m p0(x)-2 p0(x) p0(x) m pt (x) 0 (x, s0)s0 = (A (x) + b (x, s0)+ |s0| s0)s0 ) |s0| - ε|s0| - C(ε)|A | 0 . Отсюда, выбирая ε< 1, получаем неравенство am p0(x) m m 0 (x, s0)s0 ) (1 - ε)|s0| - φ0 (x), φ0 (x) ∈ L1(Ω). (5.12) Соединяя (2.4), (5.12), устанавливаем неравенство (5.3). →p (·) Согласно теореме 5.1 при каждом m ∈ N существует um ∈ W˚-1 (Ω) - обобщенное решение задачи (5.7), (2). Единственность решения задачи (5.7), (2) следует из условия строгой монотонности (2.3) и неубывания функции a(x, s0) по s0 ∈ R. Шаг 2. В (5.10) положив v = Tk,h(um), учитывая (5.9), будем иметь r r a(x, ∇um) · ∇umdx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx+ (5.13) {Ω:h�|um|<k+h} r ( {Ω:|um|)k+h} r + {Ω:h�|um|<k+h} bm(x, um)+ |um|p0(x)-2um (um - h sign um)dx � k {Ω:|um|)h} |Am|dx. Ввиду (5.9) для h � |um| справедливо неравенство (bm(x, um)+ |um|p0(x)-2um)(um - h sign um) ) 0. Учитывая это, из (5.13) выводим r {Ω:h�|um|<k+h} r ( a(x, ∇um) · ∇umdx+ r + k {Ω:|um|)k+h} |bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx � k {Ω:|um|)h} |Am|dx. С помощью (2.4), согласно (5.6), последнее неравенство приводится к виду: r r a P(x, ∇um)dx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx � (5.14) {Ω:h�|um|<k+h} {Ω:|um|)k+h} r � k |Am|dx � k⊕A0⊕1, m ∈ N. {Ω:|um|)h} Теперь в качестве пробной функции в (5.10) возьмем Tk (um). Применяя (5.6), устанавливаем r r a(x, ∇um) · ∇umdx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx+ {Ω:|um|<k} {Ω:|um|)k} r + |um|p0(x)dx � k⊕Am⊕1 � k⊕A0⊕1. {Ω:|um|<k} Отсюда, используя неравенство (2.4), получаем r r P(x, ∇um)dx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx+ {Ω:|um|<k} {Ω:|um|)k} r + |um|p0(x)dx � kC1, m ∈ N. (5.15) Из оценки (5.15) имеем r {Ω:|um|<k} r r |Tk (um)|p0(x)dx = Ω {Ω:|um|<k} |um|p0(x)dx+ {Ω:|um|)k} kp0(x)dx � r r � |um|p0(x)dx+ k |um|p0(x)-1dx � kC1, m ∈ N. (5.16) {Ω:|um|<k} Кроме того, из (5.15) следует оценка r {Ω:|um|)k} r {Ω:|um|<k} P(x, ∇um)dx = Ω P(x, ∇Tk (um))dx � C1k, m ∈ N. (5.17) Ввиду произвольности k > 0 из неравенства (5.15) имеем оценку ⊕bm(x, um)⊕1 + ⊕|um|p0(x)-1⊕1 � C1, m ∈ N. (5.18) И наконец, благодаря (5.8), (2.6), устанавливаем: + sup |um|�k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1) � sup |um|�k + |b(x, um)| + kp0 -1 +1 = (5.19) = Gk (x) + kp0 -1 +1 ∈ L1,loc(Ω), m ∈ N. Шаг 3. Из (5.15), согласно лемме 3.2, имеем: meas (Ω : |um| ) h) → 0, h → ∞, равномерно по m ∈ N. (5.20) Установим сходимость: um → u, m → ∞, п.в. в Ω. (5.21) Пусть ηR(r) = min(1, max(0,R +1 - r)). Из оценки (5.17), применяя (1.6), выводим: r r P(x, ∇(ηR(|x|)Tk (um)))dx � C2 r P(x, ∇um)dx+ C2 P(x, Tk (um)∇ηR(|x|))dx � Ω {Ω:|um|<k} Ω � C3(k, R), m ∈ N. Отсюда, при любых фиксированных k, R > 0 следует ограниченность последовательности {ηR(|x|)Tk (um)}m H˚1 ∈N в H- ˚1 →p (·) (Ω(R + 1)). По лемме 1.1, согласно условию (2.1), пространство 0 · 0 · -→p (·)(Ω(R + 1)) компактно вложено в пространство Lp0(·)(Ω(R + 1)). Таким образом, для любых фиксированных k, R > 0 установлена выборочная сходимость ηR(|x|)Tk (um) → vk в Lp ( )(Ω(R +1)) при m → ∞. Отсюда следует сходимость Tk (um) → vk в Lp ( )(Ω(R)), а также выборочная сходимость Tk (um) → vk почти всюду в Ω(R) при m → ∞ для k ∈ N. Диагональным процессом устанавливается, что найдется измеримая функция u : Ω → R такая, что vk = Tk (u) и um → u п.в. в Ω(R) для любого R> 0. Отсюда следует сходимость (5.21). Из сходимости um → u п.в. в Ω(R) для любого R > 0 следует сходимость по мере, а значит и фундаментальность um по мере: meas {Ω(R) : |um - ul| ) ν}→ 0 при m, l →∞ для любого ν > 0. (5.22) Шаг 4. Из (5.17), (2.2∗) при любом k > 0 имеем оценку: ⊕P∗(x, a(x, ∇um))χ {Ω:|um |<k}⊕1 � C4(k), m ∈ N. (5.23) Из неравенства (5.15), согласно лемме 3.3, имеем: meas {Ω : P(x, ∇um) ) h}→ 0 при h →∞ равномерно по m ∈ N. (5.24) Сначала установим сходимость: ∇um → ∇u, m → ∞, локально по мере. (5.25) Для ν, θ, h, R > 0 рассмотрим множество Eν,θ,h(R) = {Ω(R) : |ul - um| < ν, P(x, ∇ul) � h, P(x, ∇um) � h, |ul| < h, |um| < h, |∇(ul - um)| ) θ}. Поскольку справедливо включение {Ω(R) : |∇(ul - um)| ) θ}⊂ {Ω : P(x, ∇ul) > h}∪ {Ω : P(x, ∇um) > h}∪ ∪{Ω(R) : |ul - um| ) ν}∪ {Ω : |ul| ) h}∪ {Ω : |um| ) h}∪ Eν,θ,h(R), то, в силу (5.20), (5.24), выбором h добьемся неравенств meas {Ω(R) : |∇(ul - um)| ) θ} < (5.26) < 4ε + meas Eν,θ,h(R)+ meas {Ω(R) : |ul - um| ) ν}, m, l ∈ N. По условию монотонности (2.3) и известному факту, что непрерывная функция на компакте достигает наименьшего значения, найдется γ(x) > 0 п.в. в Ω такая, что при P(x, s) � h, P(x, t) � h, |s - t| ) θ справедливо неравенство (a(x, s) - a(x, t)) · (s - t) ) γ(x). (5.27) Введем обозначение Am(x) = am(x, um) = Am(x) + bm(x, um) + |um|p0(x)-2um. Из (5.6), (5.18) 0 0 следует ограниченность последовательности {Am}m N в L (Ω). Запишем (5.10) дважды для um и ul и вычтем из первого второе; получим 0 ∈ 1 r (a(x, um) a(x, ul) r vdx+ (Am Al )vdx = 0. ∇ - ∇ ·∇ Ω 0 - 0 Ω Подставляя пробную функцию v = ηR(|x|)ηh(|ul|)ηh(|um|)Tν (um - ul), устанавливаем соотношение r (a(x, um) a(x, ul) (η ( x )η ( ul )η ( um )T (um ul))dx = ∇ - ∇ Ω r ·∇ R | | h | | h | | ν - = - (Am - Al )ηR(|x|)ηh(|ul|)ηh(|um|)Tν (um - ul)dx � C5ν, m, l ∈ N. (5.28) 0 0 Ω Далее, применяя (5.27), выводим r r γ(x)dx � (a(x, ∇um) - a(x, ∇ul) o ∇(um - ul)dx � Eν,θ,h(R) r � {Ω:|um-ul|<ν} Eν,θ,h(R) ηR(|x|)ηh(|ul|)ηh(|um|)(a(x, ∇um) - a(x, ∇ul))∇(um - ul)dx. (5.29) Соединяя (5.29), (5.28), применяя (1.5), (5.17), (5.23), получаем n r γ(x)dx � \ r |ai(x, ∇um)||Tν (um - ul)|dx+ Eν,θ,h(R) n + \ m i=1 {Ω:|u |<h+1,|x|<R+1} r i=1 r n {Ω:|ul|<h+1,|x|<R+1} |ai(x, ∇ul)||Tν (um - ul)|dx+ + \ ( a (x, um) + a (x, ul) ) ul T (um ul) dx+ i=1 r n | i ∇ {Ω:h<|ul|<h+1,|um|<h+1} | | i ∇ | | xi || ν - | + \ ( a (x, um) + a (x, ul) ) um T (um ul) dx+ C ν � (5.30) i=1 | i ∇ {Ω:h<|um|<h+1,|ul|<h+1} | | i ∇ | | xi || ν - | 5 � ν(3⊕P∗(x, a(x, ∇um))χ {Ω:|um |<h+1}⊕1 + 3⊕P∗(x, a(x, ∇ul))χ {Ω:|ul|<h+1} ⊕1 + + 2⊕P(x, ∇um)χ {Ω:|um |<h+1}⊕1 + 2⊕P(x, ∇ul)χ {Ω:|ul|<h+1} ⊕1 + C6(R)) � C7(R, h)ν. Для произвольного δ > 0 при фиксированных R, h выбором ν из (5.30) устанавливаем неравенство r Eν,θ,h(R) γ(x)dx < δ. Применяя лемму 3.6, для любого ε> 0 выводим meas Eν,θ,h(R) < ε. (5.31) Кроме того, согласно (5.22), можно выбрать m0(ν, R, ε) такое, что meas {Ω(R) : |ul - um| ) ν} < ε, m, l ) m0. (5.32) Соединяя (5.26), (5.31), (5.32), в итоге для любого θ > 0 выводим неравенство meas {Ω(R) : |∇(ul - um)| ) θ} < 6ε, m, l ) m0. Отсюда следует фундаментальность по мере последовательности {∇um}m ∈N на множестве Ω(R) при любом R> 0, это влечет сходимость (5.25), а также выборочную сходимость: ∇um → ∇u, m → ∞, п.в. в Ω. (5.33) Шаг 5. Докажем, что |um|p0(x)-2um → |u|p0(x)-2u, bm(x, um) → b(x, u), m → ∞, в L1,loc(Ω), (5.34) |um|p0(x)-2um → |u|p0(x)-2u, bm(x, um) → b(x, u), m → ∞, п.в. в Ω. (5.35) Из (5.14) при k = h имеем: ( r |bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 r dx � r |Am - A0|dx+ |A0|dx, m ∈ N. {Ω:|um|)2h} {Ω:|um|)h} {Ω:|um|)h} Ввиду включения A0 ∈ L1(Ω), сходимости (5.5) и абсолютной непрерывности интегралов в правой части последнего неравенства, учитывая (5.20), для любого ε > 0 можно выбрать достаточно большое h такое, что: r {Ω:|um|)2h} (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx < ε, m ∈ N. (5.36) Из непрерывности b(x, s0) по s0 и сходимости (5.21) следует, что при фиксированном h имеют место сходимости χ{Ω:|um|<2h}|u m|p0(x)-2um → χ{Ω:|u|�2h}|u| p0(x)-2 u, m → ∞, п.в. в Ω, χ m b m {Ω:|u |<2h} (x, um ) → χ{Ω:|u|�2h}b(x, u), m → ∞, п.в. в Ω. Пусть K - произвольное компактное подмножество Ω. Ввиду (5.19), применяя теорему Лебега, устанавливаем сходимости χ{Ω:|um|<2k}|u m|p0(x)-2um → χ{Ω:|u|�2k}|u| p0(x)-2 u, m → ∞, в L1(K), χ m b m {Ω:|u |<2k} (x, um ) → χ{Ω:|u|�2k}b(x, u), m → ∞, в L1(K). Отсюда, учитывая (5.36), получаем (5.34). Из оценки (5.18), ввиду (5.35), согласно теореме Фату заключаем, что b(x, u), |u|p0(x)-2u ∈ L1(Ω), отсюда из (2.5) вытекает справедливость условия 1 определения 2.1. k ∈ -→ Шаг 6. Покажем, что T (u) W˚ 1 p (·) (Ω) для любого k > 0. Соединяя (5.16), (5.17), (1.9) для любого фиксированного k > 0, выводим оценку 1/p- W→1 ⊕ k ⊕ ˚ T um -p (·)(Ω) n i = \ ⊕Dx i · Tk (um)⊕p ( ) n ⎛ r � \ ⎝1+ |Dxi i Tk (um))x ⎞ dx pi(x) | ⎠ i � C8(k), m ∈ N. i=0 i=0 Ω W- Рефлексивность пространства ˚ 1 →p (·) (Ω) W- позволяет выделить слабо сходящуюся в ˚ 1 →p (·) (Ω) подпоследовательность Tk um --v, m → ∞, причем v ∈ W- ˚ 1 →p (·) (Ω). Непрерывность естественного W- отображения ˚ 1 →p (·) (Ω) → L-→p (·)(Ω) влечет слабую сходимость 0 · Tk (um) --, m → ∞, в Lp ( )(Ω). (5.37) Пользуясь сходимостью (5.21), применяя лемму 3.4, для любого фиксированного k > 0 имеем слабую сходимость 0 · Tk (um) --k (u), m → ∞, в Lp ( )(Ω). (5.38) →p (·) Из (5.37), (5.38) следует равенство v = Tk u ∈ W˚-1 (Ω). 0 Шаг 7. Чтобы доказать (2.8), возьмем пробную функцию v = Tk (um - ξ), ξ ∈ C1(Ω), в тождестве (5.10). Получим r r ( a(x, ∇um) · ∇Tk (um - ξ)dx+ Ω Ω bm(x, um)+ |um|p0(x)-2um + Am Tk (um - ξ)dx = Im + J m = 0. m Положим M = k + ⊕ξ⊕∞. Если |u | ) M, то |um - ξ| ) |um | - ⊕ξ⊕∞ ) k, поэтому {Ω : |um - ξ| < k}⊆ {Ω : |um| < M }, что означает r Im = Ω r a(x, ∇um) · ∇Tk (um - ξ)dx = (5.39) = a(x, ∇TM (um)) · (∇TM (um) - ∇ξ)χ m {Ω:|u Ω dx = Im - Im. -ξ|<k} 1 2 Из сходимостей (5.21), (5.33), ввиду непрерывности функции a(x, s) по s, имеем: a(x, ∇TM (um)) · ∇TM (um)χ {Ω:|um -ξ|<k} → a(x, ∇TM (u)) · ∇TM (u)χ {Ω:|u-ξ|�k} , m → ∞, п.в. в Ω. Кроме того, применяя (5.17), (5.23), (1.5), устанавливаем оценку r 1 = {Ω: |um-ξ|<k} Im a(x, ∇TM (um )) · ∇TM (um )dx � C9(k), m ∈ N. Тогда по лемме Фату имеем: r m a(x, ∇TM (u)) · ∇TM (u)χ{Ω:|u-ξ|�k}dx � lim →∞ 1 inf Im. (5.40) Ω Из (5.23) следует ограниченность последовательности норм ⊕P∗(x, a(x, ∇TM (um))χ {Ω:|um -ξ|<k}⊕1 � ⊕P∗(x, a(x, ∇um))χ {Ω:|um |<M }⊕1 � C10 (k), m ∈ N. Применяя лемму 3.4, устанавливаем слабую сходимость: a(x, ∇TM (um))χ {Ω:|um -ξ|<k} --a(x, ∇TM (u))χ {Ω:|u-ξ|�k} , m → ∞, в L-→p t(·) (Ω). 2 Выполняя предельный переход в Im, имеем: lim m→∞ r 2 Im = Ω a(x, ∇TM (u)) · ∇ξχ{Ω:|u-ξ|�k} dx. (5.41) Соединяя (5.39)-(5.41), устанавливаем r lim m→∞ r inf Im ) Ω a(x, ∇TM (u)) · (∇TM (u) - ∇ξ)χ r {Ω:|u-ξ|�k} dx = = Ω Ввиду того, что a(x, ∇u) · ∇(u - ξ)χ{Ω:|u-ξ|�k}dx = Ω a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ξ)dx. (5.42) Tk (um - ξ) → Tk (u - ξ), m → ∞, п.в. в Ω; |vTk (um - ξ)| � k|v|∈ L1(Ω), ∀ v ∈ L1(Ω), m ∈ N, согласно теореме Лебега, имеем Tk (um - ξ) ---∗ k (u - ξ), m → ∞, в L∞ (Ω). (5.43) Интеграл J m также разобьем на два слагаемых. Первый интеграл ( r J m 1 = bm Ω (x, um )+ |u m|p0(x)-2um Tk (um - ξ)dx оценивается следующим образом. Рассмотрим возрастающую последовательность {Kl} компакт- ∞ ных подмножеств Ω таких, что l=1 Kl = Ω. Пусть supp ξ ⊂ Kl, l ) l0, vm = um - ξ, v = u - ξ, cm(x, um) = bm(x, um) + |um|p0(x)-2um, c(x, u) = b(x, u) + |u|p0(x)-2u. Тогда, учитывая (5.9), при l ) l0 имеем: r J m 1 = Ω\Kl cm(x, um )Tk (um r )dx+ Kl cm(x, um )Tk (vm r )dx ) Kl cm(x, um )Tk (vm 1 )dx = J lm. Применяя (5.34), (5.43), переходим к пределу при m → ∞, а затем при l → ∞, получим r (b(x, u)+ |u|p0(x)-2u)Tk (u - ξ)dx = lim lim 1 J lm � lim inf J m. (5.44) l→∞ m→∞ Ω m→∞ 1 Используя (5.5), (5.43), выполняя предельный переход при m →∞ во втором интеграле, устанавливаем r J m 2 = Am Ω Tk (um r · ξ)dx → Ω A0Tk (u - ξ)dx. (5.45) Соединяя (5.42), (5.44), (5.45), выводим (2.8).