Индексы дефекта блочных матриц Якоби: обзор

Аннотация

Работа является обзорной. Ее основной объект - бесконечные симметричные блочные матрицы Якоби J с m×m-матричными элементами. Обсуждаются результаты, в которых общие блочные матрицы Якоби являются самосопряженными или могут иметь максимальные либо промежуточные индексы дефекта. Также обсуждаются условия, гарантирующие дискретность спектра матриц Якоби J.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 237 2. Условия самосопряженности блочных матриц Якоби 240 3. Блочные матрицы Якоби с максимальными индексами дефекта 243 4. Матрицы Якоби с промежуточными индексами дефекта 244 5. Дискретность спектра блочных матриц Якоби 244 6. Индексы дефекта и дискретность спектра некоторых классов матриц Якоби 246 Список литературы 251 Посвящается памяти нашего друга, коллеги и блестящего математика Н. Д. Копачевского. 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть Σ(·) = Σ(·)∗ - неубывающая, непрерывная слева m × m матричная функция на прямой R, имеющая бесконечное число точек роста. Предположим, что функция Σ(·) нормирована следующим образом: Σ(t - 0) = Σ(t) и lim t→-∞ Σ(t) = 0. Стандартным образом эта функция порождает m × m матричную меру на прямой. Следуя М. Г. Крейну [2, 3] (см. также [4, 5]), предполагаем, что эта мера конечна и порождает матричную проблему моментов на прямой, т. е. существуют следующие матричные интегралы Римана-Стилтьеса: Sn := r ∞ tndΣ(t), n ∈ N0 := N ∪ {0}. (1.1) -∞ 0 Отсюда следует, что последовательность матриц {Sn}∞(⊂ Cm×m) положительна в следующем смысле: для любой последовательности векторов ξj = col(ξj,1, ξj,2,... , ξj,m) ∈ Cm, j ∈ N0, и n любого многочлена R(t) = ), ξj tj с векторными коэффициентами R(t)(∈ C[t] ⊗ Cm) имеем j=0 ξ∗ n k Sj+kξj = n r ∞ ±Sj+kξj , ξk ∓ = / d Σ(t) ( n \ n ξj tj , \ r ∞ tkξk = R∗(t)dΣ(t)R(t) � 0, j,k=0 j,k=0 -∞ 0 0 -∞ (1.2) где ±x, y∓ обозначает скалярное произведение в пространстве Cm. Это неравенство доказывает достаточность в следующем классическом результате. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 237 238 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ Теорема 1.1 (см. [3, 5]). Необходимым и достаточным условием разрешимости матричной проблемы моментов (1.1) является условие положительности ξ∗ n k Sj+kξj � 0, ξj ∈ Cm , n ∈ N0. (1.3) j,k=0 Схема доказательства. Кратко наметим идею доказательства достаточности. С этой целью для n n каждой пары векторных многочленов R(t) = ), ξj tj , Q(t) = ), ηk tk(∈ C[t] ⊗ Cm), где ξj , ηk ∈ Cm, положим 0 0 / n n \ n n ±R(t), Q(t)∓S = ξj tj , ηk tk k := η∗Sj+kξj = ±Sj+kξj , ηk ∓ , n ∈ N0. (1.4) 0 0 S j,k=0 j,k=0 Более того, для простоты положим, что неравенство в (1.3) является строгим, т. е. ±R(t), R(t)∓S > 0 для любых R ∈ C[t] ⊗ Cm \ {O}. Тогда из (1.4) и (1.3) следует, что билинейная форма ±·, ·∓S S определяет скалярное произведение в C[t] ⊗ Cm. Таким образом, векторное пространство Ht := C[t] ⊗ Cm становится предгильбертовым пространством. Пополняя его, приходим к гильбертову пространству HS . Далее определим оператор умножения At на C[t] ⊗ Cm, полагая n n At : R(t) = ξj tj → tR(t) = ξj tj+1. (1.5) 0 0 Легко видеть, что оператор At является симметричным: ±AtR, Q∓S = ±R, AtQ∓S , ипотому допускает замыкание A = At в HS . Можно легко доказать, что индексы дефекта оператора A конечны и выполнено n+(A), n-(A) � m. Если n+(A) = n-(A), то оператор A допускает самосопряженное расширение A� = A�∗ в HS . Иначе такое расширение может быть найдено среди расширений оператора A в более широком пространстве H�S ⊃ HS . Пусть EA�(t) - (ортогональная) спектральная функция (разложение едини- � цы) оператора A�, т. е. A� = ГR t dEA (t). Пусть PH § ортопроектор в HS на подпространство H := Cm постоянных векторных многочленов, и пусть Σ (t) := P E (t) 1. Тогда из (1.4) и (1.5) следует, A� что для любой пары постоянных векторов ξ, η ∈ H(= C H A� полнено 1. вы / \ / j k \ / j+k \ ±Sj+kξ, η∓ = ξtj , ηtk = S r S A� ξ, A� η = A� r ξ, η = S = tj+k d(E R A� (t)ξ, η) = tj+k d(Σ A� R (t)ξ, η), j, k ∈ N0. (1.6) Тогда m × m мера Σ(t) = ΣA�(t) является решением матричной проблемы моментов (1.1). Можно доказать, что любое матричное решение Σ(t) задачи (1.1) допускает единственное представление Σ(t) = ΣA� (t) с некоторым самосопряженным расширением A� = A�∗ оператора A и справедлива эквивалентность Σ A�1 � (t) = ΣA2 (t) ⇐⇒ A�1 = A�2. mat Ассоциируем с мерой Σ гильбертовы пространства L2(Σ; H) и L2 (Σ; H) вектор-функций и матричных функций, соответственно (см. [5, 28]). В дальнейшем будем полагать, что меmat (Σ;H) ра Σ такая, что (R, R)L2 R := Г R(t) dΣ(t)R∗(t) > 0 для любого матричного многочлена n R(t) = ), Cj tj ∈ C[t] ⊗ Cm×m, где Cn обратимы. Используя это условие и применяя ортогонализа- 0 цию (см. [5]), можно определить последовательность «ортонормальных» матричных многочленов {Pj (t)}∞(⊂ L2 (Σ; H)), где P0(t) = Im и выполнено 0 mat mat (Σ;H) (Pj , Pk )L2 r k := Pj (t) dΣ(t)P ∗(t) = δjk Im, deg Pj (t) = j, j, k ∈ N0. (1.7) R 0 Система {Pj (t)}∞ mat не обязательно полна в L2 (Σ; H). Обозначим через L�2(Σ; H) и L� 2 mat (Σ; H) mat подпространства в L2(Σ; H) и L2 (Σ; H), порожденные векторными и матричными многочленами, соответственно. Видно, что последовательность {Pj 0 (t)}∞ образует «ортонормальный базис» ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 239 в L� 2 mat (Σ; H). Следовательно, полагая P-1 = 0 и используя «ортогональные» соотношения (1.7), получаем, что tPj (t) = Cj,kPk (t) = Cj,j-1Pj-1(t)+ Cj,j Pj (t)+ Cj,j+1Pj+1(t), Cj,k ∈ C k где матричные коэффициенты Cj,k при |j - k| � 1 даются формулами m×m , (1.8) Aj := Cj,j = r j tPj (t) dΣ(t)P ∗(t), Bj := Cj,j+1 = R r r j+1 t Pj (t)dΣ(t)P ∗ R (t), Cj,j-1 = j-1 t Pj (t)dΣ(t)P ∗ R j-1 (t) = B∗ , mat (Σ;H) и Cj,k = (tPj , Pk )L2 = 0 при |j - k| > 1. Следовательно, матричное представление оператора A (1.5) в базисе {Pj (t)}∞ в L�2 (Σ; H) дается блочной матрицей Якоби 0 mat ⎛ A0 B0 Om Om Om ... ⎞ ⎜ ∗ J = ⎜ B0 A1 B1 Om Om ... ⎟ ⎟ , (1.9) 1 ⎜ Om B∗ A2 B2 Om ... ⎟ ⎝ ... ... ... ... ... . . . ⎠ j где Aj = A∗ ∈ Cm×m - m × m-матричные элементы, а элементы Bj ∈ Cm×m обратимы, j ∈ N0. Согласно М. Г. Крейну (см. [2, 3]), матрица J также называется матрицей Якоби с матричными элементами. 0 l2 Пусть l2(N; Cp) - линеал конечных последовательностей в пространстве l2(N; Cm). Отображение 0 (N; Cm ) Э f → Jf определяет линейный симметричный, но не замкнутый оператор J0. Замыкание оператора J0 определяет минимальный замкнутый симметричный оператор Jmin в l2(N; Cp). В дальнейшем будем отождествлять минимальный оператор Jmin с матрицей J вида (1.9) и писать Jmin = J. Также полагаем Jmax = J∗. Наконец, введем преобразование Фурье ∞ F : l2(N; Cm) → L�2(Σ; H), ξ = {ξj }∞ → F[ξ](t) := ξ�(t) = P ∗(t)ξj (1.10) 0 0 j 0 и заметим, что в силу (1.7) формулы ξj = ГR Pj (t) dΣ(t)ξ�(t), j ∈ N0, позволяют восстановить векторные коэффициенты ξj (∈ Cm) из ξ�(t). Используя (1.10), (1.5) и (1.8), приходим к тождеству ∞ ∞ AF[ξ](t) = tPj (t)∗ξj = [P ∗ (t)Bj-1 + P ∗(t)Aj + P ∗ (t)B∗]ξj = F[Jξ](t), j-1 0 0 j j+1 j означающему, что оператор J унитарно эквивалентен оператору A = At (1.5), следовательно, n±(J) = n±(A). Оператор J = Jmin симметричен, J ⊂ J∗, хотя не обязательно самосопряжен, т. е. индексы дефекта n±(J) := dim N±i(J) := dim ker(J∗ ∓ iI) могут быть нетривиальными. Вообще говоря, 0 � n±(J) � m (см. [2, 3, 5]). Кроме того, есть еще одно ограничение: индексы достигают максимального значения только одновременно, т. е. n+(J) = m ⇐⇒ n-(J) = m (см. [1]). В работах [16, 17] показано, что также справедливо обратное утверждение: для любой пары чисел {n-, n+}, удовлетворяющих неравенству 0 � n-, n+ < m либо n± = m, существует блочная матрица Якоби J с n±(J) = n±. Согласно М. Крейну [2, 3] ассоциируем с матрицей J разностное матричное выражение m×m n-1 (LV )n = B∗ Vn-1 + AnVn + BnVn+1, V0 = Im, V-1 = Om, Vn ∈ C , n ∈ N0. (1.11) 0 Известно (см. [2, 3, 5]), что решение задачи Коши (LV )n = zVn при начальных условиях (1.11) является последовательностью матричных многочленов {Pn(z)}∞. Последовательно находим P0(z) = Im, P1(z) = B-1(zIm - A0), P2(z) = B-1((zIm - A1)P1(z)B0), ... . (1.12) 0 1 0 Из (1.11) и (1.12) следует, что последовательность {Pn(z)}∞, будучи матричным решением систеmat мы (1.8), образует ортогональную систему в L2 (Σ; H) (см. (1.7)) с мерой Σ(t) := PHEJ (t) H, 240 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ являющейся сужением любой спектральной (не обязательно ортогональной) меры EJ(t) блочной матрицы Якоби J. М. Крейном [2] (см. также [5]) было показано, что для любых z ∈ C± существует матричный k '-1 предел H(z) = lim n ( ), P ∗(z)Pn(z) , где rank(H(z)) = n± (J). Также им было установлено, k→∞ n=0 что с каждой матрицей Якоби J ассоциирована некоторая матричная проблема моментов, и эта проблема имеет единственное (нормализованное) решение, если n-(J) · n+(J) = 0. Более того, этот случай известен как определенный случай матричной проблемы моментов. Если n±(J) = m (см. [2]), то ряд P ∗ ∞ n (z)Pn(z) =: H -1(z), z ∈ C, (1.13) n=0 0 равномерно сходится на компактных подмножествах в C. Заметим, что в этом случае дефектное подпространство есть Nz := ker(J∗ - zI) = {{Pn(z)h}∞ : h ∈ Cp}. Тогда говорят, что для матрицы J (и соответствующей матричной проблемы моментов) имеет место вполне неопределенный случай (см. [2, 3] и [5, гл. VII, §2]). В этом случае для каждого матричного решения Σ соответствующей проблемы моментов (1.1) ряд (1.13) определяет воспроизmat водящее ядро подпространства L�2 (Σ; H) целых матричных функций, порожденных матричными многочленами {Pn 0 (z)}∞ в L2(R; Σ). Известно (см. [2, 3] и [4] при m = 1), что подпространство L� 2 mat (Σ; H) состоит из целых матричных функций минимального экспоненциального типа: 1 lim |z|→∞ ln ±H- (z)± = 0. |z| Задача вычисления индексов дефекта матриц Якоби является первой главной проблемой, естественным образом возникающей в спектральной теории как таких матриц, так и соответствующих проблем моментов. М. Г. Крейном (см. [2, 3]) было установлено, что матричная проблема моментов, ассоциированная с матрицей Якоби J, имеет единственное решение (нормализованное в определенном смысле) тогда и только тогда, когда одно из чисел n- или n+ равно нулю. Этот вопрос привлекает существенное внимание, в частности, в течение последних двадцати лет (см., например, [2, 3, 6-12, 16-18, 20-26, 30]). Особенно выделим недавние работы [31] (m = 1) и [7-10] (m � 1), где были найдены новые различные условия самосопряженности блочных матриц Якоби. В недавних работах [8-11] были установлены некоторые условия дискретности блочных матриц Якоби. Они покрывают ряд предыдущих результатов в скалярном случае (m = 1) (см. [13, 14, 19]). Мы посвящаем эту работу нашему другу, коллеге и замечательному математику Николаю Дмитриевичу Копачевскому, который ушел из жизни 18 мая 2020 г. Он был создателем и душой Крымской осенней математической школы-симпозиума с 1990 г. Эта школа была замечательным математическим явлением с исключительно теплой и неповторимой атмосферой. Каждый из нас провел в ней много незабываемых минут. 2. УСЛОВИЯ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ В скалярном случае (m = 1) первое условие самосопряженности матрицы Якоби J получено Карлеманом (см. [4, 5]) и в настоящее время широко известно. Этот результат был обобщен на матричный случай Березанским [5, теорема VII.2.9] и выглядит так. Теорема 2.1 (см. [5], тест Карлемана). Предположим, что ∞ j=0 ◦Bj ◦-1 = +∞. (2.1) Тогда (минимальный) оператор Якоби J самосопряжен, т. е. J = Jmin = Jmax = J∗. Условие (2.1) не является необходимым для самосопряженности оператора J даже в скалярном случае (m = 1). Для демонстрации этого факта рассмотрим блочную матрицу Якоби: ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 241 ⎛ 0 b0 0 0 0 ... ⎞ ⎜ b0 0 b0 0 0 ... ⎟ ⎜ ⎜ Jt = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 b 0 b ... ⎟ . (2.2) 0 b0 0 b1 0 ... ⎟ ⎟ 1 1 ⎟ ⎟ 0 0 0 b1 0 ... ⎟ ⎝ ... ... ... ... ... . . . ⎠ Утверждение 2.1. Пусть Jt - матрица Якоби вида (2.2) с произвольной последовательностью {bn}n∈N0 ∈ R \ {0}. Тогда матрица Jt является самосопряженной, т. е. n±(Jt) = 0. Доказательство. Из уравнений (1.11) при An = 0 и Bn = bn или из выражений (1.12) j -1 -1 -1 следует, что P2j-1(0) = Q2j (0) = 0, P2j (0) = (-1) b2j-1b2j-2b2j-3 ... b1 b0, Q2j+1(0) = 2j 1b (-1)j b-1b2j -1 - 2j-2 0 ... b1b-1. Учитывая эти соотношения и вид матрицы (2.2), получаем P2j (0) = (-1)j , Q2j+1(0) = (-1)j и, следовательно, ),∞ (P 2(0) + Q2 (0)) = ∞. Согласно [4, с. 108], это n n n=0 соотношение эквивалентно самосопряженности матрицы Jt (см. также [27, утверждение 10] для доказательства этого результата методами теории расширений). Однако условие (2.1) является точным для некоторых классов матриц Якоби. Более точно, Березанским было показано (см. [5, теорема VII.1.5] и [4, гл. I, с. 39]), что если m = 1 и условие (2.1) нарушено, то при определенных дополнительных предположениях об элементах An и Bn оператор J удовлетворяет n±(J) = 1. Матричный вариант этого результата, а также его обобщения будут рассмотрены в разделе 3. Следующий результат о самосопряженности был впервые получен Петропулу и Веласкесом [31] в скалярном случае. Далее он был обобщен на матричный случай Бройтигам и Мирзоевым [7, теоремы 12-16]. Теорема 2.2 (см. [7]). Оператор Якоби J, индуцированный матрицей Якоби (1.9), самосопряжен, если элементы An обратимы и выполнено хотя бы одно из следующих условий: ),∞ 1 -1 -1 ∗ (i) n=2 ±Bn ±F1,n = ∞, F1,n = ◦An Bn◦ + ◦An Bn-1◦; ),∞ 1 -1 ∗ ( -1 ∗ -1 ) -1 ( -1 ∗ (ii) n=2 ±Bn ±F2,n ◦A-1 = ∞, где F2,n = ◦An Bn-1◦ ◦A ) n-1 Bn-2 ◦ + ◦An Bn-1◦ + ◦An Bn◦ ◦A n+1 Bn◦ + n+1Bn+1◦ ; n-1 0. если существует N ∈ N такое, что при n � N - 1 имеем ◦A-1 2 Bn-1◦ + ◦A -1 n+1 ∗ 2 , 2 Bn◦ < 1 n � N ; 2( 2 1. если существует N ∈ N такое, что при n � N - 2 имеем ◦A-1 n-1 ◦A Bn-1◦ -1 n-2 Bn-2◦ + ◦A-1 ∗ 2) -1 ∗ 2( -1 2 -1 ∗ 2) 1 n Bn-1◦ + ◦An+1Bn◦ ◦An Bn◦ + ◦An+2Bn+1◦ < 4 , n � N. 1 0 Доказательство этого результата в [7] существенно опирается на технику матричных ортогональных многочленов второго рода. Последние определяются как последовательность {Qn(·)}∞, образующая второе матричное решение разностной системы (1.11), удовлетворяющее начальным условиям Q0(·) := Om, Q1(·) := B-1. Следующий результат о самосопряженности был получен недавно первыми двумя авторами в [9, 10]. Он расширяет и усиливает теорему 2.2. Теорема 2.3 (см. [9, 10]). Пусть J - блочная матрица Якоби вида (1.9), и пусть A := diag{A0,... , An,.. .} - ее блочно-диагональная часть с ker A = {0}. Положим также, что при некотором N ∈ N0 a1(N ) := sup ◦A-1 ( n n Bn◦ + ◦A-1 ' ∗ Bn-1◦ < ∞, (2.3) n�N a2(N ) := sup(◦A-1Bn◦ + ◦A-1 B∗ ◦ ' < ∞. (2.4) n n�N n+2 n+1 Если a1(N )a2(N ) � 1, то оператор J существенно самосопряжен в dom A(⊂ l2(N0; Cm)). При этом J самосопряжен в dom J = dom A, если неравенство строгое: a1(N )a2(N ) < 1. 242 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ Доказательство этой теоремы основано на тесте Шура и теореме Като-Реллиха. Следствие 2.1 (см. [9, 10]). Пусть выполнены условия теоремы 2.3. Пусть также выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) a1(N ) � 1 и a2(N ) � 1, (ii) a1(N ) � 1 и a2(N ) < 1 (a1(N ) < 1 и a2(N ) � 1). Тогда (минимальный) блочный оператор Якоби J самосопряжен. Следствие 2.2 (см. [9, 10]). Пусть J - блочная матрица Якоби вида (1.9), пусть A := diag{A0,... , An,.. .}, ker A = {0}, и пусть s ∈ [1; +∞). Положим также, что для некоторого N ∈ N0 выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) b1(N, s) := sup ◦A-1 ( s n Bn◦ n + ◦A-1 ∗ s' Bn-1◦ � 1 2s-1 ; (2.5) n�N ◦A-1 s -1 ∗ s' 1 1. b2(N, s) := sup( n�N 1 n Bn◦ + ◦A n+2 Bn+1◦ 1 � 2s-1 ; (2.6) 2. sup ◦A-1Bn◦ � , sup ◦A-1B∗ ◦ � . (2.7) n n�N 2 n�N n n-1 2 Тогда оператор J существенно самосопряжен в dom A. При этом J самосопряжен в dom J = dom A, если неравенства (2.5) и (2.6) строгие. Замечание 2.1. 2. Заметим, что в соответствии с неравенством о степенных средних функции b1(N, s) и b2(N, s) монотонно возрастают по s, т. е. s1 < s2 =⇒ bj (N, s1) < bj (N, s2), j ∈ {1, 2}, следовательно, условия (2.5) и (2.6) становятся более ограничительными при возрастании s. В частности, условия (2.5) и (2.6) более ограничительны, чем условия (2.3) и (2.4), соответственно. 3. Следствие 2.2 (ii) при s = 2 в случае строгого неравенства в (2.6) было доказано другим методом в [7] (теорема 2.2 (iii)). Наконец, перейдем к недавним результатам по самосопряженности оператора J, полученным недавно Свидерским [33]. Теорема 2.4 (см. [33, теорема 1]). Положим lim ◦B-1◦ = 0, lim ◦B-1An◦ = 0, а также1 n→∞ n n→∞ n ),∞ ◦[Bn+1B∗ - B∗ Bn]-◦ ),∞ ◦B A -A B ◦ ),∞ 1 n+1 n n n+1 n n n=1 2 < ∞; ◦Bn◦ n=1 2 < ∞; ◦Bn◦ 2 = ∞. Тогда оператор n=0 ◦Bn◦ Якоби J самосопряжен. Далее при m = 1 рассмотрим оператор Якоби J, ассоциированный с последовательностями вида B BkN +i = βi ˜k , AkN +i B = αi ˜k , (i = 0, 1,... ,N - 1; k � 0), (2.8) B где α и β - N -периодические последовательности и ˜ - положительная последовательность. Последовательности α и β называются модулирующими последовательностями. Оказывается, что спектральные свойства оператора J зависят от следа такой матрицы: N ( 0 1 \ F (0) := тт βn-1 αi . (2.9) i=1 - βn - βi B Следующая теорема показывает, что в такой постановке оператор J всегда будет самосопряженным, независимо от последовательности ˜. Теорема 2.5 (см. [32, теорема A]). Пусть m = 1, и пусть число N положительно. Положим F (0) = γI для некоторого |γ| = 1, где матрица F (0) определена в (2.9). Тогда оператор J, ассоциированный с последовательностями (2.8), всегда самосопряжен и 0 ∈/ σp(J). 1 Для любого оператора X = X∗ ∈ B(H) положим X- = XEX (-∞, 0) где EX (-∞, 0) - спектральная проекция. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 243 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ ЯКОБИ С МАКСИМАЛЬНЫМИ ИНДЕКСАМИ ДЕФЕКТА В этой главе будут даны некоторые недавние результаты о матрицах J с максимальными индексами дефекта n±(J) = m. Первый результат в этом направлении был получен Березанским (см. [5, гл. VII, теорема 1.5]) и гласит следующее. - n+1 n Теорема 3.1 (см. [5]). Пусть m = 1 и пусть J - скалярная матрица Якоби (1.9) с элементами an = An ∈ R и bn = Bn ∈ R, bn > 0. Положим |an| � C и bn 1 · b � b2 , n ∈ N. Тогда n±(J) = 1 при нарушении условия Карлемана (2.1), т. е. b ),∞ -1 n n=1 < +∞. Следующий результат получен Костюченко и Мирзоевым под влиянием теоремы 3.1 и может считаться ее далеко идущим обобщением. Теорема 3.2 (см. [24, теорема 4]). Положим, что ◦An◦ � C, n ∈ N0 и ∞ ∞ ◦B∗-1Bj+1B∗ -1 ... Bj+2s 1B∗ -1◦ < +∞. j j=0 s=0 j+2 - j+2s Тогда индексы дефекта оператора Якоби J максимальны, т. е. n±(J) = m. k ji Положим, что обобщенная симметричная матрица Якоби J(0) имеет только две ненулевых диагонали. А именно, пусть элементы Cij этой матрицы удовлетворяют следующим условиям: Cij = 0, если |i - j| /= k, Ci,i+k = Bi, и Cij = C∗ , i, j ∈ N0, где k - известное положительное целое число и Bi - последовательность обратимых m × m матриц. k Теорема 3.3 (см. [25, теорема 1.1]). Матрица Якоби J(0) имеет максимальные индексы дефекта тогда и только тогда, когда матричные элементы Bi удовлетворяют условиям ),∞ ◦B-1 ∗ -1 ∗ 2 j=1 (2j-1)k+sB(2j-2)k+s ... Bk+sBs ◦ < +∞ при s = 0, 1,... , 2k - 1. Следующий результат является прямым обобщением теоремы Березанского 3.1 на случай блочных матриц и совпадает с ней при m = 1 и k = 1. 1 -2 j Следствие 3.1 (см. [25, следствие 1.3]). Положим, что неравенства ◦Bj-k◦·◦Bj+k◦ � ◦B- ◦ и ),∞ j=1 k ◦Bj ◦-1 < +∞ выполнены, начиная с некоторого j > k. Тогда матрица Якоби J(0) имеет максимальные индексы дефекта. 1 -1 Согласно [26], введем матрицы Cn, полагая C0 := B∗ , C1 := Im, и ( (-1)j B-1 B∗ ... B∗B-1, если n = 2j, Cn = 2j-1 2j 2 1 (-1)j B-1B∗ ... B-1B∗, если n = 2j + 1, j ∈ N. (3.1) 2j 2j-1 2 1 0 Теорема 3.4 (см. [26]). Пусть последовательность {Cn}∞ задана выражением (3.1). Если выполнены условия +∞ n=1 2 ◦Cn◦ < +∞ и +∞ n=1 n ◦C∗ AnCn◦ < +∞, (3.2) то для матрицы J вида (1.9) имеет место вполне неопределенный случай, т. е. n±(J) = m. Следствие 3.2 (см. [26, следствие 1]). Пусть элементы матрицы J удовлетворяют условиям 1 -2 ),∞ -1 ),∞ -1 n ◦Bn-1◦·◦Bn+1◦ � ◦B- ◦ , n=1 ◦Bn◦ < +∞, n=1 ◦An◦·◦Bn◦ < +∞, n ∈ N. Тогда n±(J) = m. Следствие 3.2 является обобщением теоремы, полученной Березанским (см. [5, гл. VIII, §1, п. 2, теорема 1.5]) о вполне неопределенности матриц Якоби со скалярными элементами. Теорема 3.5 (см. [26, теорема 1]). Пусть элементы матрицы J удовлетворяют условиям ),∞ n 2 ∗ 1 n=1 ∞ ◦Cn◦ < + и lim n→∞ n◦C2n+iA2n+iC2n+i◦ < 2 (i = 0, 1). Тогда для блочной матрицы Якоби J имеет место вполне неопределенный случай, т. е. n±(J) = m. 244 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ 4. МАТРИЦЫ ЯКОБИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ИНДЕКСАМИ ДЕФЕКТА В этом разделе представлены некоторые результаты о промежуточных индексах дефекта блочных матриц Якоби J. Сначала отметим, что в соответствии с результатом, полученным Дюкаревым [16], для любой допустимой пары неотрицательных целых чисел n± � m существует блочная матрица Якоби J, где n±(J) = n±. Следующий результат принадлежит Костюченко и Мирзоеву [24, теорема 3] (см. также недавнюю работу [7]). Теорема 4.1 (см. [7, 24]). Пусть выполнено одно из условий: (i) ),∞ n=1 ),∞ n ◦B-1◦ = +∞; (ii) ),∞ n=1 ◦B -1 n+1 n An+1B-1◦ = +∞; (iii) n=1 ◦B -1 n+1 n+1 (An+2B-1 n+1 An+1 - B∗ n )B-1◦ = +∞. Тогда индексы дефекта оператора Якоби J не являются максимальными. В случае m = 1 условие (i) теоремы 4.1 совпадает с условием Карлемана (2.1), а условие (ii) совпадает с условием Денниса-Уолла (см. [4, гл. I, Дополнения и задачи, 2, с. 37]). В работе [7] можно найти другие более громоздкие формулы, обеспечивающие то же утверждение. Следующий результат был получен Дюкаревым в [17]. Теорема 4.2 (см. [17, теорема 2]). Пусть целые числа m � 1 и m1 � 0 удовлетворяют условию 0 � m1 � m, а диагональные элементы матриц B�n и Rn определяются формулами ( 1 ,... , 1 , 1,... , 1 \ , n � 0 и R0 = Im, Rn = / n-1 Im + B�2 , n � 1. B�n = diag n +1 m m n +1 '"',. _ m 1 '"',. _ - 1 Далее, пусть блоки An и Bn матриц Якоби JDyuk(1.9) имеют вид An = Om, n � 0, B0 = B�0, n-1 Bn = B�-1 n ± RnB�-1, n � 1. Тогда n (JDyuk ) = m1. 5. ДИСКРЕТНОСТЬ СПЕКТРА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ В этом разделе представлены недавние результаты о дискретности спектра блочных матриц Якоби. Теорема 5.1 (см. [32, теорема B]). Пусть m = 1, и пусть выполнены предположения теоремы 2.5. Если lim k = 0, то σess(J) = ∅. Bk k→∞ ˜ Заключение теоремы 5.1 было известно только при αn ≡ 0 и βn ≡ 1. В частности, это доказали Домбровски и Педерсен [15]. Как обычно, через Sp(H) обозначим идеал Неймана-Шатена в H. Теорема 5.2 (см. [9, 10]). Пусть J - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с блочной матрицей Якоби (1.9) в l2(N0; Cm), и пусть A := diag{A0, A1,... , An,.. .}, ker A = {0}. Предположим, что A-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)) и p ∈ (0, ∞]. Пусть также a1(N ) и a2(N ) определены в (2.3) и (2.4), соответственно, и пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) ../a1(N )a2(N ) < 1; (ii) a1(N ) � 1 и a2(N ) < 1 (a1(N ) < 1 и a2(N ) � 1); 0. для некоторых N ∈ N0 и s ∈ [1; +∞) n ◦ sup(◦A-1Bn s n + ◦A-1 ∗ s' Bn-1◦ < 1 2s-1 ; (5.1) n�N 1. для некоторых N ∈ N0 и s ∈ [1; +∞) sup ◦A-1 ( n n�N s Bn◦ + ◦A -1 n+2 ∗ s' Bn+1◦ < 1 2s-1 ; (5.2) ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 245 2. для некоторого N ∈ N0 sup ◦A-1Bn◦ < 1 , sup ◦A-1B∗ ◦ < 1 . (5.3) n n�N 2 n�N n n-1 2 Тогда оператор J самосопряжен и J-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). n Как обычно, обозначим модуль матрицы An через |An| := ../A2 . Теорема 5.3 (см. [10]). Пусть J - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с блочной матрицей Якоби вида (1.9) в l2(N0; Cm), и пусть A := diag{A0, A1,... , An,.. .}(= A∗). 3. Положим 0 ∈ ρ(A), s ∈ [1; +∞), и пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) lim sup (1|An|-1/2 · Bn · |An+1|-1/21 + 1 |-1/2 · B∗ · |An+1|-1/21' < 1; (5.4) 1 n→∞ 1 1|An+2 n+1 1 1 (ii) lim sup (1|An|-1/2 · Bn · |An+1|-1/21s + 1|An|-1/2 · B∗ § |An 1|-1/21s' < ; (5.5) 1 n→∞ 1 1 n-1 - 1 1 2s-1 (iii) lim sup 1|An+1|-1/2 · B∗ · |An|-1/21 < . (5.6) 1 n→∞ n 1 2 Тогда оператор J является симметричным в l2(N0; Cm) с равными индексами дефекта и допускает самосопряженное расширение J� = J�∗ с 0 ∈ ρ(J�). 4. Если, кроме того, A-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)) для некоторого p ∈ (0; ∞], то резольвента любого самосопряженного расширения лежит в классе Sp(l2(N0; Cm)), в частности, J�-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). Более того, если J = J∗, то J-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). 5. Если оператор A имеет дискретный спектр, то любое самосопряженное расширение оператора J, включая J�, также имеет дискретный спектр. В частности, если J = J∗, то его спектр дискретен. В скалярном случае пункт (iii) теоремы 5.3 представляет собой результат Кожухарии Янаса [14] (см. также [13]). Следствие 5.1 (см. [13, 14]). Пусть m = 1, и пусть J - скалярная матрица Якоби вида (1.9) с элементами an = An ∈ R и bn = Bn ∈ C. Положим также, что 2 lim n→∞ |an| = ∞ и lim sup n→∞ |bn| < |anan+1| 1 . (5.7) 4 Если J = J∗, то его спектр дискретен. Замечание 5.1. 0. Следствие 5.1 было получено Кожухари и Янасом [14] другим способом. Иначе говоря, условие дискретности в скалярном случае можно найти в [13]. Если J /= J∗, то n±(J) = 1 и каждое самосопряженное расширение J дискретно. В этом случае условия (5.7) теряют силу для дискретности. 1. В скалярном случае (m = 1) дискретность спектра матрицы Якоби J = J∗ была доказана Янасом и Набоко в [19] с использованием другого метода при условиях lim n→∞ an = ∞, b2 2 lim n +bn-1 < 1 , a ∈ R, b > 0, n ∈ N. Отметим, что первое условие означает дискретность a 2 n→∞ n 2 n n матрицы J, а второе условие совпадает с условием (5.1) для s = 2. диагональной части A 2. В скалярном случае (m = 1) другое условие дискретности матрицы Якоби J было установлено Свидерски в недавней работе [32, теорема B (c)]. 3. Следует отметить, что условия (5.4)-(5.6) не гарантируют самосопряженности матрицы J в общем случае. Более того, для любых значений k � m существуют матрицы Якоби J с нетривиальными индексами n+(J) = n-(J) = k, удовлетворяющие (5.6). Простые примеры таких матриц J естественным образом возникают в связи с операторами Дирака с точечными взаимодействиями (см. утверждение 6.4 ниже). 246 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ 6. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА И ДИСКРЕТНОСТЬ СПЕКТРА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МАТРИЦ ЯКОБИ В этом разделе, следуя недавним работам [9-11], рассмотрим самосопряженность и дискретность некоторых классов блочных матриц Якоби. В [9-11, 20, 21, 23] показано, что определенные спектральные свойства матриц Якоби этих классов строго коррелируют со свойствами операторов Шредингера и Дирака с точечными взаимодействиями. 1. Матрицы Якоби классов J (1) (H, m) и J (2) (H, m). Обозначим через J (1) (H, m) класс блочных матриц Якоби вида 1 α 1 ⎞ r1 � r1 r2d2 Im Om Om Om ... 2 1 1 r2 d2 Im Om Om 1 α 1 I r2 2 r2 r3d3 m 2 � 1 Im 1 α3 r2 r3d3 r2 � 3 Om - 1 Im r3r4d4 Om 1 Im r3 r4d4 1 α4 r2 � Om Om 1 Im r4r5d5 ... ⎟ ⎟ ... ⎟ ⎟ ⎟ ... ⎟ ⎠ ... ... ... ... ... ... ⎛ ⎜ ⎜ r1 X,α X,α X,α J(1) ⎜ . X,α(H)= ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 Здесь {dn}n∈N(⊂ R+), rn := ../dn + dn+1, и αn := αn + ( 1 + 1 ' , α = α∗ ⊂ Cm×m, n ∈ N. (6.1) � dn dn+1 Im n n X,α Применяя теоремы 5.2 и 5.3 к матрицам J(1) (H), получаем следующие два результата. α1 Теорема 6.1 (см. [9, 10]). Пусть A := diag { � � , α2 ,... �, где α определено в (6.1) и ker A = r r � 2 2 n 1 2 {0}. Положим также, что выполнено хотя бы одно из следующих условий: rn 1α-11 1 n 1 1 2 1. lim sup n→∞ k 1�n 1 < , kn := min{rn-1dn; rn+1dn+1}; (6.2) 2. lim sup rs ( 1 + 1 '1 1s < 1 , s [1; + ); (6.3) n n 1α-11 ∈ ∞ n→∞ rs s rs s 1� 1 2s-1 n-1dn n+1dn+1 1 ( rs 1 1s s 1 1s\ 3. lim sup + α n 1α-11 rn+2 1 -1 1 1 < , s [1; + ). (6.4) n→∞ r d s n+1 s n+1 1�n 1 d s n+2 1�n+21 2s-1 ∈ ∞ X,α Тогда матрица Якоби J(1) (H) является самосопряженной, а ее спектр дискретен. X,α Кроме того, если какое-либо из условий (6.2), (6.3), (6.4) выполняется при замене знака неравенства на знак равенства, то матрица J(1) (H) будет самосопряженной. α1 Теорема 6.2 (см. [10]). Пусть диагональ A(1) := diag { � � , α2 ,... � матрицы Якоби J(1) (H) r r 2 2 X,α 1 2 имеет дискретный спектр, ker A(1) = {0}, и пусть lim sup 1 1|αn|-1/2 · |αn+1|-1/21 < 1 . Тогда: n→∞ dn+1 1 � � 1 2 X,α - (1) n+(J(1) (H)) = n цы J(1) X,α (J(1) (H)) � m, и спектр любого самосопряженного расширения матри- (1) X,α(H) дискретен. В частности, матрица JX,α(H) имеет дискретный спектр, когда она самосопряжена. (2) Если, кроме того, {dn}∞ /∈ l2(N), то матрица J(1) (H) самосопряжена и дискретна. 1 X,α X,α Обозначим через J (2) (H, m) множество, состоящее из блочных матриц Якоби вида ⎛ Op 1 I O O O ... ⎞ ⎜ 1 d 2 p p p p 1 1 1 ⎟ ⎜ d2 Ip - d2 Ip 3/2 1/2 Ip Op Op ... ⎟ ⎜ 1 1 d1 d2 ⎟ ⎜ Op 1 I α1 1 I O ... ⎟ J(2) ⎜ d3/2 1/2 p d2 d2 p p ⎟ X,α(H) = ⎜ ⎜ O 1 d2 O 2 1 1 I - I ⎟ 1 I ... ⎟ . ⎜ p p d2 p d2 p 3/2 1/2 p ⎟ 2 2 ⎜ ⎜ Op Op Op 1 I d2 d3 α2 ⎟ ... ⎟ 3/2 1/2 p d3 ⎠ ⎝ d2 d3 ... ... ... ... ... ... X,α Применяя снова теоремы 5.2 и 5.3 к матрицам J(2) (H), приходим к следующим результатам. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 247 Теорема 6.3 (см. [10, 11]). Пусть диагональная матрица At := diag { α1 , α2 ,... � (часть диа- (2) d2 d3 гонали A(2) матрицы J(2) (H)(∈J ∗ (H, m)) имеет дискретный спектр, ker A = {0}, и пусть X,α X,α 1 1/21 1 1/21 lim sup 1|αn|- 1 < 1 , lim sup 1|αn|- 1 < 1 . (6.5) Тогда: d n→∞ d 2 1/2 n n→∞ 1/2 2 n+1 X,α - (1) n+(J(2) (H)) = n цы J(2) X,α (J(2) (H)) � m, и спектр любого самосопряженного расширения матри- (2) X,α(H) дискретен. В частности, матрица JX,α(H) имеет дискретный спектр, когда она самосопряжена. 1 (2) Если, кроме того, {dn}∞ X,α /∈ l2(N), тогда матрица J(2) (H) самосопряжена и ее спектр дискретен. Утверждение 6.1 (см. [10]). Пусть {dn}∞ ∈ l2p(N) при p ∈ ( 1 , ∞], At := diag { α1 , α2 ,... �, и n=1 2 d2 d3 пусть выполнены условия (6.5). Если также (At)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)), то справедливы следующие утверждения: X,α - (i) n+(J(2) (H)) = n X,α (J(2) (H)) � m; (ii) (J�(2) (H) - iI)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)) для любого самосопряженного расширения J�(2) (H) мат- X,α (2) X,α рицы JX,α(H). Более того, если J(2) (H) = (J(2) (H))∗, то (J(2) (H) - iI)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). X,α X,α X,α 2. Матрицы Якоби классов JX,α(D, m) и JX,β (D, m). Обозначим через JX,α(D, m) класс блочных матриц Якоби вида ⎛ Om ν(d1 ) I O O O ... ⎞ ⎜ ν(d1 ) d 2 m 1 ν(d1 ) m m m ν(d1 ) ⎟ ⎜ d1 I - d1 I d3/2 1/2 Im Om Om ... ⎟ ⎜ 2 m 2 m 1 d2 ⎟ ⎜ ν(d1 ) α1 ν(d2 ) ⎟ ) = ⎜ ⎜ Om JX,α(D d d d 3/2 1/2 Im d2 1 2 2 Im Om ... ⎟ 2 ⎟ . (6.6) ⎜ O O ⎜ m m ⎜ I ν(d2 ) d2 m ν(d2 ) I - d2 m I ν(d2 ) 3/2 1/2 m ⎟ ... ⎟ ⎟ ⎜ O O ⎜ m m ⎝ 2 2 O I ν(d2 ) 2 d3 m d3/2 1/2 m d2 d3 α2 d3 ⎟ ... ⎟ ⎠ ... ... ... ... ... ... 1 Здесь {dn}n∈N(⊂ R+), α = {αn}∞ ⊂ C m×m n , αn = α∗ √ 2 2 1 и ν(x) := 1 1+(c x )- = . cx √1+c2x2 Далее, обозначим через JX,β (D, m) класс блочных матриц Якоби вида ⎛ Om ν(d1 ) I O O ... ⎞ d ⎜ ν(d1 ) 2 m 1 ν2 (d1 ) m m ν(d1 ) ⎟ d d ⎜ 2 Im - 3 ⎜ 1 1 ⎜ (β1 + d1Im) 1 d3/2 d21/2 Im Om ... ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ Om ν(d1 ) ν(d2 ) I ... ⎟ d ⎜ d3/2 d21/2 Im Om JX,β (D) := 1 ⎜ ⎜ ν(d2 ) 2 2 ν2 (d2 ) (β m + d I ) ... ⎟ ⎟ . (6.7) ⎟ ⎜ Om Om d2 Im - d3 2 2 m ⎟ ⎜ O O ⎜ m m ⎜ 2 2 O I ν(d2 ) m d3/2 d1/2 m ⎟ ... ⎟ ⎟ ⎜ 2 3 ⎟ ⎝ Om Om Om Om ... ⎠ ... ... ... ... ... 1. Матрицы из классов JX,α(D, m) и JX,β (D, m) с максимальными индексами дефекта. Сначала обсудим условия на матрицы из класса JX,α(D, m), при которых они имеют максимальные индексы дефекта. 1 Теорема 6.4 (см. [8, 10, 12]). Пусть JX,α(D) - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с матрицей Якоби вида (6.6). Также пусть последовательность α := {αn}∞(⊂ Cm×m) 248 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ самосопряженных матриц удовлетворяет условию ∞ n-1 ( 1 \2 dn тт 1+ c ◦αk ◦Cm×m < +∞. (6.8) n=2 k=1 Тогда оператор JX,α(D) имеет максимальные индексы дефекта, n±(JX,α(D)) = m. 1 Следствие 6.1 (см. [10]). Пусть JX,0 - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с матрицей Якоби (6.6) с нулевой последовательностью {αn}∞ ≡ O. Тогда оператор JX,0 имеет максимальные индексы дефекта тогда и только тогда, когда {dn }n∈N ∈ l1(N). Аналогичные результаты справедливы для матриц из класса JX,β (D, m). 1 Теорема 6.5 (см. [8, 10]). Пусть JX,β (D) - минимальный оператор Якоби, ассоциированный в l2(N0; Cm) с матрицей (6.7). Предположим, что последовательность β := {βn}∞(⊂ Cm×m) удовлетворяет условию ∞ n-1 2 dn тт (1 + c ◦βk ◦Cm×m ) < +∞. (6.9) n=2 k=1 Тогда индексы дефекта матрицы Якоби JX,β (D) максимальны, т. е. n±(JX,β (D)) = m. 1 Следствие 6.2 (см. [10]). Индексы дефекта матрицы JX,β (D) максимальны при {dn}∞ ∈ 1 l1(N) и {βn}∞ ∈ l1 (N; C m×m). Следствие 6.3 (см. [10]). Индексы дефекта матрицы Якоби JX,β (D) максимальны, если lim sup dn+1 (1 + c◦βn◦ m m )2 < 1. В частности, n (J (D)) = m, когда выполнено хотя бы dn C × n→∞ ± X,β одно из следующих условий: 1. lim supn→∞(dn+1/dn) = 0 и supn∈N ◦βn◦Cm×m < ∞; √ 2. lim supn→∞(dn+1/dn) =: (1/d) при d> 1 и supn∈N ◦βn◦Cm×m < c( d - 1). Замечание 6.1. При β = Om следствие 6.1 справедливо, если матрицу Якоби JX,α(D) заменить на JX,β (D). Считая, что lim n→∞ dn = 0, естественно заменить последовательность {ν(dn)} в (6.7) на эквивалентную последовательность {cdn} и получить следующую матрицу: Op c ⎛ ⎞ 2 d1 Ip Op Op ... ⎜ c c c ⎟ ⎜ d1 Ip - d1 (β1 + d1Ip) (d1 d2 )1/2 Ip Op ... ⎟ ⎜ Op c c ⎟ ⎜ X,β (D) = ⎜ (d1 d2 )1/2 Ip Op c d2 Ip ... ⎟ c2 ⎟ . (6.10) Jt ⎜ ⎜ Op Op ⎟ d2 Ip - d2 (β2 + d2Ip) ... ⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ Op Op Op ⎜ (d2 d3 )1/2 Ip ... ⎟ ⎟ ⎝ Op Op Op Op ... ⎠ ... ... ... ... ... X,β Утверждение 6.2 (см. [8, 10]). Пусть матрицы Якоби JX,β (D) и Jt 3. заданы формулами (6.7) и (6.10), соответственно. Пусть также lim n→∞ d2 d n-1 = 0. Тогда: n X,β 0. n±(JX,β (D)) = n±(Jt (D)); 1 1. в частности, если последовательность β := {βn}∞(⊂ Cm×m) удовлетворяет усло- X,β вию (6.9), то n±(Jt (D)) = m. 2. Самосопряженность и дискретность спектра матриц из класса JX,α(D, m). n=1 Теорема 6.6 (см. [10, 11]). Пусть {dn}∞ /∈ l1(N). Пусть также спектр диагональной матd2 рицы At := diag { α1 d , α2 ,... � дискретен и выполнено условие 3 lim sup ◦|αn|-1/2◦ < 1 √ . (6.11) n→∞ 2 c Тогда оператор Якоби JX,α(D) самосопряжен в l2(N, Cm) и его спектр дискретен. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 249 Отметим, что теперь условие (5.6) превращается в условие (6.11). Теорема 6.7 (см. [10]). Пусть диагональная часть At := diag { α1 , α2 ,... � дискретна, и d2 d3 n=1 пусть {dn}∞ - ∈ l1(N). Если условие (6.11) выполнено, то n+(JX,α(D)) = n (JX,α (D)) � m, и спектр каждого самосопряженного расширения оператора JX,α(D) дискретен. В частности, если JX,α(D) = JX,α(D)∗, то спектр этого оператора дискретен. Утверждение 6.3 (см. [10]). Пусть {dn}∞ ∈ l1(N), и пусть At := diag { α1 , α2 ,... �. Предn=1 d2 d3 положим, что (At)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). Кроме того, если выполнено условие (6.11), то резоль вента любого самосопряженного расширения J�X,α оператора JX,α(D) принадлежит классу Sp(l2(N0; Cm)). Более того, если JX,α(D) = (JX,α(D))∗, то (JX,α(D) - iI)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). Теорема 6.4 позволяет построить симметричный, но не самосопряженный оператор Якоби JX,α(D), который в то же время удовлетворяет условию (5.6) (см. замечание 5.1 (iv)). Утверждение 6.4 (см. [10]). Пусть JX,α(D) - минимальный оператор Якоби, ассоциирован- (1+r)2(n-1) n2 ный с матрицей (6.6), и пусть dn = C1 и αn = rcIm, где r> 4. Тогда n± (JX,α (D)) = m и каждое самосопряженное расширения оператора JX,α(D) имеет дискретный спектр. В то же время матрица JX,α(D) удовлетворяет условию (6.11). Замечание 6.2. В утверждении 6.4 условия (5.4)-(5.6) трансформируются в условие (6.11). При этом теорема 5.3 не гарантирует самосопряженности матрицы Якоби JX,α(D) даже в скалярном случае (m = 1). 3. Сравнение различных результатов о вполне неопределенности. Сначала покажем, что матрицы JX,α(D) никогда не удовлетворяют условиям теоремы 3.4, тем самым предоставляя новый класс матриц Якоби с максимальными индексами дефекта n±(JX,α(D)) = m. Утверждение 6.5 (см. [8, 10]). Пусть JX,α(D) - матрица Якоби вида (6.6), и пусть Cn - матрицы вида (3.1), составленные из элементов матрицы JX,α(D). Тогда второй ряд в (3.2) расходится, следовательно, матрица JX,α(D) не удовлетворяет условиям теоремы 3.4. В то же время теорема 6.4 описывает широкий подкласс класса JX,α(D, m) с максимальными индексами дефекта n±(JX,α(D)) = m. n=1 Замечание 6.3. Очевидно, утверждение 6.5 представляет интерес только в случае {dn}∞ ∈ n=1 l1(N). Действительно, если {dn}∞ /∈ l1(N ), то в силу теста Карлемана (2.1) n± (JX,α (D)) = 0. Далее опишем область применимости теоремы 3.4 к матрицам JX,β (D). n=1 Утверждение 6.6 (см. [8, 10]). Пусть {dn}∞ ∈ l1(N). Пусть JX,β (D) - матрица Якоби ви- 1 да (6.7), а Cn - матрицы вида (3.1), составленные из элементов матрицы JX,β (D). Тогда второй ряд в (3.2) сходится тогда и только тогда, когда {βn}∞ ∈ l1(N; Cm×m). Замечание 6.4. Утверждение 6.6 показывает, что условия теоремы 3.4 в сравнении с условиями теоремы 6.5 являются слишком ограничительными для того, чтобы их можно было применить к матрицам Якоби JX,β (D), удовлетворяющим условию (6.9). Условия утверждения 6.6 совпадают с условиями следствия 6.2. Однако условия следствия 6.3, а следовательно, и теоремы 6.5, значительно слабее, чем условия утверждения 6.6. Для демонстрации этого факта рассмотрим простые примеры: 2 1. Пусть dn = 2-n и ◦βn◦Cm×m = 1. Очевидно, условия следствия 6.3 (i) выполнены и 1 n±(JX,β (D)) = m. В то же время {βn}∞ ∈/ l1(N; C m×m ), и условия следствия 6.2 (утверждения 6.6) нарушены. √ 2. Пусть dn = 2-n и ◦βn◦Cm×m = 2-1c( 2 - 1). Тогда матрица JX,β (D) удовлетворяет условиям 1 следствия 6.3 (ii) при d = 2, следовательно, n±(JX,β (D)) = m. В то же время {βn}∞ ∈/ l1(N; C m×m ), и условия следствия 6.2 (утверждения 6.6) нарушены. Таким образом, следствие 6.3 гарантирует равенства n±(JX,β (D)) = m для матриц JX,β (D), описанных выше, в то время как эти матрицы не удовлетворяют условиям теоремы 3.4. 250 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ Далее, сравним результаты о матрицах JX,α(D) и JX,β (D) с теоремой 3.1 при m = 1 и следствием 3.1 при m> 1. Утверждение 6.7 (см. [10]). Пусть JX,α(D) и JX,β (D) - блочные матрицы Якоби, удовлетворяющие условиям теорем 6.4 и 6.5, соответственно. Положим также, что βn = -dn, т. е. матрица JX,β (D) имеет нулевую диагональ. Тогда n±(JX,α(D)) = n±(JX,β (D)) = m, а матрицы JX,α(D) и JX,β (D) никогда не удовлетворяют условиям следствия 3.1. Замечание 6.5. Отметим, что теоремы 6.4 и 6.5 описывают новые классы блочных матриц Якоби JX,α(D, m) и JX,β (D, m) с максимальными индексами дефекта. Эти матрицы не удовлетворяют условиям Костюченко-Мирзоева и Березанского (см. теорему 3.4 и следствие 3.1). 4. Матрицы с промежуточными индексами дефекта. Вместе с условием (2.1) естественно рассмотреть следующий вариант условия Карлемана: ∞ ◦B-1 j=0 j ◦ = ∞. (6.12) В скалярном случае оба условия совпадают. Покажем, что при выполнении условия (6.12) для каждого p < m существуют блочные матрицы Якоби JX,α(D) ∈ JX,α(D, m), удовлетворяющие условию (6.12) с индексами n±(JX,α(D)) = p. Утверждение 6.8 (см. [10]). Пусть {d(1) }∞ ∈ l1(N), {d(2)}∞ /∈ l1(N) и d(1) � 0, d(2) � 0, n ∈ N. (d(1) 2 n 1 n 1 n n Пусть также lim n-1 ) = 0, m = m + m , m ,m ∈ N, и пусть внедиагональные блочные n→∞ d (1) n 1 2 1 2 (1) (2) элементы матрицы JX,α(D) допускают представления Bn = Bn ⊕ Bn , где ⎧ c ⎧ c (1) ⎨ d ⎪ (1) Im1 , n = 2j, j+1 (2) ⎨ d ⎪ (2) j+1 Im2 , n = 2j, Bn = c Im Bn = c d(1) (1) ⎪⎩ / 1 , n = 2j + 1, ⎪⎩ / (2) (2) Im2 , n = 2j + 1, j+1 dj+2 ) ⎧ αj , n = 2j, dj+1 dj+2 An = ⎨ d (1) j+1 d I , n = 2j + 1. c ⎩- (1) m j+1 Положим также, что αn := α(1) ⊕α(2), где последовательность {α(1)}⊂ Cm1 ×m1 и удовлетворяn n n n ют условию (6.8), в то время как последовательность {α(2)}⊂ Cm2 ×m2 является произвольной. Тогда: 1. матрица JX,α(D) удовлетворяет условию (6.12); 2. n±(JX,α(D)) = m1; n 3. кроме того, если d(2) n � d(1) при достаточно больших n и выполнено условие (6.11), то каждое самосопряженное расширение оператора JX,α(D) имеет дискретный спектр. Доказательство извлекается из теоремы 6.4, теста Карлемана (2.1) и теоремы 5.3. Наконец, следуя [8, 10], рассмотрим еще одно приложение теоремы 6.5 (и утверждения 6.2). X,β Утверждение 6.9 (см. [8, 10]). Пусть Jt c (D)(∈ JX,β (D, m1)) - блочная матрица Якоби с t элементами βn = -dnIm1 и dn = √ (n+1) n2 +1 , n � 1. Пусть m = m1 + m2, и пусть J�X,β (D) - (1) (2) блочная матрица Якоби с m × m-элементами Bn = Bn ⊕ Bn , ⎧ c = (1) Bn ⎨ dj+1 Im1 , n = 2j, c ⎩√dj+1 dj+2 Im1 , n = 2j + 1, = (2) Bn √ 2Im2 , An = Om. X,β Тогда n±(J�t X,β (D)) = n±(Jt (D)) = m1. Интересно отметить, что блочная матрица Якоби J� t X,β (D), построенная в утверждении 6.9, незначительно отличается от матрицы Якоби JDyuk, построенной в теореме 4.2 Дюкаревым [17] в X,β рамках совершенно другого подхода. В частности, имеем n±(JDyuk) = n±(J�t (D)) = m1. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 251 Замечание 6.6. Еще одно утверждение о промежуточных индексах дефекта блочных матриц Якоби может быть найдено в [8, утверждение 2] и [10, раздел 8]. Приложения матриц Якоби J(1) (H) и J(2) (H) к операторам Шредингера с δ-взаимодействиями X,α X,α можно найтив работах [20-22] (скалярный случай, m = 1) и работах [7, 9, 10, 23] (случай m> 1). Приложения матриц Якоби JX,α(D) и JX,β (D) к операторам Дирака с δ-взаимодействиями содержатся в работах [12] (m = 1) и [8-11] (матричный случай, m> 1). Отметим также, что в работе [29] матрицы Якоби применяются к исследованию индексов дефекта дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами.