О восстановлении решения начально-краевой задачи для сингулярного уравнения теплопроводности

Аннотация

Приводятся результаты, связанные с решением проблемы о наилучшем восстановлении решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с оператором Бесселя по пространственной переменной по двум приближенно известным температурным профилям.

Полный текст

1. Введение Среди публикаций двух последних десятилетий можно выделить серию работ, связанных с восстановлением функций, их производных, решений начальных, краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), по неполным и, возможно, неточным данным. Работа [8] посвящена восстановлению функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью. В работе [11] рассматривалась проблема восстановления функции по неточно заданному спектру. Следует отметить, что задача суммирования тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье рассматривалась в учебнике В.А. Ильина и Э.Г. Позняка [2] (издание 1967 г). В работе [1] рассматривалось восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Работы [13, 18] посвящены восстановлению функций и степеней оператора Лапласа от них по значениям их преобразования Фурье, заданным на компакте с погрешностью. Восстановление температурных профилей по данным измерений рассматривалось в [10, 12, 22]. Систематизированное изложение теории и методов оптимального восстановления можно найти в монографии [14]. Некоторые из установленных в этих работах результатов перенесены в работах [16, 17, 23-25] на ситуации с участием сингулярного оператора Бесселя и Лапласа-Бесселя [3, 4, 7, 19, 21]. Особенности такого типа, которыми обладают операторы типа Бесселя и Лапласа-Бесселя, возникают в моделях математической физики в таких случаях, когда характеристики сред (например, характеристики диффузии или характеристики теплопроводности) имеют вырожденные степенные неоднородности. Кроме того, к таким уравнениям приводят ситуации, когда исследуются изотропные диффузионные процессы с осевой или сферической симметрией. В настоящей работе мы переносим методы и результаты работы [22] на случай сингулярного уравнения теплопроводности с оператором Бесселя. 2. Необходимые сведения о весовых пространствах и j-функциях Бесселя Символом C∞ev([0, 1]) обозначим пространство всех функций из пространства C∞([0, 1]), удовлетворяющих условию гладкости четного продолжения (четности по И.А. Киприянову) Пусть означает замыкание пространства C∞ev([0, 1]) по норме Здесь и далее γ > 0. Пусть Bx,γ - оператор Бесселя, определенный формулой . (2.1) Нормированная j-функция Бесселя порядка ν определяется формулой , где Γ(·) -гамма-функция Эйлера, - функция Бесселя первого рода порядка ν. Потребность в j-функциях Бесселя возникает при решении задачи Штурма-Лиувилля следующего вида (см. [5, 6]) Bx,2ν+1 Φ = -λΦ, x ∈ [0, 1], (2.2) dΦ/dx(0+) = 0, Φ(1-) = 0, (2.3) которая имеет собственные функции, соответствующие собственным значениям , где - последовательность всех положительных нулей функции Бесселя jν(·), а значит, и функции Jν(·), пронумерованных в порядке возрастания. Функции образуют ортогональный базис в. Этот факт находит применение во многих прикладных задачах. Объектом нашего исследования в настоящей статье является начально-краевая задача для сингулярного уравнения теплопроводности , (2.4) где B = Bx,γ - оператор Бесселя, определяемый формулой (2.1), с начальным условием u(x,0) = u0(x), x ∈ (0,1], (2.5) и краевыми условиями , (2.6) (1- ) = 0 0. (2.7) Мы предполагаем, что u0(·) ∈ Lγ2(0,1). С помощью стандартной процедуры метода Фурье разделения переменных мы приходим к задаче Штурма-Лиувилля (2.2)-(2.3), после чего легко получить представление решения задачи (2.4)-(2.7) в виде , (2.8) где (2.9) суть коэффициенты разложения (2.10) в ряд Фурье-Бесселя (см. [5, 6]) функции u0(x). От представлений (2.8), (2.9), (2.10) для дальнейшего удобства перейдем к представлениям 3. Постановка задачи Поставим следующую задачу. Пусть известны функции y1(·),y2(·) ∈ Lγ2(0,1), являющиеся приближенными значениями решения u(·,t) начально-краевой задачи (2.4)-(2.7) в моменты t1, t2, соответственно (), причем , (3.1) где δj > 0, j = 1,2. Требуется каждой такой паре функций поставить в соответствие функцию из , которая в некотором смысле наилучшим образом аппроксимировала бы истинное распределение температуры в промежутке (0,1) в фиксированный момент времени τ ∈ (t1,t2). Следуя [10, 22], любое отображение мы называем методом восстановления (температуры в (0,1) в момент τ согласно этой информации). Значение , где , называется ошибкой этого метода. Значение называется ошибкой оптимального восстановления. Метод m, для которого , называется оптимальным методом восстановления. 4. Вспомогательная экстремальная задача и нижняя оценка ошибки оптимального восстановления Рассмотрим вспомогательную экстремальную задачу (4.1) , (4.2) где u - решение задачи (2.4)-(2.7). Функция, удовлетворяющая условиям (4.2), называется допустимой функцией задачи (4.1)-(4.2). Лемма 4.1. Пусть S означает верхнюю границу с условиями (4.2). Тогда Доказательство. Пусть u(·,τ) - допустимая функция задачи (4.1)-(4.2). Тогда -u(·,τ) - также допустимая функция задачи (4.1)-(4.2). Для всякого метода имеем: . В левой части полученного неравенства мы переходим к верхней границе допустимых функций, а в правой - к нижней границе всех методов. Этот шаг завершает доказательство леммы. Лемма 4.2. Пусть . Зафиксируем ι = ι(δ1,δ2) ∈ N ∪ {0} таким образом, чтобы выполнялось условие δ22/δ12 ∈ Δι. Пусть , (4.3) (4.4) Пусть S означает верхнюю границу с условиями (4.2). Тогда . (4.5) Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что существует допустимая функция, норма которой в пространстве равна (или больше) правой части неравенства (4.5). Построим такую функцию. Введем величины b1,ι и b2,ι с помощью формул b1,ι = βδιt121 · βδι22t2/δ-t121 --ββιtιt+12+12--tt11 , δ2 b2,ι = βt11 · ββtιt22--tt11 --βδ2ι2t+12/δ-t121 . ι+1 ι Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости равенств . Рассмотрим в условии (2.5) задачи (2.4)-(2.7) начальную функцию u0(x), определенную условиями (4.6) Функция (4.6) допустима (это следует отметить, поскольку по условию основной задачи Решение задачи (2.4)-(2.7) с начальной функцией (4.6) имеет вид (4.7) Для функции (4.7) имеем: , , а значит, это допустимая функция. При непосредственным вычислением получим: , что и требовалось. 5. Верхняя оценка ошибки оптимального восстановления и основной результат Теперь построим метод оптимального восстановления. Для этого применим схему, предложенную в [12, 14, 15], подправляя ее для наших потребностей. Пусть Будем искать оптимальный метод восстановления в виде . (5.1) Пусть . (5.2) Из условия (3.1) вытекает, что . Отсюда, согласно равенству Парсеваля [4, 6, 7], с учетом (5.2) получим К общему члену полученной суммы применим неравенство Коши-Буняковского: . Отсюда получаем: , где (5.3) Положим , (5.4) Тогда Введем в рассмотрение функцию . Очевидно, что, так что g(ζ) - выпуклая вниз функция. Из равенств следует, что значения являются нулями функции g(ζ), а в силу ее выпуклости при. Из неравенства следует, что при выборе последовательности {cκ} в соответствии с формулами (5.4), с учетом (5.5), из (5.3) мы получим: 1. Отсюда следует, что Таким образом, для метода m мы получили верхнюю оценку его ошибки, которая совпадает с нижней оценкой ошибки оптимального восстановления. Это означает, что m - оптимальный метод. Сформулируем полученный результат в виде теоремы, которая является аналогом [22, теорема 1] и основным результатом настоящей статьи. Теорема 5.1. Для любой пары δ1 > 0, δ2 > 0 выполняется равенство . При этом метод является оптимальным.