Об эллиптичности операторов со скручиваниями

Аннотация

Рассматриваются нелокальные краевые задачи, в которых основной оператор и операторы граничных условий включают дифференциальные операторы и операторы скручивания. Дано определение траекторных символов для этого класса краевых задач. Показано, что эллиптические задачи определяют фредгольмовы операторы в соответствующих пространствах Соболева. Дано условие эллиптичности таких нелокальных краевых задач.

Полный текст

Введение Во многих разделах математической физики возникают нелокальные краевые задачи, которые содержат дифференциальные операторы и операторы сдвига, отвечающие дискретной группе, действующей на многообразии диффеоморфизмами, и требуется установить условия, при кото- рых такие краевые задачи являются эллиптическими. Рассматриваются нелокальные краевые задачи двух типов: при которых диффеоморфизмы сохраняют область (см., напр., [5, 8, 9, 13]) или не сохраняют ее (см., напр., [4, 6, 15, 16, 18, 20, 21]). Исследование классических краевых задач включает нахождение условий эллиптичности, т. е. условий, обеспечивающих фредгольмову разрешимость задачи. Эти условия состоят в требовании обратимости символа основного оператора краевой задачи как функции на косферическом рас- слоении многообразия с краем и условия Шапиро-Лопатинского на крае, которое накладывается в точках косферического расслоения края на символы основного оператора задачи и оператора, определяющего краевое условие (см., напр., [14]). В том случае, когда краевые задачи включают операторы сдвига, такие задачи становятся нелокальными и условия их эллиптичности формулируются в терминах так называемых тра- екторных символов, которые учитывают коэффициенты оператора не в одной точке, а на всей траектории точки под действием группы. Далее, при изучении задач с операторами сдвига на- до учитывать тот факт, что в случае бесконечной группы для доказательства фредгольмовости приходится привлекать методы теории C∗-алгебр (см. [8, 9]). © А. В. Болтачев, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 565 566 А. В. БОЛТАЧЕВ В данной работе проводится исследование краевых задач с операторами сдвига, отвечающими скручиванию конечного цилиндра S1×[0, 1] с координатами (x, t). Скручивание определяется фор- мулой (x, t) ×→ (x + αt, t), где α > 0 - фиксированное число, а соответствующий оператор сдвига дается формулой (T u)(x, t) = u(x - αt, t). Ранее такие операторы сдвига не рассматривались спе- циалистами в области нелокальных задач, а потому им посвящена данная работа. Скручивание не является изометрическим, а также оно не сохраняет нормальную переменную к краю, поэтому результаты работ [8, 9] в данном случае неприменимы. Для исследования таких нелокальных кра- евых задач используются результаты, полученные в статьях [2, 10, 11]. Даны явные формулы для траекторных символов задачи, и на основе этих формул предоставлены условия эллиптичности нелокальной краевой задачи для дифференциального оператора со скручиваниями. Кратко остановимся на содержании работы. В первом разделе дается постановка краевой за- дачи со скручиваниями конечного цилиндра. Следуя [11], во втором разделе исследуется внут- ренний символ дифференциального оператора со сдвигами и даются условия его эллиптичности. Оказывается, что в ряде случаев исследование внутреннего символа сводится к исследованию дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. Дальнейшее исследование состоит в получении условий эллиптичности граничного символа дифференциального оператора со скручиваниями. Левое основание цилиндра, в отличие от правого, является неподвижным при скручивании, поэтому отдельно вычисляются граничные траекторные символы на различных ос- нованиях цилиндра. В третьем разделе данной работы исследуется граничный символ на левом основании цилиндра и дается условие его эллиптичности как условие обратимости оператора с периодическими коэффициентами на полуоси. В четвертом разделе вычисляется граничный сим- вол на правом основании цилиндра, который является краевой задачей на полуоси с постоянными операторными коэффициентами. На основе этих формул сформулированы основные результаты работы. В заключительном разделе приводится пример, иллюстрирующий основные результаты работы, а именно, рассмотрена краевая задача для дифференциального оператора со сдвига- ми и постоянными коэффициентами, для которой условия эллиптичности даются как условия однозначной разрешимости некоторого уравнения Матьё. Постановка задачи Фиксируем число α > 0, несоизмеримое с π. Рассмотрим бесконечный цилиндр Y = S1 × R, на котором группа Γ = Z действует скручиваниями перпендикулярно образующей цилиндра (x, t) ×→ (x + kαt, t), k ∈ Z. Определим оператор сдвига, отвечающий скручиваниям, формулой (T u)(x, t) = u(x - αt, t). На конечном цилиндре M = S1 × [0, 1] ⊂ Y рассмотрим нелокальную краевую задачу Hs-m(M ) ( D D = i∗B : Hs (M ) -→ ⊕ Hs-b-1/2(∂M, CN ). (1.1) Определим операторы, участвующие в краевой задаче (1.1). Во-первых, D = D ( eix, t, -i ∂ , -i ∂ ,T = ) D ( eix, t, -i ∂ , -i ∂ T l, ord D = m, (1.2) ∂x ∂t l l∈Z ∂x ∂t - дифференциальный оператор со сдвигами на цилиндре M, а коэффициенты Dl в нем являют- ся дифференциальными операторами порядка :( m с гладкими коэффициентами. Здесь и ниже для операторов со сдвигами предполагается, что операторы Dl /= 0 только для конечного чис- ла l. Во-вторых, оператор B = (B0, B1) в задаче (1.1) представляет собой пару операторов на левом/правом основании цилиндра, причем дифференциальный оператор на левом основании B0 = B0 ( eix, -i ∂ ∂ ∂x, -i∂t ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 567 имеет порядок ord B0 = b0 и определяет N0 ∈ N граничных условий, а дифференциальный опе- ратор со сдвигами на правом основании B1 = B1 ( eix, -i ∂ ∂ ∂x, -i∂t,T = ) B1,l l∈Z ( eix, -i ∂ ∂ l ∂x, -i∂t T имеет порядок ord B1 = b1 и определяет N1 ∈ N граничных условий, в то время как B1,l - дифференциальные операторы. Положим b = (b0, b1), N = (N0, N1) и обозначим Hs-b-1/2(∂M, CN ) = Hs-b0-1/2(∂M |t=0, CN0 ) ⊕ Hs-b1-1/2(∂M |t=1, CN1 ). Вложение i : ∂M <→ M индуцирует отображение сужения i∗ : Hs(M ) -→ Hs-1/2(∂M ) функций на границу при s > 1/2. Замечание 1.1. Левое основание цилиндра M является неподвижным относительно скру- чиваний. Поэтому добавление к оператору B0 операторов сдвига не приведет к новому классу операторов. Цель данной работы - дать условия эллиптичности задачи (1.1) в явном виде, обеспечивающие ее фредгольмову разрешимость. Общая теория была построена в работах [2, 10, 11], в которых условие эллиптичности дается в терминах внутреннего и граничного символов оператора (1.1). Эллиптичность внутреннего символа Внутренний символ. Перед тем, как вычислить внутренний символ оператора D по форму- ле (16) из работы [11], сначала вычислим дифференциал dγ : TM -→ TM и кодифференциал ∂γ = ((dγ)t)-1 : T ∗M -→ T ∗M диффеоморфизма γ : M -→ M, γ(x, t) = (x + kαt, t), 0 где T ∗M - кокасательное расслоение многообразия M. Фиксируем точку (x, t, ξ1, ξ2) ∈ T ∗M. По- скольку диффеоморфизм γ линеен, dγ и ∂γ действуют как операторы умножения на матрицы ⎛1 kα 0 0 ⎞ ⎛1 kα 0 0⎞ dγ = ⎜0 1 0 0 ⎟ , ∂γ = ⎜0 1 0 0⎟ . ⎜0 0 1 kα⎟ ⎜0 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 1 ⎝ ⎠ 0 0 -kα 1 Далее по формуле из [11, § 5] вычислим вес, который равен γ∗-1(dx ∧ dt) ∗-1 2s d(x - kαt) ∧ dt 2 1, если ξ1 = 0, 2 s μs(k) = ∂γ dx ∧ dt (|ξ| ) = (ξ1 + (ξ2 + kαξ1) ) ∼ dx ∧ dt k | | 2s, если ξ1 /= 0. (2.1) Здесь символом «∼» обозначается эквивалентность весов1. s Получаем следующее описание весового пространства £2(Z): £2 s (Z) := w : Z -→ C ) J 2 |w(k)| μs(k) < ∞ . k Тогда в соответствии с формулой (16) из работы [11] внутренний символ оператора D в точке 0 (x, t, ξ1, ξ2) ∈ T ∗M по определению равен σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) : £2(Z) -→ £2 (Z), s s-m где ( w)(k) = w(k + 1), (2.2) σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) = D(ei(x-kαt), t, ξ1, ξ2 + kαξ1, T ), T и является конечно-разностным оператором с переменными коэффициентами: D(ei(x-kαt), t, ξ1, kαξ1 + ξ2, T ) = ) Dl (ei(x-kαt), t, ξ1, ξ2 + kαξ1\ T l, l 1 Веса µ(k) и µt(k), k ∈ Z, называются эквивалентными, если существуют такие положительные константы C1 , C2, что для любых k ∈ Z выполнены неравенства C1µ(k) :( µt (k) :( C2µ(k). 568 А. В. БОЛТАЧЕВ где Dl (eix, t, ξ1, ξ2) - главные символы слагаемых в операторе (1.2). Отметим, что в частном случае, когда ξ1 = 0, в соответствии с формулой (2.1) получаем 0 μs(k) ∼ 1, и внутренний символ оператора D в точке (x, t, 0, ξ2) ∈ T ∗M равен σint (D) (x, t, 0, ξ2) : £2(Z) -→ £2(Z), σint (D) (x, t, 0, ξ2) = D(ei(x-kαt), t, 0, ξ2, T ). (2.3) Эллиптичность внутреннего символа. В дальнейшем изложении будем пользоваться обрат- ным преобразованием Фурье F-1 2 s 1 k→ϕ : £s (Z) -→ H (S ), {w(k)} ×-→ w(ϕ) = ), w(k)eikϕ, (2.4) k∈Z которое осуществляет изоморфизм весовых пространств на Z и пространств Соболева на окруж- ности S1 с координатой ϕ. Следующее утверждение дает условия эллиптичности внутреннего символа оператора D. Утверждение 2.1. Следующие условия эквивалентны: внутренний символ σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) эллиптичен при любых значениях параметров 0 (x, t, ξ1, ξ2) ∈ T ∗M ; семейство дифференциально-разностных операторов на окружности S1 σint 1 k→ϕ int ϕ k ( ix αt 2 d iϕ s 1 s-m 1 (D) = F- σ (D)F → = D e T , t, 1,ξ - iα dϕ , e- : H (S ) -→ H (S ), (2.5) где (T αtu)(ϕ) = u(ϕ - αt), обратимо при любых значениях параметров (x, t) ∈ M, ξ2 ∈ R. Доказательство. Для доказательства эквивалентности условий 1) и 2) преобразуем внутренний символ. Положим ξ1 /= 0 и рассмотрим следующую диаграмму: £2 σint(D) ,, s-m s (Z) F -1 k→ϕ σint(D) £2 (Z) F -1 k→ϕ (2.6) Hs(S1) ,, Hs-m(S1). Здесь Fk→ϕ - преобразования Фурье (2.4), а в нижней строке диаграммы (2.6) участвует опера- тор (2.5). Коммутативность диаграммы (2.6) доказывается прямым вычислением. Приведем таблицу для операторов в k-пространстве и их образов в ϕ-пространстве под действием обратного преобразо- F вания Фурье -1 : k→ϕ Оператор в k-пространстве/ Operator in k-space Оператор в ϕ-пространстве/ Operator in ϕ-space w(k) ×→ kw(k) u(ϕ) ×→ -i∂ϕu(ϕ) w(k) ×→ e-ikaw(k),a ∈ R u(ϕ) ×→ u(ϕ - a) w(k) ×→ w(k + 1) u(ϕ) ×→ e-iϕu(ϕ) Теперь рассмотрим случай ξ1 = 0. Для оператора (2.5) на окружности рассмотрим условие эллиптичности (см. [9]). Это условие состоит в требовании обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами D (eixT αt, t, 0, ξ2, e-iϕ\ : L2(S1) -→ L2(S1) ∀(x, t) ∈ M, ξ2 /= 0, (2.7) обратимость которого эквивалентна обратимости оператора (2.3). Эквивалентность условий 1) и 2) следует из диаграммы (2.6) и изоморфности обратного пре- k→ϕ образования Фурье F-1 . Утверждение доказано. ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 569 Утверждение 2.2. Пусть операторы Dl в формуле (1.2) имеют постоянные по x коэффи- циенты (всюду ниже опускаем первый аргумент операторов). Тогда условия 1) и 2) из утвер- ждения 2.1 эквивалентны условию обратимо семейство дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами на прямой ( d D t, 1, -iα dψ , e- iψ : Hs -→ H s-m (R), ∀t ∈ [0, 1]. (2.8) Доказательство. Для проверки эквивалентности условий 2) и 3) в этом случае воспользуемся преобразованием Фурье-Лапласа (см., напр., [22, § 4]). Преобразование Фурье-Лапласа дается формулой Fθ : Hs(Rψ ) -→ L2(S1,Hs(S1 )), θ ϕ а обратное - формулой (Fθu)(ϕ, θ) = eiθϕ/2π ) einθu(ϕ + 2πn), n∈Z 1 u(ψ) = 2π 2π r e-iθψ/2π (Fθu)(ψ, θ) dθ. 0 В работе [3] показано, что это преобразование определяет изоморфизм указанных пространств. Теперь положим ξ2 = -αθ/(2π), θ ∈ [0, 2π], и семейству операторов (2.5) сопоставим оператор a(θ) = D (t, 1, α(-i∂ϕ - θ/(2π)), e-iϕ ) : L2(S1,Hs(S1 )) -→ L2(S1,Hs-m(S1 )). (2.9) θ ϕ θ ϕ Применим к оператору (2.9) обратное преобразование Фурье-Лапласа и составим коммута- тивную диаграмму Hs(Rψ ) Fθ F -1 θ a(θ)Fθ a(θ) ,, Hs-m(Rψ ) Fθ (2.10) L2(S1,Hs(S1 )) ,, L2(S1,Hs-m(S1 )). θ ϕ θ ϕ Поскольку имеет место коммутационное соотношение ( θ -i∂ϕ - 2π (Fθu(ψ)) = ( θ -i∂ϕ - 2π eiθϕ/2π ) n∈Z eiθn \ u(ϕ + 2πn) = Fθ (-i∂ψ u(ψ)), а экспоненты e-iψ являются периодическими функциями, то оператор в верхней строчке диа- граммы (2.10) совпадает с оператором (2.8). В силу коммутативности диаграммы (2.10) эллиптичность внутреннего символа σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) эквивалентна обратимости семейства операторов (2.8). Граничный символ на левом основании цилиндра 0 Будем рассматривать граничные символы на разных основаниях цилиндра по отдельности. Рассмотрим сначала левое основание цилиндра S1 × {0}. Фиксируем точку (x, ξ1) ∈ T ∗∂M, т. е. ξ1 /= 0. Граничный символ на левом основании - это оператор, действующий по формуле (см. [11]) H s-m + σL Π D(eix, 0,ξ ,ξ ,T )w(ξ )\ σL s ∂ (D) + 1 2 αξ1 2 Здесь ∂ (D)(x, ξ1) : H+ -→ ⊕ CN0 , w(ξ2) ×-→ Π ξ2 I (B0(x, ξ1, ξ2)w(ξ2)) . (3.1) B0(x, ξ1, ξ2) - главный символ оператора B0 в задаче (1.1); T : Hs -→ Hs - оператор сдвига, действующий по формуле (Tαξ w)(ξ2) = w(ξ2 + αξ1); + + 1 пространство Hs = Ft ξ (Hs(R+)) означает пространство образов при преобразовании Фу- + → 2 s рье Ft→ξ2 пространства Соболева H (R+) функций на полупрямой R+; 570 А. В. БОЛТАЧЕВ оператор Π+ : Hs ⊕ Hs → Hs - проектор на первое слагаемое, где пространство Hs анало- + - + - гично определяется как Hs = Ft ξ (Hs(R )); - → 2 - ΠI - непрерывный функционал ΠI : Hs ⊕ Hs -→ C, + - -1 u(ξ2) ×-→ Более подробно, см., напр., в работах [12, 17, 19]. lim t→0+ Fξ2 →t(u(ξ2)). F Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье -1 ξ2 →t , перейдем от задачи (3.1) к краевой задаче для оператора с периодическими коэффициентами периода 2π/(αξ1) на полуоси σL ∂ (D)(x, ξ1) : H s(R+) -→ Hs-m(R+) ⊕ ∂ , где σL(D)(x, ξ1) = D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t)\ , (3.2) CN0 j∗B0(eix, ξ1, -i∂t) а j∗ - сужение в точку t = 0. Получим условия однозначной разрешимости краевой задачи (3.2). Пусть M - матрица монодромии при t = 0 оператора с периодическими коэффициентами D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t) : Hs(R) -→ Hs-m(R). (3.3) Напомним, что матрица монодромии - это квадратная матрица M∈ Matm(C), равная - M(v0,... , vm 1) = (u(t), uI(t),... , u(m-1) Здесь u(t) - решение однородного уравнения (t )) . t=2π/αξ1 D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t)u(t) = 0 с данными Коши в начальной точке t = 0 - u(0) = v0,... , u(m-1)(0) = vm 1. Из теории дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами (см., напр., [7, гл. 2]) известно, что оператор (3.3) обратим тогда и только тогда, когда спектр его матрицы монодромии не пересекает единичную окружность. Составим матрицу монодромии M оператора (3.3) и обозначим через λk собственные значения этой матрицы. Обозначим через L+(x, ξ1) пространство решений уравнения (3.3), стремящихся к нулю при t → +∞. Ясно, что имеет место изоморфизм конечномерных линейных пространств L+(x, ξ1) "' k:|λk|<1 Vk, где через Vk обозначено корневое подпространство, соответствующее собственному значению λk матрицы M. Утверждение 3.1. Следующие условия эквивалентны: ∂ ∗ граничный символ σL(D)(x, ξ1) на левом основании цилиндра (см. (3.1)) эллиптичен при любых значениях параметров (x, ξ1) ∈ T0 ∂M |t=0; 0 краевая задача (3.2) на R+ с периодическими коэффициентами обратима при любых зна- чениях параметров (x, ξ1) ∈ T ∗∂M |t=0; (условие Шапиро-Лопатинского на левом основании цилиндра S1 ×[0, 1]) обратим оператор j∗ (B0(eix, ξ1, -i∂t)) : L+(x, ξ1) -→ CN0 , (3.4) где N0 - число граничных условий в задаче (1.1) на левом основании цилиндра. Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) утверждения следует из изоморфности преоб- разования Фурье. Докажем эквивалентность условий 2) и 3), для чего воспользуемся следующей известной леммой. ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 571 Лемма 3.1. Пусть дан ограниченный оператор (A1 H2 A = A2 : H1 -→ ⊕ , (3.5) H3 где пространства H1, H2, H3 банаховы, а оператор A1 : H1 -→ H2 сюръективен. Тогда оператор A является изоморфизмом тогда и только тогда, когда сужение оператора A2|kerA1 : kerA1 -→ H3 на ядро оператора A1 является изоморфизмом. Вернемся к доказательству утверждения 3.1. Утверждается, что оператор D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t) : Hs(R+) -→ Hs-m(R+) (3.6) сюръективен. В самом деле, продолжим функцию f ∈ Hs-m(R+) на всю прямую R с помощью оператора продолжения E : Hs(R+) -→ Hs(R) (см., напр., [1, с. 157]). Оператор D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t) : Hs(R) -→ Hs-m(R) является изоморфизмом на всей прямой (см. (2.8)). Применив оператор сужения на полупря- мую R+ к функции u = (D-1E )f, получим функцию в Hs(R+), что доказывает сюръективность оператора (3.6) на полупрямой. 0 В силу приведенной леммы изоморфность оператора (3.4) эквивалентна обратимости краевой задачи (3.2) при любых значениях параметров (x, ξ1) ∈ T ∗∂M |t=0. Таким образом, условия 2) и 3) эквивалентны. Утверждение доказано. Граничный символ на правом основании цилиндра 0 σR Теперь рассмотрим правое основание S1 × {1} цилиндра. Фиксируем точку (x, ξ1) ∈ T ∗∂M |t=1. Граничный символ, обозначаемый через пространствах ∂ (D)(x, ξ1), согласно формуле (20) из [11], действует в σR 2 s 2 s-m по формуле - ∂ (D)(x, ξ1) : £ (Z,H - ) -→ £ (Z,H ⊕ C) (4.1) D(ei(x-kα), 1, ξ1, ξ2 + kαξ1, T )w(k, ξ2) \ w(k, ξ2) ×-→ (B (e ,ξ ,ξ + kαξ , , )w(k, ξ )) Π I - i(x kα) 1 ξ2 1 2 1 T 2 где (T w)(k, ξ2) = w(k + 1, ξ2 + αξ1), и выражения D(ei(x-kα), 1, ξ1, ξ2 + kαξ1, T ) = ) Dl (ei(x-kα), 1, ξ1, ξ2 + kαξ1\ T l, l ei(x-kα) B1(ei(x-kα), ξ1, ξ2 + kαξ1, T ) = ) B1,l ( , ξ1, ξ2 + kαξ1\ T l l определяются главными символами операторов D и B1 в задаче (1.1). Дадим явные выражения для пространств в (4.1). Имеем пространство ) = £2(Z,Hs J {w(k)} w(k) ∈ Hs l k и ) lw(k) 2 s 2s < ∞ с нормой - - H- k 2 r s 2 и пространство - lulHs = R |Π-(iξ2 + |ξ1|) u(ξ2)| dξ2 - £2(Z,Hs(R - ) ⊕ CN1 ) = J(w, v) = {(w(k), v(k))} w(k) ∈ Hs(R ), v(k) ∈ CN1 2 и ) l(w(k), v(k))ls,k < ∞ , k 2 где в соответствии с формулой (19) из [11] семейство норм l(w, v)ls,k в последнем пространстве равно 572 А. В. БОЛТАЧЕВ 2 ∗-1 s 2 ∂γ∗- 2 ∗-1 s M l(w, v)ls,k = lΠ-∂γ £-wlL2 | | + v (∂γ vol M σ(ΔXM ) ) = volXM 1 s 2 2 ∗-1 s s 2 2 2s Здесь = lΠ-∂γ∗- £-wlL2 + |v| (∂γ σ(ΔXM ) ) = lΠ-(i(ξ2 + kαξ1)+ |ξ1|) wlL2 + |v| ξ1 . (4.2) 0 £- : T ∗M -→ C - эллиптические символы первого порядка, которые в окрестности края многообразия M равны £-(x, t, ξ1, ξ2) = iξ2 + |ξ1|; второе равенство в (4.2) справедливо в силу того, что формы объема vol M = dx ∧ dt и volXM = dx не изменяются при скручиваниях цилиндра; в третьем равенстве в (4.2) мы учли, что γ(x, t) = (x + kαt, t), и сделали подстановки ∂γ∗-1£ = i(ξ + kαξ )+ |ξ | и σ(Δ ) = ξ2. - 2 1 1 XM 1 Далее для простоты будем полагать ξ1 = 1 и приведем следующую лемму. Лемма 4.1. Справедлива коммутативная диаграмма: σR (D) Z £2( ,Hs ) - - ∂ ,, £2(Z,Hs-m ⊕ CN1 ) (4.3) F -1 -1 F -1 -1 k→ϕ ⊗Fξ2 →t σR (D) k→ϕ ⊗Fξ2 →t Hs 1 ∂ ,, s-m 1 2 1 N1 a (S × R-) Ha (S × R-) ⊕ L (S , C ), k→ϕ где F-1 и F -1 ξ2 →t - обратные преобразования Фурье, а в нижней строчке диаграммы участвует оператор, действующий по формуле σR D(eixT α, 1, 1, -i∂t - iα∂ϕ, e-i(ϕ-αt))u(ϕ, t)\ ∂ (D)u(ϕ, t) = B1(eix T α, 1, -i∂t - iα∂ϕ, e- i(ϕ- αt) )u(ϕ, 0) , (4.4) a где T αu(ϕ, t) = u(ϕ - α, t). Пространства Hs в диаграмме (4.3) являются анизотропными про- странствами Соболева с нормой 2 lwlHs 1 = r r 1(1 (∂ + α∂ )2)sw(ϕ, t)l w(ϕ, t)dtdϕ. (4.5) - t ϕ a (S ×R-) R S1 - Знак «⊗» в диаграмме (4.3) означает, что первое преобразование действует по первой перемен- ной, а второе - по второй переменной. Доказательство. Для нахождения нормы в пространстве Hs(S1 × R ) вычислим второе вер- a - тикальное отображение в диаграмме. Введем обозначения wˆ(k, ξ2) = Fϕ→k (w(ϕ, ξ2)) и vˆ(k) = 2 s - Fϕ→k (v(ϕ)) и выразим норму в пространстве £ (Z,H ⊕ C) в терминах обратных преобразований Фурье: 2 r 2 s 2 ⊕C) l(wˆ, vˆ)lα2 (Z,Hs = ) - k R Π-((ξ2 + kα) + 1) wˆ(k, ξ2)wˆ(k, ξ2)dξ2 + |vˆ(k)| = r r 2 s 2 = S1 R Π-((ξ2 - iα∂ϕ) + 1) w(ϕ, ξ2)w(ϕ, ξ2)dξ2dϕ + lvlL2 (S1 ) = r r lL2 (S1 = (1 - (∂t + α∂ϕ)2)sw(ϕ, t)w(ϕ, t)dtdϕ + lv 2 ). R S1 - a - Полученное выражение является квадратом нормы в пространстве Hs(S1 ×R вом интеграле мы воспользовались обратным преобразованием Фурье F-1 )⊕L2(S1, C). В пер- , а во втором - об- ξ2 →t ратным преобразованием Фурье F-1 k→ϕ . Последнее равенство справедливо в силу того, что преоб- разование Фурье переводит проектор Π- в отображение сужения на R-. ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 573 Воспользуемся в краевой задаче (4.4) следующей заменой переменных: (ϕ, t) = (ψ + ατ, τ ) с соответствующей заменой производных ∂ψ = ∂ϕ, ∂τ = ∂t + α∂ϕ. Тогда задача (4.4) примет вид σR s 2 1 - Hs-m(R , L2(S1)) ∂ (D) : H (R-,L (S )) -→ ⊕ L2(S1, CN1 ) , (4.6) R D(eixT α, 1, 1, -i∂τ , e-iψ )u(τ, ψ)\ σ ∂ (D)u(τ, ψ) = где T αu(τ, ψ) = u(τ, ψ - α). , B1(eixT α, 1, -i∂τ , e-iψ )u(0, ψ) Следующее утверждение является аналогом утверждения 3.1 для граничного символа на пра- вом основании цилиндра. Утверждение 4.1. Следующие условия эквивалентны: R ∂ S1 граничный символ σR(D)(x, ξ1) на правом основании цилиндра (см. (4.1)) эллиптичен при любых значениях параметров x ∈ , ξ1 ∈ ; оператор (4.6) обратим при любых x ∈ S1; Если операторы Dl в формуле (1.2) имеют постоянные по x коэффициенты, то условия 1) и 2) эквивалентны условию: (условие Шапиро-Лопатинского на правом основании цилиндра S1 × [0, 1]) обратимо семей- ство краевых задач для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами на полупрямой: D(1, 1, -i∂τ , e-iψ ) \ Hs-m (R-) j∗B1(1, -i∂τ , e-iψ ) с параметром ψ ∈ [0, 2π]. - : Hs(R ) -→ ⊕ CN1 (4.7) Доказательство. Аналогично утверждению 3.1 условия 1) и 2) эквивалентны в силу диаграм- мы (4.3) и изоморфности преобразования Фурье. В случае, когда оператор D имеет постоянные по x коэффициенты, оператор (4.6) отвечает семейству операторов (4.7) с параметром ψ ∈ [0, 2π]. В силу коммутативности диаграммы (4.3) и изоморфности преобразования Фурье условия 1) и 3) эквивалентны. Из утверждений 2.1, 3.1 и 4.1 получаем условие эллиптичности задачи (1.1), которое является основным результатом данной работы. Теорема 4.1. Краевая задача (1.1) эллиптична тогда и только тогда, когда выполнены сле- дующие три условия: внутренний символ оператора D (см. (2.2)) эллиптичен; выполнено условие Шапиро-Лопатинского на левом основании цилиндра M (см. утвер- ждение 3.1); выполнено условие Шапиро-Лопатинского на правом основании цилиндра M (см. утвер- ждение 4.1). Пусть α несоизмеримо с π. Применяя результаты из [2, следствие 2] и [11, § 4], получаем следствие. Следствие 4.1. Если выполнены условия теоремы 4.1, то краевая задача (1.1) фредгольмова. Пример На цилиндре M = S1 × [0, 1] найдем условия эллиптичности задачи ∂2 t u + (1+ ε(T + T x ∗))∂2u = f (x, t), (5.1) u|t=0 = g0(x), u|t=1 = g1(x), где u ∈ Hs(M ), (T u)(x, t) = u(x - αt, t), α ∈ R+, ε ∈ R. Нетрудно проверить, что оператор T является унитарным, т. е., T ∗ = T -1. 574 А. В. БОЛТАЧЕВ Выпишем условия эллиптичности задачи (5.1). В силу утверждения 2.1 обратимость внутреннего символа задачи (5.1) эквивалентна обра- тимости оператора Матьё (см., напр., [23]) α-2σint d2 ( 1 2ε s s-2 (D) = - dϕ2 + α2 + α2 cos ϕ : H (R) -→ H (R). (5.2) ∂ В силу утверждения 3.1 граничному символу σL(D)(ξ1) соответствует краевая задача ⎧ ( 1 2ε s ⎨ -uII(t)+ ⎩ u(0) = h1. α2 + α2 cos t u(t) = 0, u ∈ H (R+), (5.3) Дифференциальный оператор в полученной краевой задаче является оператором Матьё, ана- логичным оператору (5.2). Условие эллиптичности состоит в однозначной разрешимости зада- чи (5.3). Теперь зафиксируем ψ ∈ [0, 2π]. В силу утверждения 4.1 обратимость граничного символа задачи (5.1) на правом основании цилиндра эквивалентна однозначной разрешимости краевой задачи - -α2uII(τ )+ (1 + 2ε cos ψ) u(τ ) = 0, u ∈ Hs(R ), u(0) = h1. Это условие легко проверить. Уравнение -α2uII(τ )+ (1 + 2ε cos ψ) u(τ ) = 0 (5.4) √ √ имеет решение u(τ ) = C1e- λτ +C2e λτ , где λ = α-2(1+2ε cos ψ). Для однозначной разрешимости задачи (5.4) необходимо выполнение условия 1+ 2ε cos ψ > 0 при всех ψ ∈ [0, 2π], откуда получаем условие |ε| < 1/2. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 5.1. Задача (5.1) эллиптична, когда выполнены следующие условия: уравнение Матьё (5.2) однозначно разрешимо; краевая задача для уравнения Матьё (5.4) однозначно разрешима; выполнено условие |ε| < 1/2.