On the Dirichlet Problem for Di erential-Di erence Elliptic Equations in a Half-plane

Abstract

The Dirichlet problem is considered in a half-plane (with continuous and bounded boundaryvalue function) for the model elliptic di erential-di erence equation uxx + auxx(x + h, y)+ uyy = 0, |a|<1. Its solvability is proved in the sense of generalized functions, the integral representation of the solution is constructed, and it is proved that everywhere but the boundary hyperplane this solution satis es the equation in the classic sense as well.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Теория дифференциально-разностных эллиптических уравнений в частных производных в настоящее время активно развивается и находит многочисленные приложения. Для задач в ограниченных областях глубокое и полное изложение теории можно найти, например, в [5, 9, 10, 13] (см. также имеющуюся там библиографию). Задачи в неограниченных областях пока исследованы в меньшей степени. Настоящая работа посвящена задаче Дирихле для модельного дифференциально-разностного сильно эллиптического уравнения в полуплоскости. Как известно, в классическом случае дифференциальных эллиптических уравнений такие задачи корректно разрешимы в естественных (и достаточно широких) классах краевых функций (см., например, [4, 8]), однако обладают и определенным своеобразием; в частности, в качественных свойствах их решений возникают эффекты, характерные, вообще говоря, для параболического случая (см. [7, 12]). В настоящей работе доказывается разрешимость исследуемой задачи в смысле обобщенных функций, строится интегральное представление решения формулой пуассоновского типа, доказывается гладкость решения вне границы. Рассмотрим задачу 1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ uxx + auxx(x + h, y)+ uyy = 0, x ∈ (-∞, +∞), y ∈ (0, +∞), (1.1) u1 1 1y=0 = u0(x), x ∈ (-∞, +∞), (1.2) где a и h - вещественные параметры, |a| < 1, а u0 непрерывна и ограничена. Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации НШ-4479.2014.1 и гранта РФФИ 1401-00265. Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 102 О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 103 Прежде всего отметим, что ограничение, наложенное на a, эквивалентно сильной эллиптичности рассматриваемого уравнения, т. е. положительной определенности вещественной части символа дифференциально-разностного оператора, стоящего в левой части этого уравнения, взятой с обратным знаком (см. [13, § 9]). Действительно, указанный символ равен -ξ2 - aξ2e-ihξ - η2, т. е. его вещественная часть, взятая с обратным знаком, равна (1 + a cos hξ)ξ2 + η2. Если |a| < 1, то существует такая положительная постоянная C, что (1 + a cos hξ)ξ2 + η2 ;;: C(ξ2 + η2) для любой точки (ξ, η) плоскости; в противном случае, полагая η = 0 и выбирая такое отличное от нуля ξ, что левая часть последнего неравенства обращается в нуль, получаем, что указанное неравенство не выполнено в точке (ξ, 0) ни при каком положительном C, а значит, уравнение (1.1) не является сильно эллиптическим. Далее, следуя классической операционной схеме (см., например, [2, §10]), применим (формально) преобразование Фурье к задаче (1.1)-(1.2), используя тот факт, что в образах Фурье оператор сдвига действует как мультипликатор: f (-x + h) = e-ihξ f---(ξ). Получим следующую начальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения: d2 u dy2 = ξ 2(1 + ae- ihξ )u, x ∈ (-∞, +∞), (1.3) u0(ξ). (1.4) Отметим, что полученная задача не является задачей Коши, поскольку уравнение имеет второй порядок, а начальное условие только одно. Итак, (1.3) - это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (зависящее от параметра ξ), характеристическое уравнение которого имеет два корня ±ρ(cos θ + i sin θ), где ρ(ξ) = |ξ| 2a cos hξ + a2 +1 1 1 a sin hξ , θ(ξ) = arctg . (1.5) ( Таким образом, любая функция вида 4 2 1+ a cos hξ u u0 C1(ξ)eyρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)] + C2(ξ)e-yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)], (1.6) в которой функции C1(ξ) и C2(ξ) удовлетворяют условию C1(ξ)+C2(ξ) = (ξ), является решением задачи (1.3)-(1.4). Положим C1(ξ) ≡ 0, C2(ξ) = (ξ). Тогда решение задачи (1.3)-(1.4) равно +∞ r (ξ)e eixξu0 -yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)] dξ = +∞ r eixξ 0 e-yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)]dξ +∞ r u0(τ )e -iτξ dτ = -∞ -∞ -∞ +∞ +∞ r r = u0(τ )ei(x-τ )ξe-yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)]dξdτ = +∞ +∞ r r -∞ -∞ = u0(τ )dτ -∞ -∞ e-yρ(ξ) cos θ(ξ)( cos[(x - τ )ξ - yρ(ξ) sin θ(ξ)] + i sin[(x - τ )ξ - yρ(ξ) sin θ(ξ)] dξ. Воспользовавшись четностью функции ρ и нечетностью функции θ, приводим последнее выражение к виду +∞ r 2 u0(τ ) r∞ e-yρ(ξ) cos θ(ξ) cos[(x - τ )ξ - yρ(ξ) sin θ(ξ)]dξdτ. -∞ 0 г 1 ± cos ( arctg a sin hξ \\ 1+ a cos hξ Теперь представим cos θ(ξ) и sin θ(ξ) в виде I 2 . Тогда, воспользовавшись формулой arctg x = arccos √ 1 1+ x2 , получаем, что 104 А. Б. МУРАВНИК 1 г 1 1 1+ a cos hξ √2 cos θ(ξ) = 1+ I 1+ a2 sin2 hξ (1 + a cos hξ)2 = √2 1+ /( 1 + a cos hξ)2 + a2 sin2 hξ = 1 /a2 +1+ 2a cos hξ +1+ a cos hξ 1 1 (/2a cos hξ + a2 +1+ a cos hξ +1 = √2 2 1 /a2 +1+ 2a cos hξ = √2 ( , 2a cos hξ + a2 +1 4 1 2 1 (/2a cos hξ + a2 +1 - a cos hξ - 1 1 . sin θ(ξ) = √2 ( 2a cos hξ + a2 +1 4 Обозначив (2a cos hξ + a2 +1 1 через ϕ(ξ), получаем, что ρ(ξ) cos θ(ξ) = |ξ| /ϕ(ξ)+ a cos hξ + 1, 2 √2 √2 а ρ(ξ) sin θ(ξ) = |ξ| /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1, откуда следует, что +∞ ∞ r r ξ √ г ξ l 2 u(x, y) = 2 -∞ u0(τ ) 0 e-y √ ϕ(ξ)+a cos hξ+1 cos 2 (x - τ )ξ - y √ /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 dξdτ = +∞ ∞ г / l r r = 2 u0(x - τ ) e-yξ / ϕ(ξ)+a cos hξ+1 2 cos τξ - yξ ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2 dξdτ. -∞ 0 Отметим, что в предшествующих рассуждениях мы в соответствии с общей схемой [2, §10] не заботились об обосновании сходимости интегралов и законности перемены порядка интегрирования, поскольку речь шла о решениях в смысле обобщенных функций. В следующем утверждении речь пойдет и о гладких решениях. Теорема 1.1. Пусть функция E(x, y) определена следующим образом: r∞ E(x, y) = 0 / ϕ(ξ)+a cos hξ +1 e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ, (1.7) / ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 где G1(ξ) = ξ Тогда функция , G2(ξ) = ξ . 2 2 +∞ 1 r u(x, y) = π -∞ E(x - ξ, y)u0(ξ)dξ (1.8) является решением задачи (1.1)-(1.2) в смысле обобщенных функций, а в полуплоскости R1 × (0, +∞) удовлетворяет уравнению (1.1) и в классическом смысле. Доказательство. Первое утверждение (о разрешимости в смысле обобщенных функций) вытекает из приведенного выше построения функции E(x, y) и [2, §10, Теорема 1]. Указанная теорема применима, несмотря на то что уравнение (1.1) имеет второй порядок по переменной y, потому что эта теорема верна не только для уравнений, но и для систем, а уравнение (1.1) можно свести к системе уравнений первого порядка по y аналогично [3, Гл. 2, §5, п. 2]. Отметим, что задача (1.1)(1.2) не является эквивалентной указанному примеру из [3], поскольку в последнем задача имеет два краевых условия, а не одно, однако на разрешимость это различие не влияет. Для доказательства утверждения о гладкости исследуем функцию (1.7). О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 105 Положительность подкоренного выражения в G1 очевидна. Чтобы доказать ее для G2, возведем 2 в квадрат дробь ϕ(ξ) ; получим a + 2a cos hξ +1 . Последняя дробь больше единиa cos hξ +1 a2 cos2 hξ + 2a cos hξ +1 цы, поэтому и исходная дробь больше единицы, а значит, ϕ(ξ) > a cos hξ + 1, т. е. G2 определена корректно. Подынтегральная функция в (1.7) ограничена сверху функцией e-νξ, где ν = y - / 1 -|a| 2 положительная константа; значит, функция (1.7) корректно определена в полуплоскости {y > 0}. Подставим функцию (1.7) в уравнение (1.1). Получим, что r∞ Exx(x, y) = - 0 ξ2e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ, r∞ Exx(x + h, y) = - 0 r∞ ξ2e-yG1(ξ) cos [(x + h)ξ - yG2(ξ)] dξ, r∞ Ey (x, y) = - 0 G1(ξ)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ + 0 G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ, r∞ Eyy (x, y) = 0 r∞ 1 G2(ξ)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ - r∞ r∞ G1(ξ)G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ - 0 - G1(ξ)G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ - 0 0 2 G2(ξ)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ = r∞ = rG2(ξ) - G2(ξ)l e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ - 2 r∞ G1(ξ)G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ. 1 2 0 0 Вычислим 2 G2 2 ξ 2 1(ξ) - G2(ξ) = 2 [ϕ(ξ)+ a cos hξ +1 - ϕ(ξ)+ a cos hξ + 1] = ξ (a cos hξ + 1), ξ2 / ξ / 2 2 2 G1(ξ)G2(ξ) = 2 [ϕ(ξ)+ a cos hξ + 1] [ϕ(ξ) - a cos hξ - 1] = 2 ϕ (ξ) - (a cos hξ + 1) = ξ2 / 2 = 2a cos hξ + a2 +1 - a2 cos2 hξ - 2a cos hξ - 1 = / aξ2 - 1 cos2 hξ = 2 aξ2 2 sin hξ. Таким образом, r∞ Eyy (x, y) = 0 r∞ ξ2(a cos hξ + 1)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ - -a ξ2 sin hξe-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ = 0 ∞ r = a ξ2e-yG1(ξ)( cos hξ cos [xξ - yG2(ξ)] - sin hξ sin [xξ - yG2(ξ)] dξ + 0 r∞ + ξ2e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ = 0 106 А. Б. МУРАВНИК r∞ = a ξ2e-yG1(ξ) cos [(x + h)ξ - yG2(ξ)] + 0 r∞ ξ2e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ = 0 = -aExx(x + h, y) - Exx(x, y), т. е. функция (1.7) действительно удовлетворяет уравнению (1.1). Теперь, чтобы исследовать функцию (1.8), оценим поведение функции (1.7) при x → ∞ (при фиксированном положительном y). Для этого разобьем ее на четное и нечетное (по x) слагаемые E1(x, y) и E2(x, y): r∞ E1(x, y) = 0 e-yG1(ξ) cos xξ cos[yG2(ξ)]dξ, r∞ E2(x, y) = 0 e-yG1(ξ) sin xξ sin[yG2(ξ)]dξ. После замены переменной η = xξ получаем, что r∞ r∞ где 1 E1(x, y) = x 0 x e-yG1( η ) cos yG2 ( η x 1 1 cos η dη = x 0 ψ( η x f (η)dη, f (τ ) = cos τ ∈ L∞(R+), + ψ(τ ) = e-yG1(τ ) cos [yG2 (τ )] ∈ L1(R1 ). Теперь обозначим e-yτ 2 через ψ (τ ). Очевидно, ψ (τ ) L (R1 ), кроме того, преобразование Мел- 0 0 ∈ 1 + лина функции ψ0(τ ) определено на всей вещественной оси и не имеет вещественных нулей; действительно, r∞ 1 r ∞ ix-1 Γ( 1+ix ) 1+ix τixψ0(τ )dτ = . z 2 e-zdz = 2 1+ix Далее, 2y 2 0 r∞ 0 √ 2y 2 r→∞ 1 τ π r2 ψ0( 4t f (τ )dτ = r r 0 2√y e- -→ 0 . Тогда в силу тауберовой теоремы Винера (см. [6, c. 163]) τ r∞ 1 ψ( f (τ )dτ r→∞ 0, r r -→ 0 т. е. E1(x, y) стремится к нулю при x →∞ для любых фиксированных y > 0, a ∈ (-1, 1), h ∈ R1. Теперь рассмотрим E2(x, y). + ∞ Обозначим функцию e-yG1(τ ) sin [yG2 (τ )] через ψ(τ ) ∈ L1(R1 ), а sin τ - через f (τ ) ∈ L + (R1 ). Получим, что 1 r∞ r 0 τ ψ0( f (τ )dτ = r r F (1, 2y 3 r2 2 , - 4y r→∞ -→ 0 (здесь через F обозначена вырожденная гипергеометрическая функция второго рода). Таким образом, условия тауберовой теоремы Винера выполнены, следовательно, для любых фиксированных y > 0, a ∈ (-1, 1), h ∈ R1 1 E2(x, y) = x ∞ r ψ( τ x 0 f (τ )dτ r→∞ -→ 0 . О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 107 Итак, для любого положительного y и любых a ∈ (-1, 1), h ∈ R1 lim x→∞ E(x, y) = 0. Чтобы оценить скорость этого стремления, проинтегрируем слагаемое E1(x, y) по частям: r∞ 1 E1(x, y) = x 0 e-yG1(ξ) 1 cos[yG2(ξ)](sin xξ)1dξ = ⎡ ∞ 1ξ=+∞ ⎤ r 1 ( 1 1 = ⎣e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξ1 - 0 x 1ξ=0 e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξdξ⎦ . Выше установлено, что e-yG1(ξ) :( e-νξ, следовательно, внеинтегральный член обращается в нуль. Таким образом, r∞ y E1(x, y) = x 0 1 (G1 (ξ)e- yG1(ξ) 2 cos[yG2(ξ)] + G1 (ξ)e -yG1(ξ) sin[yG2(ξ)] sin xξdξ = y r∞ = e-yG1(ξ)(G1 1 x 1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)] 0 sin xξdξ. (1.9) В дальнейшем будем учитывать, что подкоренное выражение в G1(ξ) ограничено сверху и снизу положительными константами, поэтому производные любых порядков от G1(ξ) не имеют особенностей, а на бесконечности растут не быстрее степенной функции. Подкоренное выражение в G2(ξ) ограничено положительной константой только сверху, а снизу ограничено нулем и обращается в нуль в тех и только тех точках, в которых cos hξ = ±1. Значит, производные функции G2(ξ) могут иметь особенности в указанных точках. Проанализируем поведение этих производных более детально. Для этого достаточно рассмотреть не всю функцию G2(ξ), а только ее сомножитель /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1. Его производная равна -ah sin hξ ϕ1(ξ)+ ah sin hξ = √2a cos hξ+a2+1 + ah sin hξ / = 2/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 ah sin hξ ( 1 = / 1 - / . 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2a cos hξ + a2 +1 Второй сомножитель ограничен сверху и снизу, значит, нас интересует только первый. Его знаменатель обращается в нуль в тех и только тех точках, в которых cos hξ = ±1, однако числитель имеет в тех же точках нули не менее высокого порядка, из чего следует, что последний интеграл сходится. Проинтегрируем его по частям. Получим, что r∞ y yG1(ξ)( 1 1 1 E1(x, y) = - x2 e- 0 G1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)] (cos xξ) dξ = y ( r∞г = ( e-yG1(ξ) G1 l1 1 x2 1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)] 0 cos xξdξ- 1ξ=+∞ (G (ξ) cos[yG2(ξ)] + G (ξ) sin[yG2(ξ)] cos xξ 1 = 1 2 - e-yG1(ξ) 1 1 ⎛ ∞г 1 1 1ξ=0 l1 ⎞ = y r e-yG1(ξ) (G1 1 √ x2 ⎝ 0 1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)]) cos xξdξ + a + 1⎠ . 108 А. Б. МУРАВНИК Обозначая re-yG1(ξ) (G1 (ξ) cos[yG2(ξ)] + G1 (ξ) sin[yG2(ξ)])l1 через ψ(ξ), получаем, что 1 2 r∞ x2E1(x, y) = y 0 ψ(ξ) cos xξdξ + y√a + 1. (1.10) Чтобы убедиться в сходимости последнего интеграла, исследуем особенности функции ( 1 G1 2(ξ) sin[yG2(ξ)] = G11(ξ) sin[yG2(ξ)] + y(G1 (ξ))2 cos[yG2(ξ)]. 2 2 Как мы только что выяснили, первая производная функции /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 (а значит, и функции G2(ξ)) особенностей не имеет, поэтому достаточно рассмотреть первое слагаемое. Поскольку производная функции /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 особенностей не имеет, достаточно рас- 11 смотреть функцию ξ (/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 sin[yG2(ξ)], равную ( ah sin hξ ξ / 1 ( 1 1 - / sin[yG2(ξ)]+ 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2a cos hξ + a2 +1 ah sin hξ + ξ / ( 1 1 - / 1 sin[yG2(ξ)]. 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2a cos hξ + a2 +1 Как мы выяснили выше, второе слагаемое последней суммы особенностей не имеет. Осталось рассмотреть ( ah sin hξ 1 2 sin[yG (ξ)] = /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 1 ah2 cos hξ/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 - ah sin hξ (/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 = ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 sin[yG2(ξ)] = 2√ϕ(ξ) a cos hξ 1 ah2 cos hξ/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 - ah sin hξ ah sin hξ = - - ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 ( 1 - √ \\ 1 2a cos hξ+a2+1 sin[yG2(ξ)] = 2ah2 cos hξ [ϕ(ξ) - a cos hξ - 1] - a2h2 sin2 hξ = 3 2 [ϕ(ξ) - a cos hξ - 1] 2 ah2 cos hξ ( 1 - √ \\ 1 2a cos hξ+a2+1 sin[yG2(ξ)] = = /ϕ(ξ) - a cos hξ sin[yG2(ξ)]- - 1 a2h2 ( 1 ( sinh ξ 2 1 - 2 1 - /2a cos hξ + a2 +1 /ϕ(ξ) o a cos hξ - 1 sin[yG2(ξ)]/ϕ(ξ) . o a cos hξ - 1 Как установлено выше, второе слагаемое последнего выражения имеет особенности только в последнем сомножителе, однако сомножитель sin[yG2(ξ)] = sin - - г / ϕ(ξ) a cos hξ 1 l yξ 2 имеет в этих точках нули того же самого порядка, что и доказывает сходимость интеграла в правой части формулы (1.10). Итак, первое слагаемое в правой части равенства (1.10) равно y ∞ r ψ ( η cos ηdη, где ψ ∈ L (R1 ), x x 1 + 0 поэтому условия тауберовой теоремы Винера для этого слагаемого выполнены, следовательно, оно стремится к нулю при x →∞ для любого фиксированного положительного y. x→∞ Таким образом, x2-εE1(x, y) -→ 0 для любых положительных y и ε. О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 109 Проанализируем таким же образом второе слагаемое функции E(x, y): r∞ 1 E2(x, y) = - x 0 e-yG1(ξ) sin[yG2(ξ)](cos xξ)1dξ = 1 ⎡r∞ (e-yG1(ξ) sin[yG (ξ)] 1 cos xξdξ 1ξ=+∞⎤ 1 e-yG1(ξ) sin[yG (ξ)] cos xξ1 . = x ⎣ 0 2 - 2 1 ⎦ 1ξ=0 Внеинтегральный член обращается в нуль, поскольку G2(0) = 0, значит, r∞ 1 E2(x, y) = x 0 (e- yG1(ξ) r∞ 1 sin[yG2(ξ)] cos xξdξ = = y e-yG1(ξ) (G1 1 x 2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)]) cos xξdξ = 0 y r∞ = e-yG1(ξ) (G1 1 1 x2 2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)]) (sin xξ) dξ. 0 Снова применим формулу интегрирования по частям. Получим, что ⎡ 1ξ=+∞ y yG1(ξ) ( 1 1 1 1 E2(x, y) = x2 ⎣e- G2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)]) sin xξ1 - 1ξ=0 ⎤ r∞ ) 1 2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)] sin xξdξ . - e-yG1(ξ) (G1 1 ⎦ 0 2 Учитывая, что G1 (0) = 0, поскольку G2(0) = 0, мы видим, что внеинтегральный член обращается в нуль, поэтому x2E1(x, y) = y r∞ ψ(ξ) sin xξdξ, где через ψ обозначена суммируемая на положитель- 0 ной полуоси функция re-yG1(ξ) (G1 (ξ) cos[yG2(ξ)] - G1 (ξ) sin[yG2(ξ)])l1 . Снова применив тауберову 2 1 x→∞ теоремы Винера, мы видим, что x2E2(x, y) x→∞ -→ 0 для любого положительного y. Таким образом, x2-εE(x, y) -→ 0 для любых положительных y и ε, а это значит, что свертка E(x, y) с любой непрерывной ограниченной функцией корректно определена в полуплоскости {y > 0}. Теперь оценим поведение производных этой функции на бесконечности. Разобьем -Exx(x, y) на четное и нечетное слагаемые r∞ Exx,1(x, y) = 0 и ξ2e-yG1(ξ) cos xξ cos[yG2(ξ)]dξ r∞ Exx,2(x, y) = 0 ξ2e-yG1(ξ) sin xξ sin[yG2(ξ)]dξ. Применяя к первому слагаемому формулу интегрирования по частям, видим, что оно равно 1 r∞ ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)](sin xξ)1dξ = x 0 110 А. Б. МУРАВНИК ∞ ∞ r ⎡ 1ξ=+ ⎤ 1 1 ( 1 1 = ⎣ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξ1 - 0 x 1ξ=0 ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξdξ⎦ = 1 = - x ∞ r (ξ2 0 e-yG1(ξ) 1 cos[yG2(ξ)] sin xξdξ. Сходимость последнего интеграла доказывается точно так же, как и сходимость интеграла в (1.9). Применив формулу интегрирования по частям еще раз, получаем, что r∞ 1 Exx,1(x, y) = x2 0 (ξ2 e-yG1(ξ) 1 cos[yG2(ξ)] (cos xξ)1dξ = ⎡ = 1 ( 1 ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] 1ξ=+∞ 1 cos xξ1 ∞ ( r - ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] 11 ⎤ cos xξdξ = x2 ⎣ 1 = - x2 ∞ r (ξ2 0 e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] 11 1 ⎦ 1ξ=0 0 cos xξdξ. Суммируемость функции (e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)])11 на положительной полуоси доказана выше, поэтому функция (ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)])11 суммируема на той же полуоси. Таким образом, r∞ 1 Exx,1(x, y) = x2 0 ψ(ξ) cos xξdξ, x→∞ + где ψ ∈ L1(R1 ), поэтому тауберова теорема Винера применима: x2Exx,1(x, y) положительного y. -→ 0 для любого Для функции Exx,2(x, y) это предельное соотношение доказывается точно так же. x→∞ Итак, x2Exx(x, y) -→ 0 для любого положительного y. x→∞ Поскольку h - константа, x2Exx(x + h, y) -→ 0 для любого положительного y. x→∞ Поскольку E(x, y) удовлетворяет уравнению (1.1), то x2Eyy (x, y) ного y. -→ 0 для любого положитель- Тем самым обосновывается дифференцирование и применение оператора сдвига под знаком интеграла в (1.8), а значит, функция (1.8) обладает в полуплоскости {y > 0} всеми производными (в классическом смысле), входящими в уравнение (1.1), и удовлетворяет этому уравнению в классическом смысле, что и завершает доказательство теоремы. 2. ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИРОДЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ Функция (1.8) удовлетворяет задаче (1.1)-(1.2) в смысле Гельфанда-Шилова (см. [2, §10]): она является обобщенной функцией переменной x, зависящей от вещественного параметра y и дифференцируемой по этому параметру на положительной полуоси (см., например, [11, §9, п. 5]), уравнение (1.1) понимается в смысле равенства обобщенных функцией переменной x, выполняемого для каждого положительного значения параметра y, а краевое условие (1.2) понимается как предельное соотношение в топологии обобщенных функций переменной x при стремящемся к нулю справа вещественном параметре y (см., например, [11, §9, п. 4]). Для задач в полупространстве (в данном случае - в полуплоскости) хорошо известно и другое определение решений в смысле обобщенных функций - в смысле Владимирова. Проиллюстрируем это определение на примерах задачи Коши для волнового уравнения utt = uxx и уравнения теплопроводности ut = uxx (см. [1, §13, §16]). В обоих случаях под решением понимается обобщенная функция переменной (x, t), обращающаяся в нуль в полуплоскости {t < 0} и удовлетворяющая уравнению в смысле равенства обобщенных функций переменной (x, t), однако вместо исходного О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 111 уравнения должно выполняться другое: utt = uxx + u0(x)δ1(t)+ u1(x)δ(t) вместо волнового уравнения и ut = uxx + u0(x)δ(t) вместо уравнения теплопроводности. Это определение корректно: можно показать (см. [1, §13, §16]), что для каждой из указанных задач Коши классическое решение, продолженное в нижнюю полуплоскость тождественным нулем, является и обобщенным решением в смысле Владимирова. Однако в данной статье мы имеем дело не с задачей Коши, а с задачей Дирихле, что меняет ситуацию принципиальным образом: уравнение имеет второй порядок по переменной y, но задача имеет всего одно краевое условие. В этом случае автору не известно, как корректно определить по Владимирову решение задачи в смысле обобщенных функций не только для уравнения (1.1), но даже и для классического уравнения Лапласа. В связи с этим уместно отметить, что функция E(x, y), определенная формулой (1.7), представляет собой ядро пуассоновского интегрального представления решения исследуемой задачи, однако нет оснований утверждать, что она же является и фундаментальным решением исследуемого уравнения. Такое совпадение (ядра формулы Пуассона и фундаментального решения) характерно для задачи Коши, однако в случае задачи Дирихле ситуация иная даже в классической теории. Так, даже для задачи Дирихле в полуплоскости для уравнения Лапласа ядром формулы Пуассона является функция y x2 + y2 (с точностью до константы), не говоря уже об областях с более сложными границами. Фундаментальное решение уравнения (1.1) могло бы представлять самостоятельный исследовательский интерес, однако это выходит за пределы настоящей работы, а интегральное представление решения строится непосредственным переходом к двойственной задаче в образах Фурье. Автор глубоко признателен А. Л. Скубачевскому за постоянное внимание к работе. Автор выражает благодарность В. Н. Денисову и А. И. Назарову за полезные обсуждения.