Построение решения краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с помощью функции Грина

Полный текст

1. Введение Дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка рассматриваются при решении задач теории нелинейной акустики и в гидродинамической теории космической плазмы, а также фильтрации жидкости в пористых средах [11]. В работе [7], учитывая свойства вязкости и теплопроводности газа, из системы Навье-Стокса было получено уравнение третьего порядка с кратными характеристиками, содержащее вторую производную по времени: Это уравнение при ν = 1 описывает осесимметричный поток, а при ν = 0 описывает плоскопараллельный поток [5]. Первые результаты по уравнению третьего порядка с кратными характеристиками были получены в работах H. Block [12], E. Del Vecchio [14]. В работе [13] L. Catabriga для уравнения © Ю.П. Апаков, А.А. Хамитов, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 1 было построено фундаментальное решение в виде двойного несобственного интеграла и изучены свойства потенциала, решены краевые задачи. В работах [3, 4] построены фундаментальные решения уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащие вторые производные по времени, выраженные через конфлюэнтные гипергеометрические функции, изучены их свойства, найдены оценки при |t| → ∞. В работах [8-10] исследованы краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, а также в [2, 6] рассмотрены особенности малых знаменателей, которые появляются при решении дифференциальных уравнений. 2. Постановка задачи В области D = {(x,y,z) : 0 < x < p, 0 < y < q, 0 < z < r} рассмотрим уравнение третьего порядка вида L[u] ≡ uxxx - uyy - uzz = f (x,y,z), (2.1) где p,q,r ∈ R, и для него исследуем следующую задачу. Задача A. Найти решение уравнения (2.1) в области D из класса u(x,y,z) ∈ Cx,y,z3,2,2 (D) ∩ , удовлетворяющее краевым условиям: ⎧ αu(x,y,0) + βuz (x,y,0) = 0, ⎨ γu(x,y,r) + δuz (x,y,r) = 0, (2.2) ⎩ u(x,0,z) = u(x,q,z) = 0, , (2.3) где a, b, c, d, α, β, γ, δ - заданные постоянные, причем - заданные достаточно гладкие функции, для которых выполняется условия ⎧ ψi (0,z) = ψi (q,z) = 0, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ αγ∂∂33ψψ∂yii((y,3y,0)0) ++δβ∂∂44ψ∂yψii3(3(∂zy,∂zy,0)0)= 0= 0,, ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ fγ∂(x,2f∂y0∂y(,zx,y,r32) = )f +(x,q,zδ∂∂y3f∂y) = 0(x,y,r2∂z, ) = 0, ∂2ψi (0,z) ∂2ψi (q,z) ∂y2 = ∂y2 = 0, ∂5ψi (y,r) ∂6ψi (y,r) α ∂y 2 + β 3∂z3 = 0, 3∂z ∂y ∂5ψi (y,r) ∂6ψ γ 3∂z2 + δ ∂yi3(∂zy,r3 ) = 0, ∂y ∂2f (x,y,0) ∂3f (x,y,0) α ∂y2 + β ∂y2∂z = 0, i = 1,2,3. (2.4) 3. Единственность решения Теорема 3.1. Если задача A имеет решение, то при выполнении условий , оно единственно. Доказательство. Предположим обратное: пусть задача A имеет два различных решения u1 (x,y,z) и u2 (x,y,z). Тогда функция u(x,y,z) = u1 (x,y,z) - u2 (x,y,z) удовлетворяет однородную уравнению (2.1) с однородными краевыми условиями. Докажем, что u(x,y,z) ≡ 0 в D. В области D справедливо тождество или . (3.1) Интегрируя тождество (3.1) по области D и учитывая однородные краевые условия, получим Из условий теоремы 3.1, т. е. , и из интегрального равенства следует ux (0,y,z) ≡ uxx (0,y,z) ≡ 0, uy (x,y,z) ≡ uz (x,y,z) ≡ 0, т. е.. Из уравнения вытекает + C2x + C3, далее следует C1 = C2 = 0, значит, h(x) = C3 = const. Из первого условия (2.3) au(0,y,z) + buxx (0,y,z) = 0 вытекает, что C3 = 0, т. к. ab > 0. Отсюда получим h(x) = 0. Следовательно, u(x,y,z) ≡ 0, (x,y,z) ∈ D. В силу последнего получим u1 (x,y,z) = u2 (x,y,z). Теорема 3.1 доказана. Замечание 3.1. Отметим, что при нарушении условий теоремы 3.1, т. е. когда a = -bθn,m2 , , однородная задача A для однородного уравнения (2.1) может иметь нетривиальное решение. Например, однородная уравнение (2.1) с однородными условиями (2.2) и (2.3) имеет нетривиальное решение где Zm (z) - решения задачи , (3.2) а θn,m являются решениями уравнения . 4. Существование решения Теорема 4.1. Если выполняются следующие условия: 1) 3; 2) , и (2.4), то решение задачи A существует. Доказательство. Решение задачи A ищем в виде u(x,y,z) = X(x)V (y,z). Поставляя в уравнение (2.1) и разделяя переменные, для V (y,z) имеем следующую задачу: ⎧ Vyy + Vzz + λV = 0, ⎪⎪⎨ αV (y,0) + βVz (y,0) = 0, (4.1) γV (y,r) + δVz (y,r) = 0, ⎪⎪⎩ V (0,z) = V (q,z) = 0, где λ - параметр разделения. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (4.1). Решение задачи (4.1) будем искать в виде V (y,z) = Y (y)Z (z). (4.2) Подставляя (4.2) в уравнение (4.1), разделяя переменные, имеем задачи (3.2) и (4.3) , где ν и μ - положительные постоянные, связанные соотношением λ = ν + μ. Поступая так же, как в работе [1], для нахождения собственных значений μ в задаче (3.2), получим трансцендентное уравнение . (4.4) Из (4.4) следует, что, или. Соответствующие собственные функции имеют вид , где Am - произвольные постоянные, а для задачи (4.3) получим где An - произвольные постоянные, а Тогда в качестве решения спектральной задачи (3.2) и (4.3) возьмем функции (4.5) здесь . Докажем, что при всех действительных α, β и положительных μm, r, q. Так как q > 0, достаточно доказать положительность выражения в квадратных скобках: здесь Заметим, что E является квадратичной формой по α и β: E = A(r)α2 + B (r)β2 + C (r)αβ, где A(r) = - √ sin(2√μmr), r 1 2 4 μm B (r) = rμm + √μm sin(2√μmr), 2 4 . Используем неравенство при: A(r) > - √ 2√μmr = 0, r 1 2 4 μm rμm √μm √ B (r) > + 2 μmr = 0. 2 4 Следовательно, A(r) > 0, B (r) > 0. Для положительности квадратичной формы достаточно показать: Δ = (C (r))2 - 4A(r)B (r) < 0. Используем тождества: 1 - cos2x = 2sin2x, sin2x = 2sinxcosx. После подстановки и упрощения получаем: . Следовательно, Δ < 0. Квадратичная форма E (α,β) положительна при всех α,β ∈ R. Учитывая q > 0, получаем: . Теперь разложим f (x,y,z) в ряд Фурье по {Vn,m (y,z)}: , где Интегрируя функцию fn,m (x) по частям и учитывая условия (2.4), имеем оценку , (4.6) здесь В дальнейшем максимальное значение всех найденных положительных известных чисел в оценках будем обозначать через M. Решение задачи A ищем в виде . (4.7) Поставляя (4.7) в уравнение (2.1), учитывая граничные условия (2.3), получим следующую задачу: , (4.8) где. Применяя интегрирование по частям к ψin,m с учетом условия (2.4), получаем оценку , (4.9) здесь Решение задачи (4.8) находим методом построение функции Грина, для этого с помощью замены Un,m (x) = Xn,m (x) - ρn,m (x) (4.10) изменим граничные условия на однородные. Функция ρn,m (x) имеет вид Подставляя (4.10), (4.11) в (4.8), получим задачу , (4.12) здесь . Учитывая (4.6), (4.9) и, имеем оценки (4.13) . Решение задачи (4.12) ищем в виде: (4.14) здесь Gn,m (x,ξ) - функция Грина задачи (4.12), которая имеет следующий вид: (4.15) p, здесь , , . Покажем, что . Для этого докажем следующую лемму: Лемма 4.1. Краевая задача , (4.16) имеет только тривиальное решение. Доказательство. Предположим обратное, пусть . Рассмотрим тождество , или . Интегрируя по и учитывая краевые условия, получим . Так как ab > 0, cd < 0, λn,m > 0, то Xn,m ≡ 0. Лемма доказана. Пусть существует такой номер n∗,m∗, что , тогда существует постоянные , , одновременно не все равные нулю, удовлетворяющие системе Отсюда имеем, что функция является решением краевой задачи (4.16). Однако по доказанной лемме должно быть , но это невозможно в силу линейной независимости функций Отсюда функция вида является нетривиальным решением задачи A, а это противоречит теореме единственности. Легко можно убедиться, что функция, определенная формулой (4.15), обладают всеми свойствами функции Грина. В силу (4.7) и (4.10) решение задачи A имеет вид . (4.17) Если функция u(x,y,z), определяемая рядом (4.17), и ее производные uxxx, uyy и uzz сходятся абсолютно и равномерно в области D, то она дает решение задачи A. Докажем абсолютную и равномерную сходимость ряда (4.17). Из (4.17) имеем оценку . Теперь подставляя в (4.14) и интегрируя, имеем Учитывая (4.11), (4.13) и из функции Грина (4.15) получим оценки . Отсюда . Отсюда следует, что ряд (4.17) сходится абсолютно и равномерно в области D. Теперь докажем, что частные производные ряда (4.17), входящие в уравнение (2.1), также сходятся абсолютно и равномерно в области D. Для этого вычислим частные производные ряда (4.17) по переменными y и z до второго порядка, получим . Учитывая оценку u(x,y,z), получим . Используя неравенства Коши-Буняковского и Бесселя, получим , , так как . ∂2u ∂2u Следовательно, ряд, соответствующий функции , , сходится абсолютно и равномерно в ∂y2 ∂z2 области D. Абсолютная и равномерная сходимость третьей производной по x ряда (4.17) следует из неравенстваи доказанного выше. Теорема 4.1 доказана.

Об авторах

Ю. П. Апаков

Институт математики им. В.И. Романовского АН РУз; Наманганский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: yusupjonapakov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9611-1466
Scopus Author ID: 36452842000
ResearcherId: ABG-4969-2020
Ташкент, Узбекистан; Наманган, Узбекистан

А. А. Хамитов

Наманганский государственный технический университет

Email: azizbek.khamitov.93@mail.ru
Наманган, Узбекистан

Список литературы

Дополнительные файлы