Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2886610.22363/2413-3639-2021-67-2-285-294ArticlesСтатьиResearch ArticleStochastic Lagrange Approach to Viscous HydrodynamicsСтохастический лагранжев подход к вязкой гидродинамикеGliklikhYu. E.ГликлихЮ. Е.yeg@math.vsu.ruVoronezh State UniversityВоронежский государственный университет15122021672Dedicated to the memory of Professor N. D. KopachevskyПосвящается памяти профессора Н. Д. Копачевского28529423102021Copyright ©; 2021, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2021, Современная математика. Фундаментальные направления2021Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.enhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/28866

The work is a survey of the author’s results with modifications and preliminary information on the use of stochastic analysis on Sobolev groups of diffeomorphisms of a flat n-dimensional torus to describe the motion of viscous fluids (nonrandom ones). The main idea is to replace the covariant derivatives on the groups of diffeomorphisms in the equations introduced by D. Ebin and J. Marsden to describe ideal fluids by the so-called mean derivatives of random processes.

Работа представляет собой обзор результатов автора с модификациями и предварительными сведениями по использованию стохастического анализа на соболевских группах диффеоморфизмов плоского n-мерного тора для описания движения вязких жидкостей (неслучайных). Основная идея состоит в замене ковариантных производных на группах диффеоморфизмов в уравнениях, введенных Д. Эбином и Дж. Марсденом для описания идеальных жидкостей, на так называемые производные в среднем случайных процессов.

Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. - М.: Мир, 1988.Arnol’d V. Sur la ge´ome´trie diffe´rentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l’hydrodynamique des fluides parfaits// Ann. Inst. Fourier. - 1966. - 16, № 1. - С. 319-361.Azarina S. V., Gliklikh Yu. E. Differential inclusions with mean derivatives// Dyn. Syst. Appl. - 2007. - 16, № 1. - С. 49-71.Azarina S. V., Gliklikh Yu. E. Stochastic differential equations and inclusions with mean derivatives relative to the past// Int. J. Differ. Equ. - 2009. - 4, № 1. - С. 27-41.Ebin D. G., Marsden J. Groups of diffeomorphisms and the motion of an incompressible fluid// Ann. Math. - 1970. - 92, № 1. - С. 102-163.Gliklikh Yu. E. Solutions of Burgers-Reynolds and Navier-Stokes equations via stochastic perturbations of inviscid flows// J. Nonlinear Math. Phys. - 2010. - 17, Suppl. 1. - С. 15-29.Gliklikh Yu. E. Global and stochastic analysis with applications to mathematical physics. - London: Springer, 2011.Gliklikh Yu. E., Zalygaeva M. E. Non-Newtonian fluids and stochastic analysis on the groups of diffeomorphisms// Appl. Anal. - 2015. - 94, № 6. - С. 1116-1127.Gliklikh Yu. E., Zalygaeva M. E. On derivation of Oskolkov’s equations for noncompressible viscous Kelvin-Voight fluid by stochastic analysis on the groups of diffeomorphisms// Glob. Stoch. Anal. - 2019. - 6, № 2. - С. 69-77.Nelson E. Derivation of the Schro¨dinger equation from Newtonian mechanics// Phys. Rev. - 1966. - 150, № 4. - С. 1079-1085.Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion. - Princeton: Princeton Univ. Press, 1967.Nelson E. Quantum fluctuations. - Princeton: Princeton Univ. Press, 1985.