ANALYSIS OF THE EDGE EFFECT OF SHEAR STRESSES IN THE SHIFT OF A TWO-LAYER BEAM

Cover Page

Abstract


The paper presents a system of resolving equations describing the stress-strain state of multilayer beams and allowing solving a wide range of problems, such as shear, bending, and normal separation for any number of layers. For each of the layers, hypotheses similar to the Kirchhoff - Love hypotheses are introduced. In the proposed model, the layers interact with a contact layer. The contact layer is an anisotropic medium, which can be considered as a “brush” of elastic short rods. For simplicity, it is assumed that the rods are oriented normally to the contact surface. The use of a contact layer allows such problems as infinite tangential stresses at the interface between the layers near the end of the beam and also to solve the problem of determining the concentration of the shearing stresses occurring at the boundaries between the layers and in the corner points, their variation, for example, in the creep process. The main feature of the proposed model is strict satisfaction of the boundary conditions. In view of the complexity of the resolving system of equations, we consider, as an example, the problem of shearing the layers of a double-layer beam. An analytical solution is obtained that allows qualitative analysis of the influence of mechanical and geometric characteristics on the stress-strain state of the design model, calculate the true adhesive strength, and determine the physical characteristics of the contact layer on the basis of experimental data. A numerical example is given for calculating a beam in two variants of model loading, on the basis of which a relationship was established between the true and average adhesive strength, depending on various parameters.


1. Вывод разрешающих уравнений Модель многослойной балки, состоящей из набора внешних и контактных слоев приведена на рис. 1. напряжения в примыкающих контактных слоях. Здесь и далее все величины, относящиеся к контактному слою, будем помечать символом *. В работе [1] используется одномерная модель контактного слоя. Подобная модель не позволяет полностью удовлетворить все граничные условия. В данной работе мы будем использовать двухмерную модель, представленную в работе [8]. Напряжения (нормальные и касательные) в контактном слое при этом определяются из следующих уравнений: ï * (h* )2 2 * ü Рис. 1. Многослойная балка с контактными слоями [Fig. 1. Multilayer beam with contact layers] t t k = k d k + ï ï G * 12 E * dx 2 ï k k æ * * ö ï ÷ ) В работах [1] и [7] была получена система § 1 ç d v t , k d v b , k + - 1 (u * ; - u * ï (3) разрешающих уравнений для многослойной балки. Выпишем часть данной системы для внешних ç ÷ h 2 ç dx dx ÷ * è ø k t , k b , k ý ï ï слоев. * s* = - y* d t k E * § k (v * ï - v * ). ï d 2 N x dPt, k dPb ü , ; h k k dx * k t , k b , k ï ï þ k = - x k ï 2 ï dx dx dx æ ö ï ï ý (1) k В уравнения (3) входят: h* - толщина контактd 4v h ç dPt * * dPb ÷ b -Dk k + k x, k + x, k = Pt , k - Py, k .ï ного слоя; Gk § модуль сдвига; Ek § модуль Юнdx4 2 ç га; v , v dx dx ÷ y ç ÷ ï è ø þ * * t,k b,k - нормальные перемещения на верх- Уравнения описывают напряженно-деформированное состояние k-того внешнего слоя балки. ней и нижней гранях контактного слоя (представляют собой нормальные перемещения при- * * Предполагается, что внешние слои подчиняются мыкающих внешних слоев); ut,k , ub,k - осевые классическим гипотезам теории пластин. В уравнения входят следующие величины: k - перемещения (выражения записаны далее в тексте); * yk - переменная, отсчитываемая от средней номер внешнего слоя; hk § толщина слоя; Dk - линии контактного слоя. интегральная изгибная жесткость; Nk § продоль- В качестве примера рассмотрим балку, предная сила; vk § прогиб слоя; Py ,k , Py ,k § нормальставленную двумя «внешними» слоями и одним t b контактным слоем. Общий вид данной балки t b ные нагрузки; Px,k , Px,k - касательные нагрузки; t, b - индексы, обозначающие верхнюю и нижнюю поверхность слоя соответственно. В общем случае силы, действующие на внешний слой представляют собой сумму нагрузок, приложенных к слою, и усилий, возникающих в контактных слоях. приведен на рис. 2. t , = t + s* ; y, k = k + s* 1;ü Py k qk k Pb qb k + ï * * ý (2) Рис. 2. Двухслойная балка Px k = sk + tk Pb k = sb + tk ï [Fig. 2. Two-layer beam] t, t ; x, k +1. þ k k k k В выражениях qt ; qb ; st ; sb - внешние нагруз- Подставим k = 0, 1 в уравнения (1) и k = 1 в уравнения (3). В результате получим разрешаки, s ; s ; t ; t * * * * k k+1 k k+1 § нормальные и касательные ющую систему для двухслойной балки. d 2 N dPt dPb ü В работе [1] получены следующие соотношения: 0 = x,0 - x,0 ; ï * ü dx2 dx dx ï dut,1 h d 2v N0 + N f , 0 h d 2v ï =e - 0 0 = - 0 0 ; ï d 4v h æ dPt dPb ö b ï dx 0, 0 2 dx2 B0 2 dx2 ï -D0 0 + 0 ç x,0 + x,0 ÷ = Pt , 0 - P , 0;ï ï dx4 2 ç dx dx ÷ y y ï du* h d v N + N ï h d v ç ÷ 2 2 è ø ï b,1 =e + 2 1 1 = 1 f ,1 + 1 1 ï (7) d 2 N dPt ï dPb ï dx 0,1 2 dx2 ; ý B1 2 dx ï 1 = x,1 - x,1 ; ï ï Ekh dx2 dx dx ï ï Bk = Ekhk ; Dk = 3 k ; N f,k = Ek hk 2 ò ï e f,kdyk .ï d 4v h æ dPt dPb ö b ï 12 - ï -D1 1 + 1 ç x,1 + x,1 ÷ = Pt ,1 - P ,1; ï hk 2 dx4 2 ç dx dx ÷ y y ý (4) þ ç ÷ è ø ( *)2 ï ï ï Bk Величины, приведенные в уравнениях (5) и (7): - интегральная жесткость при растяжении; Ek - t* h d 2t* * = + G 12E* dx2 ï ï модуль Юнга внешнего слоя; ï N fk - осевые силы, + 1 æ dv0 + dv1 ö - ï 1 (u* - u*); ï связанные с вынужденными деформациями (температурными, усадочными и т.д.). e f ,k è ø h 2 ç dx dx ÷ * t b ï ï * * ï s* = - y* d t - E v -v ï В дальнейшем будем считать, что вынужденные деформации вызваны температурой. В этом случае * 0 1 ( ). ï dx h ï þ e f ,k = ak DTk ; N f ,k = Ekhk ak DTk . (8) Входящие в данную систему величины записаны ниже: * * * ü Из рис. 2 следует связь между продольными усилиями во внешних слоях и приложенными продольными нагрузками. ,0 0; y,0 t t ( 2); , 0 0; x,0 ; Py = q Pb = s - h Px = s Pb = t ï ï N0 + N1 = P1 + P3 ; N0 + N1 = P2 + P4 . (9) t,1 ( 2); y,1 1; t,1 ; x,1 1; Складывая между собой выражения (9), найдем * * * ï Py =s h Pb = q Px = t Pb = s ý (5) ï * = - h dv * = + h dv ï N 1 = F - N0; ü ut u0, 0 0 0 ; ub u0,1 1 1 . ï P ï (10) 2 dx 2 dx þ ý F = 1 (P + P + P + P ).ï Здесь u0,k - перемещения внешнего слоя на уровне нейтральной оси. Индекс 1 для величин, относящихся к контактному слою, опущен. Подставляя (5) в (4), получим: P 2 1 2 3 4 þ В любом случае для обеспечения статического равновесия должно выполняться соотношение P1 + P3 = P2 + P4 . d 2 N0 d t* ; ü Продифференцировав пятое уравнение из (6), ï =- ï получим: d 4v dx2 dx ï h d t* * * ï 2 * G* (h*) 3 * * æ d 2v d 2v ö -D0 0 + 0 = q0 - s (- h 2); ï d t = d t + G ç 0 + 1 ÷ dx4 2 dx ï dx * 3 2 ç 2 2 ÷ ï 2 * ï 12E dx è dx dx ø d N1 = d t ; ï * æ * * ö dx2 dx b ï - G ç dut du - ÷. (11) d 4v ï h d t* * * ïï h § ç dx dx ÷ è ø -D1 1 + 1 = s (h 2)- q1; ý (6) dx4 2 dx ï Используя первое и второе соотношения (7), ï преобразуем (11): ( *)2 ï ï t* h d 2t* * = * + ï G*(h*)2 3 * * * éd2v æ h ö d2v æ h öù G 12E dx2 ï d t dt G ê 0 0 1 1 ú v æ v æ - + ï * 3 dx 2 ê 2 çç1+ *÷÷+ 2 çç1+ *÷÷ - 0 1 1 ( + 1 éd 0 h ö d 1 + + h öù 1 * 1 + - u ï - u );ï 12E dx dx è h ø dx è h øú ê ç ÷ ç ÷ú ë û (12) 2 ê dx ç h* ÷ dx ç h* ÷ 0, 0 0,1 h ë è ø è øúû ï * * ï G* æN0 + Nf ,0 - ç N1+ Nf ,1ö - ÷ = 0. * s* = - y* d t - E v -v ï § ç B B ÷ ( 0 1). dx h ïþ h è 0 1 ø Используем первое уравнение (6), получим: В результате из разрешающей системы (15) остается только одно уравнение. G* (h*)2 4 2 * æ ö d N0 d N0 N G ç 1 1 ÷ * ( * ) 2 4 2 - + + + G h d N d N * æ ö 12 * 4 2 0 * ç 0 1 ÷ 0 - 0 + N G 1 + 1 + E dx dx h è B B ø ç ÷ 12 * 4 2 0 * ç 0 1 ÷ G* æ N f ,0 F + N f ,1 ö E dx dx h è B B ø + ç - P ÷ - § æ N F + N ö h* ç B B ÷ § G ç f ,0 - P f ,1 ÷ = 0. (16) è 0 1 ø h § ç B B ÷ è 0 1 ø G* é d 2v æ h ö d 2v æ h öù (13) - ê 0 ç1 + 0 ÷ + 1 ç1 + 1 ÷ú = 0. Запишем (16) в более компактном виде: 2 ê dx2 ç h* ÷ dx2 ç h* ÷ú ëê è ø è øúû 0 d 4 N d 2 N - 2w 0 + l2 N0 + h = 0, (17) Преобразовывая шестое уравнение из (6) и используя первое, находим dx4 dx2 1 2 * * d 2 N E* é ù § = y 0 - (v0 - 1). 6E* ê12E* 1 1 ú v (14) ê æ ö dx2 h* где w= ; l = ç + ÷ú ; 2 3 ç 0 1 ÷ * * ê * è B B øú Окончательно разрешающая система уравне- G (h ) ê(h ) ú ë û ний примет вид § æ N F + N ö ü h= 12E ç f ,0 - P f ,1 ÷. (18) ï h* 3 ç B0 B1 ÷ d 4v d 2N æ h h* ö ï ( ) è ø - D 0 - 0 ç 0 - ÷ = ï 0 dx4 = q ï dx2 E* * § v ç 2 2 ÷ è ø ï ï ï -v ï Общее решение уравнения (17) представляется в виде 0 ( 0 1); h N = - h + C exp (y x) + C exp (-y x) + d 4v d 2N ï æ h h* ö ï 0 l2 1 1 2 1 -D 1 - 0 ç 1 + ÷ = ï 1 dx4 ï dx2 ç 2 2 ÷ è ø ï + C3 exp(y2x) + C4 exp(-y2x), (19) E* =- (v0 v 1) - q ; ï ý (15) где Ci § неизвестные интегрирования, определяh* 1 ï емые из граничных условий; yi § корни характе- G* (h*)2 4 2 ï * æ ö ï ристического уравнения y4 - 2wy2 + l2 = 0 . Ниже d N0 d N0 N G ç 1 1 ÷ ï приведены данные корни: - + + + 12 * 4 2 0 * ç 0 1 ÷ ï E dx dx h è B B ø ï 1 2 1 2 G* æ N f ,0 F + N f ,1 ö ï 1 ( ) 2 ( ) ï + ç - P ÷ - ï y = w + w2 - l2 ; y = w - w2 - l2 . (20) h § ç B B ÷ è 0 1 ø ï ï Укажем граничные условия для определения неизвестных констант интегрирования G* é d 2v æ h ö d 2v æ h öù ï - ê 0 ç1 + 0 ÷ + 1 ç1 + 1 ÷ú = 0. ï 2 ê dx2 ç h* ÷ dx2 ç h* ÷ú ï N æ - l ö = P ; d é N æ - l öù = -t* æ - l ö = 0;ü ëê è ø è øûú þï 0 ç 2 ÷ 1 dx ê 0 ç 2 ÷ú ç 2 ÷ ï è ø ë è øû è ø ï ý (21) С использованием системы уравнений (15) N æ l ö = P ; d é N æ l öù = -t* æ l ö = 0. ï также решена задача о нормальном отрыве слоистого композита [3], [6]. 0 2 ë 2 dx ç ÷ ê è ø 0 2 2 ï ç ÷ú ç ÷ è øû è ø þ 2. Соединение внахлестку При рассмотрении подобной задачи можно пренебречь вертикальными перемещениями слоев. Данное пренебрежение оправданно ввиду малой гибкости используемых образцов. Общее решение, полученное из данных граничных условий, весьма громоздко, поэтому здесь не приведено. Далее будем рассматривать два варианта загружения в соответствии с рис. 3. Дополнительные варианты нагружения модели представлены в [5]. На рис. 7 и далее представлена серия графиков, отражающих соотношение между истинной и средней адгезионной прочностью. Рис. 3. Вариант приложения нагрузки 1 (а), вариант приложения нагрузки 2 (б) [Fig. 3. Load application variant 1 (a), load application variant 2 (б)] Для анализа влияния геометрических и физико-механических характеристик на напряженно-деформированное состояние модели будем использовать эталонные значения: h0 = 10 мм; h1 = 10 мм; h* = 1 мм; l = 100 мм; 0 E = 2 ×105 МПа; Рис. 6. Касательные напряжения в контактном слое [Fig. 6. Tangential stresses in the contact layer] 1 E = 2 ×105 МПа; E* = 103 МПа; P = 1 кН/мм. Результаты вычисления продольных сил и касательных напряжений для эталонных параметров модели приведены ниже. Рис. 7. Соотношение между истинной и средней адгезионной прочностью в зависимости от длины склейки [Fig. 7. The ratio between the true and average adhesion strength, depending on the length of the gluing] Рис. 4. Продольные усилия во внешних слоях (вариант нагружения 1) [Fig. 4. Longitudinal forces in the outer layers (loading option 1)] Рис. 5. Продольные усилия во внешних слоях (вариант нагружения 2) [Fig. 5. Longitudinal forces in the outer layers (loading option 2)] На рис. 6 можно увидеть краевой эффект, возникающий в контактном слое в узкой зоне. При испытании образцов на сдвиг адгезионная прочность вычисляется как разрушающая нагрузка, деленная на площадь склейки. Величину, полученную таким образом, правильнее называть средней прочностью (τmid). Истинной адгезионной прочностью является максимальная величина касательных напряжений τmax в момент разрушения [2]. Рис. 8. Графики зависимостей истиной и адгезионной прочности от длины склейки [Fig. 8. Graphs of dependencies of true and adhesive strength on the length of the gluing] Рис. 9. Графики зависимостей истинной и адгезионной прочности от модуля Юнга контактного слоя [Fig. 9. Graphs of dependencies of the true and adhesive strength on the Young's modulus of the contact layer] Рис. 10. Графики зависимостей истинной и адгезионной прочности от толщины контактного слоя [Fig. 10. Graphs of dependencies of the true and adhesive strength on the thickness of the contact layer] Рис. 11. Графики зависимостей истиной и адгезионной прочности от соотношения модулей Юнга внешних слоев [Fig. 11. Graphs of the dependences of the true and adhesive strength on the ratio of Young's modules of the “outer” layers] Как видим, с увеличением длины склейки отношение истиной адгезионной прочности к средней увеличивается. Начиная с некоторого значения, данные зависимости имеют линейный характер. Это связано с тем, что увеличение длины склейки перестает влиять на максимальное значение касательных напряжений. При малых размерах истинная прочность практически совпадает со средней прочностью. ванием контактного слоя отражает влияние многих факторов на прочность и позволяет качественно и количественно анализировать данное влияние.

V I Andreev

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU)

Author for correspondence.
Email: asv@mgsu.ru
26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

Full Member of the Russian Academy of Architecture and Building Sciences, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Strength of Materials Department, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University). He published more than 350 scientific articles, 4 monographs, 8 textbooks and teaching aids. Research interests: structural mechanics, solid mechanics, mechanics of heterogeneous bodies, mechanics of polymers and composites

N Yu Tsybin

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU)

Email: science@nikitatsybin.ru
26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

Graduate Student of the Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University). He published 15 scientific articles. Theme of the dissertation “Calculation of layered structures with using a contact layer model”. Research interests: solid mechanics, mechanics of heterogeneous bodies, mechanics of polymers and composites

R A Turusov

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU)

Email: rob-turusov@yandex.ru
26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University). He published near 200 scientific articles, 4 monographs. Research interests: solid mechanics, physics and mechanics of composites and polymers

  • Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. (2016). Opredelenie napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya trekhsloinoi balki s primeneniem metoda kontaktnogo sloya [Determination of the stress-strain state of a threelayer beam using the contact layer method]. Vestnik MGSU, No 4, 17–26. (In Russ.)
  • Turusov R.A., Manevich L.I. (2009). Metod kontaktnogo sloya v adgezionnoi mekhanike [The contact layer method in adhesion mechanics]. Klei. Germetiki. Tekhnologii [Adhesives. Sealants. Technologies], No 6, 2–11. (In Russ.)
  • Tsybin N.Yu., Turusov R.A., Andreev V.I. (2016). Comparison of creep in a free polymer rod and creep in a polymer layer of the layered composite. Procedia Engineering, No 153, 51–58.
  • Turusov R.A. (2017). Adgeziya i adgezionnaya mekhanika [Adhesion and adhesion mechanics]. Scientific and educational magazine “NBICS-science. Technology”, No 2, 207–222. (In Russ.)
  • Turusov R.A. (2016). Adgezionnaya mekhanika: monografiya [Adhesion mechanics: monograph]. Moscow, 232. (Series “Library of scientific developments and projects”). (In Russ.)
  • Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. (2015). Napryazhennoe sostoyanie sloistogo kompozita pri normal'nom otryve. Ch. 1 [Stress state of a layered composite under normal separation. Part 1]. Scientific Review, No 24, 98–106. (In Russ.)
  • Turusov R.A., Andreev V.I., Tsybin N.Yu. (2017). General solution of bending of multilayer beams in Fourier series. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, No 4, 34–42. (In Russ.)
  • Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. (2017). The contact layer method in calculating of the shear compounds // MATEC Web of Conferences. 26. RSP 2017 – 26th R-S-P Seminar 2017 Theoretical Foundation of Civil Engineering, Vol. 17. https://doi.org/10.1051/matecconf/ 201711700008.

Views

Abstract - 244

PDF (Russian) - 117

PlumX


Copyright (c) 2018 Andreev V.I., Tsybin N.Y., Turusov R.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.