Стохастический лагранжев подход к вязкой гидродинамике

Аннотация

Работа представляет собой обзор результатов автора с модификациями и предварительными сведениями по использованию стохастического анализа на соболевских группах диффеоморфизмов плоского n-мерного тора для описания движения вязких жидкостей (неслучайных). Основная идея состоит в замене ковариантных производных на группах диффеоморфизмов в уравнениях, введенных Д. Эбином и Дж. Марсденом для описания идеальных жидкостей, на так называемые производные в среднем случайных процессов.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 285 2. Производные в среднем 286 3. Группы диффеоморфизмов 288 4. Вязкая гидродинамика 290 5. Возможные обобщения на неньютоновские жидкости 292 Список литературы 293 1. ВВЕДЕНИЕ Эта статья посвящена памяти Н. Д. Копачевского, в творчестве которого очень заметную роль играла гидродинамика. Эта работа является обзором лагранжева подхода к гидродинамике, инициированного известными работами В. И. Арнольда [2] и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена [5]. В [5] на языке бесконечномерной геометрии групп соболевских диффеоморфизмов компактных многообразий была очень красиво описана гидродинамика идеальных несжимаемых жидкостей. В частности, было показано, что поток идеальной несжимаемой жидкости с нулевой внешней силой описывается уравнением геодезической слабой римановой метрики на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов. В работах автора было показано, что потоки вязкой несжимаемой жидкости описываются стохастическими аналогами уравнений Эбина и Марсдена, в которых обычная ковариантная производная на группе диффеоморфизмов заменяется так называемыми производными в среднем случайных процессов, введенными в 60-х годах XX века Э. Нельсоном (см. [10-12]) для нужд созданной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Хотя конструкция основана на применении стохастического анализа, результаты удается получить для детерминированных (не случайных) вязких жидкостей. Обзор этих результатов (см. [6-9]) вместе со всеми предварительными сведениями и существенными модификациями и является основной целью настоящей работы. В работе также содержатся новые результаты. В отличие от Эбина и Марсдена, мы рассматриваем гидродинамику только на плоском n-мерном торе. Напомним, что плоский тор получается факторизацией n-мерного евклидова пространства по целочисленной решетке, при которой риманова метрика на торе наследуется из евклидовой метрики пространства. Работа поддержана грантом РФФИ № 18-01-00048. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 285 286 Ю. Е. ГЛИКЛИХ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ В СРЕДНЕМ Для простоты изложения мы опишем теорию производных в среднем для процессов в Rn. Однако из-за того, что геометрия на торе наследуется из Rn, это изложение без изменений применяется на торе. Рассмотрим случайный процесс ξ(t) в Rn (где мы фиксируем σ-алгебру борелевских множеств), t ∈ [0,T ], заданный на некотором вероятностном пространстве (Ω, F , P) и такой, что ξ(t) принадлежит пространству L1(Ω, Rn) при всех t. Такой процесс определяет три семейства σ-подалгебр σ-алгебры F : t 1. «прошлое» Pξ, порожденное прообразами борелевских множеств из Rn при всех отображениях ξ(s) : Ω → Rn для 0 ::: s ::: t; t 2. «будущее» F ξ, порожденное прообразами борелевских множеств из Rn при всех отображениях ξ(s) : Ω → Rn для t ::: s ::: T ; t 3. «настоящее» N ξ, порожденное прообразами борелевских множеств из Rn при отображении ξ(t) : Ω → Rn. Все перечисленные семейства предполагаются полными, т. е. содержащими все множества вероятности нуль. Для удобства мы обозначаем через Eξ условное математическое содержание E(·|N ξ ) t t t относительно «настоящего» N ξ для ξ(t). Следуя Э. Нельсону, введем следующие понятия производных в среднем: Определение 2.1. 4. Производная в среднем справа Dξ(t) процесса ξ(t) в момент времени t есть L1-случайный элемент вида E Dξ(t) = lim ξ ×t→+0 t ( ξ(t + U.t) - ξ(t)\ U.t , (2.1) где предел предполагается существующим в L1(Ω, F , P), а символ U.t → +0 означает, что U.t стремится к нулю 0 и U.t> 0. 5. Производная в среднем слева D∗ξ(t) процесса ξ(t) в момент времени t есть L1-случайный элемент D∗ξ(t) = lim Δt→+0 Eξ ( ξ(t) - ξ(t - Δt)\ t Δt , (2.2) где (как и в пункте 1) предел предполагается существующим в L1(Ω, F , P), а символ Δt → +0 означает, что Δt → 0 и Δt> 0. t Замечание 2.1. Если ξ(t) - марковский процесс, то очевидным образом Eξ можно заменить на E(·|Pξ ) в (2.1) и E(·|F ξ ) в (2.2). В первых работах Нельсона предлагались два варианта определеt t ния производных в среднем: как в определении 2.1 и с условными математическими ожиданиями относительно «прошлого» и «будущего», как выше, которые совпадают для марковских процессов. Мы не предполагаем, что ξ(t) - марковский процесс, и даем определения с условными математическими ожиданиями относительно «настоящего», принимая во внимание физический принцип локальности: производная должна определяться состоянием системы в «настоящий» момент времени, а не в прошлом и в будущем. Тем не менее, производные относительно прошлого и будущего также возникают во многих задачах для немарковских процессов. Мы называем их P-производной F в среднем и -производной в среднем и обозначаем символами DP и DF , соответственно. Изу- ∗ чению уравнений и включений с подобными производными в среднем посвящена работа [4]. Мы также используем следующие обобщения понятий производных в среднем справа и слева: Определение 2.2. Производная справа Dξη(t) процесса η(t) относительно процесса ξ(t) в момент времени t есть L1-случайный элемент вида Dξη(t) = lim Eξ ( η(t+×t)-η(t) ), а производная ×t→+0 t ×t слева Dξη(t) процесса η(t) относительно ξ(t) имеет вид Dξη(t) = lim Eξ ( η(t)-η(t-Δt) ), где пре- ∗ ∗ Δt→+0 t Δt делы полагаются существующими в L1(Ω, F , P), а U.t → +0 означает, что U.t стремится к 0 и 6. t> 0. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 287 Следующая производная в среднем строится как небольшая модификация одной идеи Нельсона. Введем дифференциальный оператор D2, который действует на L1-случайный процесс ξ(t), t ∈ [0,T ], по правилу D2ξ(t) = lim ×t→+0 E ξ /(ξ(t+×t)-ξ(t))(ξ(t+×t)-ξ(t))∗ t t \ , где (ξ(t + U.t) § ξ(t)) рас- × сматривается как вектор-столбец (вектор в Rn), а (ξ(t + U.t) - ξ(t))∗ - это вектор строка (транспонированный или сопряженный вектор), а предел предполагается существующим в L1(Ω, F , P). Подчеркнем, что матричное произведение столбца слева и строки справа - это матрица, так что D2ξ(t) является симметрической неотрицательно определенной матричной функцией на [0,T ]× Rn. Определение 2.3. D2 называется квадратичной производной в среднем. Замечание 2.2. Из свойств условного математического ожидания следует, что существуют изn меримые по Борелю отображения a(t, x), a∗(t, x) и α(t, x) из R×R в Rn , Rn ив S¯+, соответственно, такие, что Dξ(t) = a(t, ξ(t)), D∗ξ(t) = a∗(t, ξ(t)) и D2ξ(t) = α(t, ξ(t)). Следуя [1], мы называем a(t, x), a∗(t, x) и α(t, x) регрессиями. Напомним стандартное обозначение регрессии: a(t, x) = lim E ×t→+0 ( ξ(t + U.t) - ξ(t) U.t \ | ξ(t) = x . Для a∗(t, x) и α(t, x) обозначения аналогичны. Подобные обозначения мы будем использовать ниже. Напомним, что процесс Ито - это процесс ξ(t) вида ξ(t) = ξ0 +( t a(s)ds +( t A(s)dw(s), где пер- 0 0 вый интеграл - интеграл Лебега, а второй - интеграл Ито, A(t) : Rk → Rn - линейный оператор, зависящий от t, а w(t) - винеровский процесс в Rk. Определение 2.4. Процесс Ито ξ(t) называется процессом диффузионного типа, если a(t) и A(t) не упреждают относительно Pξ и винеровский процесс w(t) подчинен Pξ. Если a(t) = a(t, ξ(t)) t t и A(t) = A(t, ξ(t)), где a(t, x) и A(t, x) - измеримые по Борелю отображения из [0,T ] × Rn в Rn и в L(Rk, Rn), соответственно, то процесс Ито называется диффузионным процессом. t Принимая во внимание свойства условного математического ожидания и тот факт, что N ξ является σ-подалгеброй в Pξ, легко видеть, что для любого мартингала η(t) относительно Pξ t t выполняется равенство Dξη(t) = 0. Поскольку для процесса диффузионного типа интеграл Ито ( t ξ 0 A(s)dw(s) является мартингалом относительно Pt , имеет место следующее утверждение. t Теорема 2.1 (см. [3]). Для процесса Ито диффузионного типа ξ(t) производная в среднем справа Dξ(t) существует и равна Eξ (a(t)). В частности, если ξ(t) - диффузионный процесс, Dξ(t) = a(t, ξ(t)). t Теорема 2.2 (см. [3]). Пусть ξ(t) - процесс диффузионного типа. Тогда D2ξ(t) = Eξ [α(t)], где α(t) = A(t)A∗(t). В частности, если ξ(t) - диффузионный процесс, то D2ξ(t) = α(t, ξ(t)), где α(t, x) = A(t, x)A∗(t, x) - коэффициент диффузии. Теорема 2.3. Для процесса диффузионного типа ξ(t) равенство D2ξ(t) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда A = 0, и, таким образом, ξ(t) является неслучайным (детерминированным) процессом. Определение 2.5. Производная DS = 1 (D + D ) называется симметрической производной в 2 ∗ среднем. Производная DA = 1 (D - D ) называется антисимметрической производной в среднем. 2 ∗ Рассмотрим векторы vξ (t, x) = 1 (a(t, x)+ a (t, x)) и uξ (t, x) = 1 (a(t, x) - a (t, x)). 2 ∗ 2 ∗ Определение 2.6. vξ (t) = vξ (t, ξ(t)) = DSξ(t) называется текущей скоростью процесса ξ(t); uξ (t) = uξ (t, ξ(t)) = DAξ(t) называется осмотической скоростью процесса ξ(t). Физический смысл текущей и осмотической скоростей состоит в следующем. Пусть ξ(t) описывает движение физического процесса, скажем, движение частицы (кредо автора состоит в том, что все физические процессы - случайные с малой дисперсией, так что обычно можно исключить из рассмотрения их стохастичность). Тогда текущая скорость vξ - это как раз та характеристика, 288 Ю. Е. ГЛИКЛИХ которую мы обычно рассматриваем какфизическую скорость, а осмотическая скорость uξ показывает насколько быстро частица «диффундирует» в окружающий континуум, т. е. насколько быстро нарастает «случайность». Пусть Y (t, m), t ∈ [0, l] - гладкое зависящее от времени векторное поле на Rn. Определим производные в среднем справа DY и слева D∗Y поля Y вдоль ξ(t) следующим образом: DY (t, ξ(t)) = lim Eξ Y (t +Δt, ξ(t +Δt)) - Y (t, ξ(t)) , Δt→+0 t Δt ∗ Δ D Y (t, ξ(t)) = lim t→+0 t . Eξ Y (t, ξ(t)) - Y (t - Δt, ξ(t - Δt)) Δt Предположим, что ξ имеет коэффициент диффузии σ2I. Тогда соответствующие регрессии DY и D∗Y выражаются формулами DY = / σ2 Δ+ X + ∂ \ Y и D Y = / -σ2 Δ+ X + ∂ \ Y, (2.3) 2 ·∇ ∂t ∗ 2 ∗ ·∇ ∂t ∂x1 где Δ - оператор Лапласа, ∇ = ( ∂ ∂xn ,... , ∂ ) ((x1,... , xn) - координаты в Rn), и точка обозначает скалярное произведение Rn. Производные второго порядка DDξ(t) и D∗D∗ξ(t) мы описываем как первые производные D от регрессии (т. е. векторного поля) Dξ и, соответственно, D∗ от регрессии (векторного поля) D∗ξ. Замечание 2.3. . В случае, когда ξ имеет коэффициент диффузии σ2I, обозначим регрессию D∗ξ символом Y. Тогда по второй формуле (2.3) мы получаем ( -σ2 ∂ \ ·∇ D∗D∗ξ = Δ+ Y + 2 ∂t Y, (2.4) где правая часть формулы (2.4) совпадает с левой частью уравнения Бюргерса. 3. ГРУППЫ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ Здесь мы опишем некоторые свойства групп соболевских диффеоморфизмов на плоском nмерном торе (см. подробности в [5] а также их развитие в [7]). Пусть T n - плоский n-мерный тор и Ds(T n) - его группа соболевских диффеоморфизмов класса Hs(s> n/2+ 1). Напомним, что для s> n/2+1 отображения из Hs имеют гладкость C1. s D (T 1. является гильбертовым многообразием и группой относительно суперпозиции с единицей e = id. Касательное пространство TeDs(T n) - это пространство всех Hs-векторных полей на T n. Мы обозначаем через β подпространство в TeDs(T n), состоящее из бездивергентных Hsвекторных полей на T n. Касательное расслоение T Ds(T n) - это множество Hs-отображений из T n в T T n такое, что проекции на T n дают отображения из Ds(T n). В любом Tf Ds(T n) можно определить L2-скалярное произведение по формуле r (X, Y ) = ±X(m),Y (m)∓f (m) μ(dm). (3.1) T n s Семейство этих скалярных произведений образует так называемую слабую риманову метрику на D (T n). В частности, в TeDs(T n) скалярное произведение (3.1) принимает вид r (X, Y )e = ±X(m),Y (m)∓mμ(dm). (3.2) T n →D Правый сдвиг Rf : Ds(Tn) s(T ∈D n), где Rf (Θ) = Θ ◦ f при Θ,f s(T n), является C ∞-гладким отображением. Касательное отображение к правому сдвигу имеет вид TRf (X) = X ◦ f при 2. ∈ T Ds(Tn). → D С другой стороны, левый сдвиг Lf : Ds(Tn) s(T ∈ D n), где Lf (Θ) = f ◦ Θ при Θ,f s(T n), только непрерывен. Зафиксируем вектор x ∈ Rn и обозначим через lx : Tn → Tn отображение lx(m) = m + x по модулю факторизации по целочисленной решетке пространства Rn. Отметим, что левый сдвиг Llx C∞-гладок. Напомним, что T T n = T n × Rn. Введем операторы B : T T n → Rn - проекции на второй сомноm житель в T n × Rn, и A(m) : Rn → T n - обратный к B линейный изоморфизм Rn n на касательное пространство к T n в m ∈T . СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 289 ∈D Введем Qg(m) = A(g(m))◦B, где g s(T ∈T n), m n . Для каждого Y ∈ Tf Ds(T n) мы получаем, ∈D что Qg Y = A(g(m)) ◦ B(Y (m)) ∈ Tg Ds(T n) при всех f s(T n). Лемма 3.1. Верны соотношения TRg-1 (Qg X) = Qe(T Rg-1 X), TRg (Qg-1 X) = Qe(T Rg X). Лемма 3.2. Qg является параллельным переносом в Ds(T n) относительно связности ЛевиЧивиты метрики (3.1) Доказательства лемм 3.1 и 3.2 можно найти, например, в [7]. Таким образом, для гладкого векторного поля Y (t) вдоль гладкой кривой g(t) в Ds(T n) ковариантная производная в момент времени t∗ определяется как D¯ Y (t)| = d (Q Y (t))| . dt t=t∗ dt g(t∗) t=t∗ Напомним, что (см. [7]) геодезическая - это гладкая кривая g(t) в Ds(T n) такая, что D¯ g˙(t) = 0. (3.3) dt Для такой кривой g(t) построим вектор v(t) ∈ TeDs(T n) по формуле v(t) = g˙ (t) ◦ g-1(t). Лемма 3.3. Если g(t) - геодезическая, то кривая Rf g(t) - также геодезическая. Лемма 3.4. Пусть g(t) - геодезическая и x ∈ Rn - некоторый вектор. Тогда lxg(t) - геодезическая. Рассмотрим оператор A¯ : Ds(T n) × Rn → T Ds(T n) такой, что A¯e совпадает с введенным выше s A, и для каждого g ∈D (T n) отображение A¯g : Rn → Tg Ds(T n) получается из A¯e правым сдвигом, т. е. для X ¯ ∈ Rn: A¯g (X) = T Rg ◦ Ae(X) = (A ◦ g)(X). Каждое правоинвариантное векторное поле A(X) является C∞-гладким на Ds(T n) для каждого X ∈ Rn. Для любой точки m ∈ Tn обозначим через expm : TmTn → Tn отображение, которое переводит вектор X ∈ TmTn в точку m + X по модулю факторизации по целочисленной решетке → D на Tn. Семейство таких отображений порождает отображение exp : TeDs(Tn) s(T n), кото- ∈ D рое переводит вектор X ∈ TeDs(Tn) в e + X s(T (e + X)(m) = m + X(m). n), где e + X - диффеоморфизм Tn вида: s Рассмотрим суперпозицию exp ◦ A¯e : Rn →D (T n). По построению для произвольного X ∈ Rn мы получаем, что exp ◦ A¯e(X)(m) = m + X, т. е. тот же самый вектор X добавляется к каждой точке m. Пусть w(t) - винеровский процесс в Rn, заданный на некотором вероятностном пространстве (Ω, F , P). Построим случайный процесс W (σ)(t) = exp ◦ A¯e(σw(t)) (3.4) ω в Ds(T n). По построению, для ω ∈ Ω соответствующая выборочная траектория W (σ)(t) - это диффеоморфизм вида W (σ)(t)(m) = m + σw (t). Отметим, что для заданного ω ∈ Ω и заданного ω ω t ∈ R мы получаем, что w(t)ω - постоянный вектор в Rn. Это означает, что для заданного ω и t действие W (σ)(t) совпадает с l . ω w(s)ω μ Пусть Ds (T n) - группа соболевских сохраняющих объем Hs-диффеоморфизмов на T n (s > n/2+ 1), подгруппа и гильбертово подмногообразие Ds(T n) (см. [5, 7]). Так же как для Ds(T n), можно ввести правый сдвиг и левый сдвиг. Первый - C∞-гладкий, а второй - непрерывен. Касательное пространство к Ds (T n) в единице e = id обозначается через TeDs (T n). Это μ пространство всех бездивергентных Hs-векторных полей на T μ n. Касательное пространство в μ η ∈ Ds (T μ n) состоит из суперпозиций X ◦ η, где X ∈ TeDs (T n). Отметим, что касательное отоб- μ ражение к правому сдвигу имеет ту же форму, как просто для правого сдвига: TRg X = X ◦ g, X ∈ TeDs (T n). n Правоинвариантное векторное поле X¯ μ на Ds (T ) порождено единственным вектором X ∈ s TeDμ(T n) по формуле X¯g = T RgX = X ◦ g. Отметим, что X¯ является C k-гладким тогда и только тогда, когда X как вектор на T n принадлежит соболевскому классу Hs+k. В частности, X¯ C∞-гладко тогда и только тогда, когда X C∞-гладко. μ n Отметим, что поле операторов A можно рассматривать как отображение A : Rn → TeDs (T n). μ Но Ds s (T ) мы используем слабую риманову метрику, которая является сужением (3.1) на ка- μ сательное расслоение Ds (T n). Рассмотрим ортогональную проекцию P : Hs → TeDμ(T n) относительно скалярного произведения (3.2). Из разложения Ходжа (см., например, [5, 7]) вытекает, 290 Ю. Е. ГЛИКЛИХ что эта проекция существует и ядро P является пространством всех градиентов. Так что для произвольного Y ∈ Hs имеет место представление P (Y ) = Y - grad p, (3.5) где p - некоторая Hs+1-функция на T n (единственная с точностью до аддитивной константы). μ Ковариантная производная на Ds (T n) вводится формулой dt dt D˜ = P D¯ . Рассмотрим уравнение D˜ g˙(t) = F¯(t, g(t), g˙(t)) (3.6) dt μ n на Ds (T n). Если F достаточно гладко, для любого начального данного g(0) = e и g˙ (0) = u0 ∈ μ TeDs (T ) уравнение (3.6) имеет решение, корректно определенное на некотором интервале t ∈ [0,T ]. Это решение описывает поток идеальной несжимаемой жидкости на T n под действием внешней силы F. Если F = 0, это геодезическая связности Леви-Чивиты метрики (3.2) и она описывает поток в отсутствие внешних сил. Ниже, если не сказано противное, мы имеем дело с g(t) в случае F = 0. Замечание 3.1. Используя оператор P и формулу (3.5), мы получаем следующую модификацию формулы (2.4). Как и в замечании 2.3, в случае, когда ξ имеет коэффициент диффузии σ2I, / -σ2 ∂ \ обозначим регрессию D∗ξ символом Y. Тогда P D∗D∗ξ = 2 Δ+ Y ·∇ + ∂t 3. - grad p, где правая часть совпадает с левой частью уравнения Навье-Стокса. 4. ВЯЗКАЯ ГИДРОДИНАМИКА Основная идея предлагаемого описания вязкой гидродинамики состоит в использовании на группах диффеоморфизмов стохастических уравнений - аналогов (3.3) и (3.6) - в которых для сжимаемых жидкостей D¯ заменяется на D D , а для несжимаемых - D˜ на PD D . Осуществляется dt ∗ ∗ dt ∗ ∗ переход к эйлерову описанию, т. е. соответствующие объекты правыми сдвигами переносятся в касательные пространства в единицах групп, и при этом условное математическое ожидание превращается в обычное (безусловное) математическое ожидание. Затем показывается, что полученные детерминированные векторные поля на торе удовлетворяют различным вариантам уравнения Бюргерса или Навье-Стокса, соответственно. Отметим, что мы строим указанные процессы (решения уравнений) на группах диффеоморфизмов с помощью случайных возмущений потоков пылевидной материи или идеальной несжимаемой жидкости. Здесь мы предполагаем, что s> n/2+ 2. Так что диффеоморфизмы из Ds(T n) имеют гладкость C2, также как и векторные поля из TeDs(T n) на торе. Везде ниже мы используем один и тот же стохастический процесс W (σ)(t), построенный из выбранного нами винеровского процесса w(t) в Rn по формуле (3.4). Пусть g(t) - решение уравнения (3.3) на Ds(T n) с начальным условием g(0) = e и g˙(0) = v0 ∈ TeDs(T n). Это решение существует на некотором интервале t ∈ [0,T ]. Рассмотрим v(t) = g˙(t) ◦ g-1(t) ∈ TeDs(T n). Этот бесконечномерный вектор может быть также описан как векторное поле на T n, которое мы обозначим v(t, m). Рассмотрим случайный процесс η(t) = W (σ)(t) ◦ g(t) на Ds(T n). В конечномерном представлении η(t) является случайным диффеоморфизмом на T n вида η(t, m) = g(t, m) + σw(t). Построим дополнительный случайный процесс ξ(t) = η(T - t), или, в конечномерном описании, ξ(t, m) = g(T - t, m) + σw(T - t). Поскольку w(t) - мартингал относительно его собственного «прошлого», из свойств относительного математического ожидания мы выводим, что D¯ s n D∗ξ(t) = g˙(T - t, m) = v(T - t, g(T - t, m)) и поэтому D∗D∗ξ(t) = ds g˙(s)|s=T -t = 0 на D (T ). Рассмотрим случайный процесс ξt(s) = ξ(s)◦ξ-1(t) = W (σ)(T -s)◦g(T -s)◦g-1(T -t)◦(W (σ)(T - t))-1. Отметим, что случайный диффеоморфизм (W (σ)(T - t))-1 действует по правилу (W (σ)(T - t))-1(m) = m-σw(T -t). При s = t мы получаем ξt(t) = ξ(t)◦ξ-1(t) = W (σ)(T -t)◦g(T -t)◦g-1(T - t) ◦ (W (σ)(T - t))-1 = e. По построению, m = ξ(t, ξ-1(t, m)) = g(T - t, ξ-1(t, m)) + σw(T - t). Тогда g(T - t, ξ-1(t, m)) = m - σw(T - t), так что ξ-1(t, m) = g-1(T - t, m - σw(T - t)). Следовательно, ξt(s, m) = ξ(s, g-1(T - t, m - σw(T - t)) = g(T - s, g-1(T - t, m - σw(T - T )) + σw(T - t). ∈D Отметим, что ξt(t, m) = m - σw(T - t)+ σw(T - t) = m, т. е. ξt(t) = e s(T n). Тогда σ-алгебра t «настоящее» N ξ тривиальна, и это означает, что условное математическое ожидание относительно СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 291 этой σ-алгебры совпадает с обычным математическим ожиданием. Таким образом, принимая во внимание соотношения между v(t) и g(t) и определение D∗, мы получаем, что D∗ξt(s) = E(v(T - - - e R t, m σw(T t))) = E(Q T -1 W (σ)(T -t) v(T - t)). Введем на T n векторное поле V (t, m) = E(v(t, m - σw(t))) (в бесконечномерном описании W (σ)(t) V (t) = E(QeT R-1 v(t))). Теорема 4.1. V (T - t, m) удовлетворяет уравнению Бюргерса d dt V (T - t, m)+ (V (T - t, m) · ∇)V (T - t, m) - 2 σ2 2 ∇ V (T - t, m) = 0, (4.1) где ∇2 - оператор Лапласа-Бельтрами, который на плоском торе совпадает с обычным лапласианом. Доказательство. Выберем t ∈ [0,T ] и ω ∈ Ω и рассмотрим кривую ζt,ω (s), s ∈ [0,T ], зависящую от параметра ω, вида W (σ) ζt,ω (s) = R-1 ω (T -t) g(T - s, g-1(T - t)) = g(T - s, g-1(T - t, m - σw(T ))). (4.2) Отметим, что ζt,ω (s) задана по аналогии с ξt,ω (s), введенной выше, но в формуле для ξt,ω (s) имеется дополнительный стохастический член σw(T - s). Таким образом, мы можем рассматривать ζt,ω (s) W (σ) как гладкую кривую с начальным условием ζt,ω (t) = R-1 ω (T -t) ω e = (W (σ)(T - t))-1. Отметим, что d d -1 ds l(σwω (T -t))ζt,ω (s)|s=t = Qe ds ζt,ω (s)|s=t = -QeTR (σ) v(T - t). Wω (T -t) Поскольку g(T -s) - геодезическая, по лемме 3.4 кривая ζt,ω (s) - тоже геодезическая при почти всех ω ∈ Ω. Напомним, что действие W (σ)(t) совпадает с действием lσw(t) . Значит, W (σ)(t)ζ (s) = ω D¯ d ω ω t,ω lσw(T -t)ω ζt,ω (s) тоже геодезическая. Итак, ds ds lσw(s)ω ζt,ω (s) = 0. Напомним, что EQeT R-1 v(T - t) = V (T - t) и D ξ (s) = V (T - t). Из этого мы выво- Wω (T -t) ∗ t D¯ d дим, что D∗D∗ξt(s)|s=t = D∗V (T - t, ξt(s))|s=t = -E( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t) = 0. Но поскольку D∗ξt(s)|s=t = V (T - t), по формуле (2.4) мы получаем, что D∗D∗ξt(s)|s=t совпадает с левой частью уравнения (4.1). Теперь перейдем к случаю несжимаемых жидкостей. μ ∂t ∂t Пусть g(t) - решение уравнения (3.6) с F = 0. Рассмотрим u(t) = g˙ (t) ◦ g-1(t) ∈ TeDs (T n). Этот бесконечномерный вектор можно также представить как бездивергентное векторное поле на T n, которое мы обозначим u(t, m). Напомним (см., например, [5]), что u(t, m) удовлетворяет уравнению Эйлера без внешней силы: ∂u = -P ((u · ∇)u), которое после применения формулы (3.5) принимает обычный вид ∂u + (u · ∇)u - grad p = 0. Рассмотрим введенный выше процесс W (σ)(t). o построению он принимает значения в Ds (T n). П μ μ Таким образом, на Ds (T n) мы можем повторить приведенную выше конструкцию для Ds(T n), т. е. (σ) определить η(t) = W (t) ◦ g(t), где t ∈ [0,T ] и ξ(t) = η(T - t) (т. е.в конечномерных обозначениях ξ(t, m) = g(T - t, m)+ σw(T - t)). Легко видеть, что D∗ξ(t) = g˙(T - t, m) = u(T - t, g(T - t, m)), и, таким образом, P¯D∗D∗ξ(t) = � g˙(s)|s=T -t = 0 на Dμ(T ). D s n ds Так же, как выше, процесс ξt(s) = ξ(s) ◦ ξ-1(t) обладает свойством ξt(t) = e. Его конечномерное описание в точности аналогично случаю Ds(T n). Введем на T n векторное поле U (t, m) = E(u(t, m - σw(t))) (прямой аналог V (t, m)). Мы также W (σ)(t) обозначим это поле как бесконечномерный вектор U (t) = E(QeTR-1 u(t)). Лемма 4.1. Векторное поле U (t, m) бездивергентно. Доказательство. По построению, для элементарного события ω ∈ Ω диффеоморфизм (W (t)ω )-1 представляет собой сдвиг тора целиком на постоянный вектор. Следовательно, Qe, примененное к TR -1 W (t)ω u(t), означает параллельный перенос на торе бездивергентного векторного поля u(t) W (t) целиком на тот же самый постоянный вектор назад. Так что QeTR-1 u(t) - случайное бездивергентное векторное поле на торе. Следовательно его математическое ожидание бездивергентно. 292 Ю. Е. ГЛИКЛИХ Итак, U (t) ∈ TeDs (T n). Легко показать, что D ξ (s) = U (T - t). μ ∗ t |s=t μ Введем ζt,ω (s) аналогично формуле (4.2). Отметим, что на Ds (T n) оператор lx не переводит геодезические в геодезические. Так что мы имеем D¯ d P D∗D∗ξt(s)|s=t = P D∗U (T - t, ξt(s))|s=t = -PE( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t) /= 0. Следовательно, нет аналога теоремы 4.1. Принимая во внимание формулу (3.5), мы можем доказать только следующее утверждение. Теорема 4.2. Поле U (T - t) удовлетворяет уравнению Навье-Стокса d σ2 U (T -t, m)+(U (T -t, m)·∇)U (T -t, m)- 2 D¯ ∇ U (T -t, m)-grad p = -PE( d l(σw (t))ζt,ω (s) ) dt 2 D¯ d ds ds ω |s=t с внешней силой -PE( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t). D¯ d Отметим, что сила -PE( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t) однозначно восстанавливается по каждому потоку g(t) идеальной несжимаемой жидкости с использованием формулы (4.2) и ковариантной производной. Таким образом, если рассмотреть в TeDs (T n) уравнение PD D ξ (s) = μ ∗ ∗ t |s=t PE( D¯ d l ζ (s) ), оно предыдущими рассуждениями преобразуется в уравнение Навье- ds ds (σwω (t)) t,ω |s=t Стокса с нулевой внешней силой d dt U (T - t, m)+ (U (T - t, m) · ∇)U (T - t, m) - 2 σ2 2 ∇ U (T - t, m) - grad p = 0. 5. ВОЗМОЖНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ НА НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ Здесь мы рассмотрим жидкости, у которых в уравнениях Бюргерса и Навье-Стокса вязкий член описывается не оператором Лапласа с коэффициентом вязкости, а другим оператором чисто второго порядка B(t) c симметрической положительно определенной матрицей, не зависящей от пространственных переменных, но, возможно, зависящей от времени. В этот класс операторов входит, например, случай с оператором Лапласа, но с коэффициентом диффузии, зависящим от времени, а также случай, когда вязкий член описывается суммой оператора Лапласа и еще какогото оператора. Из того, что матрица оператора B(t) симметрична и положительно определена, нетрудно увидеть, что существует оператор B(t), также не зависящий от пространственных переменных, но, возможно, зависящий от времени, такой, что B(t) = B(t)B∗(t). Используя оператор B(t), мы заменим винеровский процесс W (σ) на группах диффеоморфизмов, использованный в предыдущем разделе, на процесс W (t) = exp ◦ A¯e (r t 0 \ B(s)dw(s) . (5.1) 0 По построению, для ω ∈ Ω соответствующая выборочная траектория Wω (t) - это диффеоморфизм вида Wω (t)(m) = m + ( t B(s)dw(s)ω . Отметим, что для заданного ω ∈ Ω и заданного t ∈ R 0 мы получаем, что ( t B(s)dw(s)ω - постоянный вектор в Rn. Это означает, что для заданного ω и ω Г t t действие W (t) совпадает с l . 0 B(s)dw(s)ω Как и в предыдущем разделе, мы предполагаем, что s> n/2+2. Везде ниже мы используем один и тот же стохастический процесс W (t), построенный из выбранного нами винеровского процесса w(t) в Rn по формуле (5.1). Пусть g(t) - решение уравнения (3.3) на Ds(T n) с начальным условием g(0) = e и g˙(0) = v0 ∈ TeDs(T n). Это решение существует на некотором интервале t ∈ [0,T ]. Рассмотрим v(t) = g˙(t) ◦ g-1(t) ∈ TeDs(T n). Этот бесконечномерный вектор может быть также описан как векторное поле на T n, которое мы обозначим v(t, m). Рассмотрим случайный процесс η(t) = W (t) ◦ g(t) на Ds(T n). В конечномерном представлении 0 η(t) является случайным диффеоморфизмом на T n вида η(t, m) = g(t, m)+( t B(s)dw(s). Построим дополнительный случайный процесс ξ(t) = η(T - t), или, в конечномерном описании, ξ(t, m) = g(T - t, m)+ ( T -t B(s)dw(s). Поскольку ( t B(s)dw(s) - мартингал относительно его собственного 0 0 «прошлого», из свойств условного математического ожидания мы выводим, что D∗ξ(t) = g˙(T - D¯ s n t, m) = v(T - t, g(T - t, m)) и поэтому D∗D∗ξ(t) = ds g˙(s)|s=T -t = 0 на D (T ). СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 293 Рассмотрим случайный процесс ξt(s) = ξ(s)◦ξ-1(t) = W (T -s)◦g(T -s)◦g-1(T -t)◦(W (T -t))-1. m - ( T -t Отметим, что случайный диффеоморфизм (W (T - t))-1 действует по правилу (W (T - t))-1(m) = 0 0 B(s)dw(s). При s = t мы получаем ξt(t) = ξ(t) ◦ ξ-1(t) = W (T - t) ◦ g(T - t) ◦ g-1(T - t) ◦ (W (T - t))-1 = e. По построению m = ξ(t, ξ-1(t, m)) = g(T - t, ξ-1(t, m)) + ( T -t B(s)dw(s). Тогда g(T -t, ξ-1(t, m)) = m-( T -t B(s)dw(s), так что ξ-1(t, m) = g-1(T -t, m-( T -t B(s)dw(s)). Следо- 0 0 вательно, ξt(s, m) = ξ(s, g-1(T - t, m - ( T -t B(s)dw(s)) = g(T - s, g-1(T - t, m - ( T -t B(s)dw(s)) + ( T -t 0 0 0 B(s)dw(s). Отметим, что ξt(t, m) = m - ( T -t B(s)dw(s) + ( T -t B(s)w(s) = m, т. е. ξt(t) = e на Ds(T n). 0 0 t Тогда σ-алгебра «настоящее» N ξ тривиальна, и это означает, что условное математическое ожидание относительно этой σ-алгебры совпадает с обычным математическим ожиданием. Таким образом, принимая во внимание соотношения между v(t) и g(t) и определение D∗, мы получаем, что ∗ t 0 e D ξ (s) = E(v(T - t, m - ( T -t B(s)dw(s))) = E(Q T R-1 v(T - t)). W (T -t) 0 Введем на T n векторное поле V (t, m) = E(v(t, m-( t B(s)dw(s))) (в бесконечномерном описании W (t) V (t) = E(QeT R-1 v(t))). Теорема 5.1. V (T - t, m) удовлетворяет следующему аналогу уравнения Бюргерса: ∂ ∂t V (T - t, m)+ (V (T - t, m) · ∇)V (T - t, m) - 1 2 B(t)V (T - t, m) = 0, ∂xi∂xj где B(t) - дифференциальный оператор второго порядка B(t) = Bij (t) ∂ с матрицей (Bij )(t) = B(t)B∗(t). Доказательство теоремы 5.1 в точности аналогично доказательству теоремы 4.1 с заменой W (σ) на W. Переход к случаю несжимаемых жидкостей также аналогичен тому, что описано в предыдущем разделе, с заменой W (σ) на W. Получается аналог уравнения Навье-Стокса с вязким членом вида 1 ∂ 1 - 2 B(t)U (T - t, m): ∂t U (T - t, m)+ (U (T - t, m) · ∇)U (T - t, m) - 2 B(t)U (T - t, m) - grad p = 0.