О задаче Дирихле в полуплоскости для дифференциально-разностных эллиптических уравнений

Аннотация

Рассматривается задача Дирихле в полуплоскости (с непрерывной и ограниченной граничной функцией) для модельного эллиптического дифференциально-разностного уравнения uxx + auxx(x + h, y)+ uyy = 0, |a|<1. Доказывается ее разрешимость в смысле обобщенных функций, строится интегральное представление ее решения и доказывается, что вне граничной гиперплоскости построенное решение удовлетворяет уравнению и в классическом смысле.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Теория дифференциально-разностных эллиптических уравнений в частных производных в настоящее время активно развивается и находит многочисленные приложения. Для задач в ограниченных областях глубокое и полное изложение теории можно найти, например, в [5, 9, 10, 13] (см. также имеющуюся там библиографию). Задачи в неограниченных областях пока исследованы в меньшей степени. Настоящая работа посвящена задаче Дирихле для модельного дифференциально-разностного сильно эллиптического уравнения в полуплоскости. Как известно, в классическом случае дифференциальных эллиптических уравнений такие задачи корректно разрешимы в естественных (и достаточно широких) классах краевых функций (см., например, [4, 8]), однако обладают и определенным своеобразием; в частности, в качественных свойствах их решений возникают эффекты, характерные, вообще говоря, для параболического случая (см. [7, 12]). В настоящей работе доказывается разрешимость исследуемой задачи в смысле обобщенных функций, строится интегральное представление решения формулой пуассоновского типа, доказывается гладкость решения вне границы. Рассмотрим задачу 1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ uxx + auxx(x + h, y)+ uyy = 0, x ∈ (-∞, +∞), y ∈ (0, +∞), (1.1) u1 1 1y=0 = u0(x), x ∈ (-∞, +∞), (1.2) где a и h - вещественные параметры, |a| < 1, а u0 непрерывна и ограничена. Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации НШ-4479.2014.1 и гранта РФФИ 1401-00265. Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 102 О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 103 Прежде всего отметим, что ограничение, наложенное на a, эквивалентно сильной эллиптичности рассматриваемого уравнения, т. е. положительной определенности вещественной части символа дифференциально-разностного оператора, стоящего в левой части этого уравнения, взятой с обратным знаком (см. [13, § 9]). Действительно, указанный символ равен -ξ2 - aξ2e-ihξ - η2, т. е. его вещественная часть, взятая с обратным знаком, равна (1 + a cos hξ)ξ2 + η2. Если |a| < 1, то существует такая положительная постоянная C, что (1 + a cos hξ)ξ2 + η2 ;;: C(ξ2 + η2) для любой точки (ξ, η) плоскости; в противном случае, полагая η = 0 и выбирая такое отличное от нуля ξ, что левая часть последнего неравенства обращается в нуль, получаем, что указанное неравенство не выполнено в точке (ξ, 0) ни при каком положительном C, а значит, уравнение (1.1) не является сильно эллиптическим. Далее, следуя классической операционной схеме (см., например, [2, §10]), применим (формально) преобразование Фурье к задаче (1.1)-(1.2), используя тот факт, что в образах Фурье оператор сдвига действует как мультипликатор: f (-x + h) = e-ihξ f---(ξ). Получим следующую начальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения: d2 u dy2 = ξ 2(1 + ae- ihξ )u, x ∈ (-∞, +∞), (1.3) u0(ξ). (1.4) Отметим, что полученная задача не является задачей Коши, поскольку уравнение имеет второй порядок, а начальное условие только одно. Итак, (1.3) - это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (зависящее от параметра ξ), характеристическое уравнение которого имеет два корня ±ρ(cos θ + i sin θ), где ρ(ξ) = |ξ| 2a cos hξ + a2 +1 1 1 a sin hξ , θ(ξ) = arctg . (1.5) ( Таким образом, любая функция вида 4 2 1+ a cos hξ u u0 C1(ξ)eyρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)] + C2(ξ)e-yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)], (1.6) в которой функции C1(ξ) и C2(ξ) удовлетворяют условию C1(ξ)+C2(ξ) = (ξ), является решением задачи (1.3)-(1.4). Положим C1(ξ) ≡ 0, C2(ξ) = (ξ). Тогда решение задачи (1.3)-(1.4) равно +∞ r (ξ)e eixξu0 -yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)] dξ = +∞ r eixξ 0 e-yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)]dξ +∞ r u0(τ )e -iτξ dτ = -∞ -∞ -∞ +∞ +∞ r r = u0(τ )ei(x-τ )ξe-yρ(ξ)[cos θ(ξ)+i sin θ(ξ)]dξdτ = +∞ +∞ r r -∞ -∞ = u0(τ )dτ -∞ -∞ e-yρ(ξ) cos θ(ξ)( cos[(x - τ )ξ - yρ(ξ) sin θ(ξ)] + i sin[(x - τ )ξ - yρ(ξ) sin θ(ξ)] dξ. Воспользовавшись четностью функции ρ и нечетностью функции θ, приводим последнее выражение к виду +∞ r 2 u0(τ ) r∞ e-yρ(ξ) cos θ(ξ) cos[(x - τ )ξ - yρ(ξ) sin θ(ξ)]dξdτ. -∞ 0 г 1 ± cos ( arctg a sin hξ \\ 1+ a cos hξ Теперь представим cos θ(ξ) и sin θ(ξ) в виде I 2 . Тогда, воспользовавшись формулой arctg x = arccos √ 1 1+ x2 , получаем, что 104 А. Б. МУРАВНИК 1 г 1 1 1+ a cos hξ √2 cos θ(ξ) = 1+ I 1+ a2 sin2 hξ (1 + a cos hξ)2 = √2 1+ /( 1 + a cos hξ)2 + a2 sin2 hξ = 1 /a2 +1+ 2a cos hξ +1+ a cos hξ 1 1 (/2a cos hξ + a2 +1+ a cos hξ +1 = √2 2 1 /a2 +1+ 2a cos hξ = √2 ( , 2a cos hξ + a2 +1 4 1 2 1 (/2a cos hξ + a2 +1 - a cos hξ - 1 1 . sin θ(ξ) = √2 ( 2a cos hξ + a2 +1 4 Обозначив (2a cos hξ + a2 +1 1 через ϕ(ξ), получаем, что ρ(ξ) cos θ(ξ) = |ξ| /ϕ(ξ)+ a cos hξ + 1, 2 √2 √2 а ρ(ξ) sin θ(ξ) = |ξ| /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1, откуда следует, что +∞ ∞ r r ξ √ г ξ l 2 u(x, y) = 2 -∞ u0(τ ) 0 e-y √ ϕ(ξ)+a cos hξ+1 cos 2 (x - τ )ξ - y √ /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 dξdτ = +∞ ∞ г / l r r = 2 u0(x - τ ) e-yξ / ϕ(ξ)+a cos hξ+1 2 cos τξ - yξ ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2 dξdτ. -∞ 0 Отметим, что в предшествующих рассуждениях мы в соответствии с общей схемой [2, §10] не заботились об обосновании сходимости интегралов и законности перемены порядка интегрирования, поскольку речь шла о решениях в смысле обобщенных функций. В следующем утверждении речь пойдет и о гладких решениях. Теорема 1.1. Пусть функция E(x, y) определена следующим образом: r∞ E(x, y) = 0 / ϕ(ξ)+a cos hξ +1 e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ, (1.7) / ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 где G1(ξ) = ξ Тогда функция , G2(ξ) = ξ . 2 2 +∞ 1 r u(x, y) = π -∞ E(x - ξ, y)u0(ξ)dξ (1.8) является решением задачи (1.1)-(1.2) в смысле обобщенных функций, а в полуплоскости R1 × (0, +∞) удовлетворяет уравнению (1.1) и в классическом смысле. Доказательство. Первое утверждение (о разрешимости в смысле обобщенных функций) вытекает из приведенного выше построения функции E(x, y) и [2, §10, Теорема 1]. Указанная теорема применима, несмотря на то что уравнение (1.1) имеет второй порядок по переменной y, потому что эта теорема верна не только для уравнений, но и для систем, а уравнение (1.1) можно свести к системе уравнений первого порядка по y аналогично [3, Гл. 2, §5, п. 2]. Отметим, что задача (1.1)(1.2) не является эквивалентной указанному примеру из [3], поскольку в последнем задача имеет два краевых условия, а не одно, однако на разрешимость это различие не влияет. Для доказательства утверждения о гладкости исследуем функцию (1.7). О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 105 Положительность подкоренного выражения в G1 очевидна. Чтобы доказать ее для G2, возведем 2 в квадрат дробь ϕ(ξ) ; получим a + 2a cos hξ +1 . Последняя дробь больше единиa cos hξ +1 a2 cos2 hξ + 2a cos hξ +1 цы, поэтому и исходная дробь больше единицы, а значит, ϕ(ξ) > a cos hξ + 1, т. е. G2 определена корректно. Подынтегральная функция в (1.7) ограничена сверху функцией e-νξ, где ν = y - / 1 -|a| 2 положительная константа; значит, функция (1.7) корректно определена в полуплоскости {y > 0}. Подставим функцию (1.7) в уравнение (1.1). Получим, что r∞ Exx(x, y) = - 0 ξ2e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ, r∞ Exx(x + h, y) = - 0 r∞ ξ2e-yG1(ξ) cos [(x + h)ξ - yG2(ξ)] dξ, r∞ Ey (x, y) = - 0 G1(ξ)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ + 0 G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ, r∞ Eyy (x, y) = 0 r∞ 1 G2(ξ)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ - r∞ r∞ G1(ξ)G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ - 0 - G1(ξ)G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ - 0 0 2 G2(ξ)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ = r∞ = rG2(ξ) - G2(ξ)l e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ - 2 r∞ G1(ξ)G2(ξ)e-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ. 1 2 0 0 Вычислим 2 G2 2 ξ 2 1(ξ) - G2(ξ) = 2 [ϕ(ξ)+ a cos hξ +1 - ϕ(ξ)+ a cos hξ + 1] = ξ (a cos hξ + 1), ξ2 / ξ / 2 2 2 G1(ξ)G2(ξ) = 2 [ϕ(ξ)+ a cos hξ + 1] [ϕ(ξ) - a cos hξ - 1] = 2 ϕ (ξ) - (a cos hξ + 1) = ξ2 / 2 = 2a cos hξ + a2 +1 - a2 cos2 hξ - 2a cos hξ - 1 = / aξ2 - 1 cos2 hξ = 2 aξ2 2 sin hξ. Таким образом, r∞ Eyy (x, y) = 0 r∞ ξ2(a cos hξ + 1)e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ - -a ξ2 sin hξe-yG1(ξ) sin [xξ - yG2(ξ)] dξ = 0 ∞ r = a ξ2e-yG1(ξ)( cos hξ cos [xξ - yG2(ξ)] - sin hξ sin [xξ - yG2(ξ)] dξ + 0 r∞ + ξ2e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ = 0 106 А. Б. МУРАВНИК r∞ = a ξ2e-yG1(ξ) cos [(x + h)ξ - yG2(ξ)] + 0 r∞ ξ2e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ = 0 = -aExx(x + h, y) - Exx(x, y), т. е. функция (1.7) действительно удовлетворяет уравнению (1.1). Теперь, чтобы исследовать функцию (1.8), оценим поведение функции (1.7) при x → ∞ (при фиксированном положительном y). Для этого разобьем ее на четное и нечетное (по x) слагаемые E1(x, y) и E2(x, y): r∞ E1(x, y) = 0 e-yG1(ξ) cos xξ cos[yG2(ξ)]dξ, r∞ E2(x, y) = 0 e-yG1(ξ) sin xξ sin[yG2(ξ)]dξ. После замены переменной η = xξ получаем, что r∞ r∞ где 1 E1(x, y) = x 0 x e-yG1( η ) cos yG2 ( η x 1 1 cos η dη = x 0 ψ( η x f (η)dη, f (τ ) = cos τ ∈ L∞(R+), + ψ(τ ) = e-yG1(τ ) cos [yG2 (τ )] ∈ L1(R1 ). Теперь обозначим e-yτ 2 через ψ (τ ). Очевидно, ψ (τ ) L (R1 ), кроме того, преобразование Мел- 0 0 ∈ 1 + лина функции ψ0(τ ) определено на всей вещественной оси и не имеет вещественных нулей; действительно, r∞ 1 r ∞ ix-1 Γ( 1+ix ) 1+ix τixψ0(τ )dτ = . z 2 e-zdz = 2 1+ix Далее, 2y 2 0 r∞ 0 √ 2y 2 r→∞ 1 τ π r2 ψ0( 4t f (τ )dτ = r r 0 2√y e- -→ 0 . Тогда в силу тауберовой теоремы Винера (см. [6, c. 163]) τ r∞ 1 ψ( f (τ )dτ r→∞ 0, r r -→ 0 т. е. E1(x, y) стремится к нулю при x →∞ для любых фиксированных y > 0, a ∈ (-1, 1), h ∈ R1. Теперь рассмотрим E2(x, y). + ∞ Обозначим функцию e-yG1(τ ) sin [yG2 (τ )] через ψ(τ ) ∈ L1(R1 ), а sin τ - через f (τ ) ∈ L + (R1 ). Получим, что 1 r∞ r 0 τ ψ0( f (τ )dτ = r r F (1, 2y 3 r2 2 , - 4y r→∞ -→ 0 (здесь через F обозначена вырожденная гипергеометрическая функция второго рода). Таким образом, условия тауберовой теоремы Винера выполнены, следовательно, для любых фиксированных y > 0, a ∈ (-1, 1), h ∈ R1 1 E2(x, y) = x ∞ r ψ( τ x 0 f (τ )dτ r→∞ -→ 0 . О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 107 Итак, для любого положительного y и любых a ∈ (-1, 1), h ∈ R1 lim x→∞ E(x, y) = 0. Чтобы оценить скорость этого стремления, проинтегрируем слагаемое E1(x, y) по частям: r∞ 1 E1(x, y) = x 0 e-yG1(ξ) 1 cos[yG2(ξ)](sin xξ)1dξ = ⎡ ∞ 1ξ=+∞ ⎤ r 1 ( 1 1 = ⎣e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξ1 - 0 x 1ξ=0 e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξdξ⎦ . Выше установлено, что e-yG1(ξ) :( e-νξ, следовательно, внеинтегральный член обращается в нуль. Таким образом, r∞ y E1(x, y) = x 0 1 (G1 (ξ)e- yG1(ξ) 2 cos[yG2(ξ)] + G1 (ξ)e -yG1(ξ) sin[yG2(ξ)] sin xξdξ = y r∞ = e-yG1(ξ)(G1 1 x 1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)] 0 sin xξdξ. (1.9) В дальнейшем будем учитывать, что подкоренное выражение в G1(ξ) ограничено сверху и снизу положительными константами, поэтому производные любых порядков от G1(ξ) не имеют особенностей, а на бесконечности растут не быстрее степенной функции. Подкоренное выражение в G2(ξ) ограничено положительной константой только сверху, а снизу ограничено нулем и обращается в нуль в тех и только тех точках, в которых cos hξ = ±1. Значит, производные функции G2(ξ) могут иметь особенности в указанных точках. Проанализируем поведение этих производных более детально. Для этого достаточно рассмотреть не всю функцию G2(ξ), а только ее сомножитель /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1. Его производная равна -ah sin hξ ϕ1(ξ)+ ah sin hξ = √2a cos hξ+a2+1 + ah sin hξ / = 2/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 ah sin hξ ( 1 = / 1 - / . 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2a cos hξ + a2 +1 Второй сомножитель ограничен сверху и снизу, значит, нас интересует только первый. Его знаменатель обращается в нуль в тех и только тех точках, в которых cos hξ = ±1, однако числитель имеет в тех же точках нули не менее высокого порядка, из чего следует, что последний интеграл сходится. Проинтегрируем его по частям. Получим, что r∞ y yG1(ξ)( 1 1 1 E1(x, y) = - x2 e- 0 G1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)] (cos xξ) dξ = y ( r∞г = ( e-yG1(ξ) G1 l1 1 x2 1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)] 0 cos xξdξ- 1ξ=+∞ (G (ξ) cos[yG2(ξ)] + G (ξ) sin[yG2(ξ)] cos xξ 1 = 1 2 - e-yG1(ξ) 1 1 ⎛ ∞г 1 1 1ξ=0 l1 ⎞ = y r e-yG1(ξ) (G1 1 √ x2 ⎝ 0 1(ξ) cos[yG2(ξ)] + G2(ξ) sin[yG2(ξ)]) cos xξdξ + a + 1⎠ . 108 А. Б. МУРАВНИК Обозначая re-yG1(ξ) (G1 (ξ) cos[yG2(ξ)] + G1 (ξ) sin[yG2(ξ)])l1 через ψ(ξ), получаем, что 1 2 r∞ x2E1(x, y) = y 0 ψ(ξ) cos xξdξ + y√a + 1. (1.10) Чтобы убедиться в сходимости последнего интеграла, исследуем особенности функции ( 1 G1 2(ξ) sin[yG2(ξ)] = G11(ξ) sin[yG2(ξ)] + y(G1 (ξ))2 cos[yG2(ξ)]. 2 2 Как мы только что выяснили, первая производная функции /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 (а значит, и функции G2(ξ)) особенностей не имеет, поэтому достаточно рассмотреть первое слагаемое. Поскольку производная функции /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 особенностей не имеет, достаточно рас- 11 смотреть функцию ξ (/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 sin[yG2(ξ)], равную ( ah sin hξ ξ / 1 ( 1 1 - / sin[yG2(ξ)]+ 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2a cos hξ + a2 +1 ah sin hξ + ξ / ( 1 1 - / 1 sin[yG2(ξ)]. 2 ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 2a cos hξ + a2 +1 Как мы выяснили выше, второе слагаемое последней суммы особенностей не имеет. Осталось рассмотреть ( ah sin hξ 1 2 sin[yG (ξ)] = /ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 1 ah2 cos hξ/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 - ah sin hξ (/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 = ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 sin[yG2(ξ)] = 2√ϕ(ξ) a cos hξ 1 ah2 cos hξ/ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 - ah sin hξ ah sin hξ = - - ϕ(ξ) - a cos hξ - 1 ( 1 - √ \\ 1 2a cos hξ+a2+1 sin[yG2(ξ)] = 2ah2 cos hξ [ϕ(ξ) - a cos hξ - 1] - a2h2 sin2 hξ = 3 2 [ϕ(ξ) - a cos hξ - 1] 2 ah2 cos hξ ( 1 - √ \\ 1 2a cos hξ+a2+1 sin[yG2(ξ)] = = /ϕ(ξ) - a cos hξ sin[yG2(ξ)]- - 1 a2h2 ( 1 ( sinh ξ 2 1 - 2 1 - /2a cos hξ + a2 +1 /ϕ(ξ) o a cos hξ - 1 sin[yG2(ξ)]/ϕ(ξ) . o a cos hξ - 1 Как установлено выше, второе слагаемое последнего выражения имеет особенности только в последнем сомножителе, однако сомножитель sin[yG2(ξ)] = sin - - г / ϕ(ξ) a cos hξ 1 l yξ 2 имеет в этих точках нули того же самого порядка, что и доказывает сходимость интеграла в правой части формулы (1.10). Итак, первое слагаемое в правой части равенства (1.10) равно y ∞ r ψ ( η cos ηdη, где ψ ∈ L (R1 ), x x 1 + 0 поэтому условия тауберовой теоремы Винера для этого слагаемого выполнены, следовательно, оно стремится к нулю при x →∞ для любого фиксированного положительного y. x→∞ Таким образом, x2-εE1(x, y) -→ 0 для любых положительных y и ε. О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 109 Проанализируем таким же образом второе слагаемое функции E(x, y): r∞ 1 E2(x, y) = - x 0 e-yG1(ξ) sin[yG2(ξ)](cos xξ)1dξ = 1 ⎡r∞ (e-yG1(ξ) sin[yG (ξ)] 1 cos xξdξ 1ξ=+∞⎤ 1 e-yG1(ξ) sin[yG (ξ)] cos xξ1 . = x ⎣ 0 2 - 2 1 ⎦ 1ξ=0 Внеинтегральный член обращается в нуль, поскольку G2(0) = 0, значит, r∞ 1 E2(x, y) = x 0 (e- yG1(ξ) r∞ 1 sin[yG2(ξ)] cos xξdξ = = y e-yG1(ξ) (G1 1 x 2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)]) cos xξdξ = 0 y r∞ = e-yG1(ξ) (G1 1 1 x2 2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)]) (sin xξ) dξ. 0 Снова применим формулу интегрирования по частям. Получим, что ⎡ 1ξ=+∞ y yG1(ξ) ( 1 1 1 1 E2(x, y) = x2 ⎣e- G2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)]) sin xξ1 - 1ξ=0 ⎤ r∞ ) 1 2(ξ) cos[yG2(ξ)] - G1(ξ) sin[yG2(ξ)] sin xξdξ . - e-yG1(ξ) (G1 1 ⎦ 0 2 Учитывая, что G1 (0) = 0, поскольку G2(0) = 0, мы видим, что внеинтегральный член обращается в нуль, поэтому x2E1(x, y) = y r∞ ψ(ξ) sin xξdξ, где через ψ обозначена суммируемая на положитель- 0 ной полуоси функция re-yG1(ξ) (G1 (ξ) cos[yG2(ξ)] - G1 (ξ) sin[yG2(ξ)])l1 . Снова применив тауберову 2 1 x→∞ теоремы Винера, мы видим, что x2E2(x, y) x→∞ -→ 0 для любого положительного y. Таким образом, x2-εE(x, y) -→ 0 для любых положительных y и ε, а это значит, что свертка E(x, y) с любой непрерывной ограниченной функцией корректно определена в полуплоскости {y > 0}. Теперь оценим поведение производных этой функции на бесконечности. Разобьем -Exx(x, y) на четное и нечетное слагаемые r∞ Exx,1(x, y) = 0 и ξ2e-yG1(ξ) cos xξ cos[yG2(ξ)]dξ r∞ Exx,2(x, y) = 0 ξ2e-yG1(ξ) sin xξ sin[yG2(ξ)]dξ. Применяя к первому слагаемому формулу интегрирования по частям, видим, что оно равно 1 r∞ ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)](sin xξ)1dξ = x 0 110 А. Б. МУРАВНИК ∞ ∞ r ⎡ 1ξ=+ ⎤ 1 1 ( 1 1 = ⎣ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξ1 - 0 x 1ξ=0 ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] sin xξdξ⎦ = 1 = - x ∞ r (ξ2 0 e-yG1(ξ) 1 cos[yG2(ξ)] sin xξdξ. Сходимость последнего интеграла доказывается точно так же, как и сходимость интеграла в (1.9). Применив формулу интегрирования по частям еще раз, получаем, что r∞ 1 Exx,1(x, y) = x2 0 (ξ2 e-yG1(ξ) 1 cos[yG2(ξ)] (cos xξ)1dξ = ⎡ = 1 ( 1 ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] 1ξ=+∞ 1 cos xξ1 ∞ ( r - ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] 11 ⎤ cos xξdξ = x2 ⎣ 1 = - x2 ∞ r (ξ2 0 e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)] 11 1 ⎦ 1ξ=0 0 cos xξdξ. Суммируемость функции (e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)])11 на положительной полуоси доказана выше, поэтому функция (ξ2e-yG1(ξ) cos[yG2(ξ)])11 суммируема на той же полуоси. Таким образом, r∞ 1 Exx,1(x, y) = x2 0 ψ(ξ) cos xξdξ, x→∞ + где ψ ∈ L1(R1 ), поэтому тауберова теорема Винера применима: x2Exx,1(x, y) положительного y. -→ 0 для любого Для функции Exx,2(x, y) это предельное соотношение доказывается точно так же. x→∞ Итак, x2Exx(x, y) -→ 0 для любого положительного y. x→∞ Поскольку h - константа, x2Exx(x + h, y) -→ 0 для любого положительного y. x→∞ Поскольку E(x, y) удовлетворяет уравнению (1.1), то x2Eyy (x, y) ного y. -→ 0 для любого положитель- Тем самым обосновывается дифференцирование и применение оператора сдвига под знаком интеграла в (1.8), а значит, функция (1.8) обладает в полуплоскости {y > 0} всеми производными (в классическом смысле), входящими в уравнение (1.1), и удовлетворяет этому уравнению в классическом смысле, что и завершает доказательство теоремы. 2. ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИРОДЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ Функция (1.8) удовлетворяет задаче (1.1)-(1.2) в смысле Гельфанда-Шилова (см. [2, §10]): она является обобщенной функцией переменной x, зависящей от вещественного параметра y и дифференцируемой по этому параметру на положительной полуоси (см., например, [11, §9, п. 5]), уравнение (1.1) понимается в смысле равенства обобщенных функцией переменной x, выполняемого для каждого положительного значения параметра y, а краевое условие (1.2) понимается как предельное соотношение в топологии обобщенных функций переменной x при стремящемся к нулю справа вещественном параметре y (см., например, [11, §9, п. 4]). Для задач в полупространстве (в данном случае - в полуплоскости) хорошо известно и другое определение решений в смысле обобщенных функций - в смысле Владимирова. Проиллюстрируем это определение на примерах задачи Коши для волнового уравнения utt = uxx и уравнения теплопроводности ut = uxx (см. [1, §13, §16]). В обоих случаях под решением понимается обобщенная функция переменной (x, t), обращающаяся в нуль в полуплоскости {t < 0} и удовлетворяющая уравнению в смысле равенства обобщенных функций переменной (x, t), однако вместо исходного О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 111 уравнения должно выполняться другое: utt = uxx + u0(x)δ1(t)+ u1(x)δ(t) вместо волнового уравнения и ut = uxx + u0(x)δ(t) вместо уравнения теплопроводности. Это определение корректно: можно показать (см. [1, §13, §16]), что для каждой из указанных задач Коши классическое решение, продолженное в нижнюю полуплоскость тождественным нулем, является и обобщенным решением в смысле Владимирова. Однако в данной статье мы имеем дело не с задачей Коши, а с задачей Дирихле, что меняет ситуацию принципиальным образом: уравнение имеет второй порядок по переменной y, но задача имеет всего одно краевое условие. В этом случае автору не известно, как корректно определить по Владимирову решение задачи в смысле обобщенных функций не только для уравнения (1.1), но даже и для классического уравнения Лапласа. В связи с этим уместно отметить, что функция E(x, y), определенная формулой (1.7), представляет собой ядро пуассоновского интегрального представления решения исследуемой задачи, однако нет оснований утверждать, что она же является и фундаментальным решением исследуемого уравнения. Такое совпадение (ядра формулы Пуассона и фундаментального решения) характерно для задачи Коши, однако в случае задачи Дирихле ситуация иная даже в классической теории. Так, даже для задачи Дирихле в полуплоскости для уравнения Лапласа ядром формулы Пуассона является функция y x2 + y2 (с точностью до константы), не говоря уже об областях с более сложными границами. Фундаментальное решение уравнения (1.1) могло бы представлять самостоятельный исследовательский интерес, однако это выходит за пределы настоящей работы, а интегральное представление решения строится непосредственным переходом к двойственной задаче в образах Фурье. Автор глубоко признателен А. Л. Скубачевскому за постоянное внимание к работе. Автор выражает благодарность В. Н. Денисову и А. И. Назарову за полезные обсуждения.