Метод расчетных моделей сопротивления для железобетона

Полный текст

1. Введение Современная механика железобетона является основой повышения надежности и безопасности конструктивных систем зданий и сооружений в условиях новых вызовов. Ее создание стало возможным благодаря новым технологиям экспериментальных исследований железобетонных конструкций. Исследования образования и развития трещин в механике железобетона в России и за рубежом проводятся уже на протяжении более 80 лет [1-9]. За это время разработано множество моделей, связанны с большим числом теоретических и экспериментальных исследований, в числе которых можно отметить работы российских [1; 3; 10-12] и зарубежных [2; 4-9; 13-19] ученых. Однако дальнейшее развитие теории железобетона и механики разрушения связано с получением универсальных полуаналитических моделей, учитывающих большинство экспериментально установленных деформационных и силовых воздействий, таких как «нагельный эффект», эффект нарушения сплошности железобетона и др. Одно из направлений такого подхода представлено в настоящем исследовании. 2. Метод 1. Сближение действительных процессов и физических явлений, полученных в экспериментальных исследованиях, с теорией железобетона строится на основе механики разрушения и расчетных моделей сопротивления железобетона [20-23]: РМС1 - моделирование нормальных трещин, РМС2 - моделирование наклонных трещин, РМС3 - моделирование диагональных трещин, РМС4 - моделирование пересекающихся трещин в стене, РМС4* - моделирование трещин в плоской плите, РМС5 - моделирование пространственных трещин при кручении с изгибом, РМС5* - моделирование пространственных трещин при изгибе с поперечной силой. 2. При построении моделей учитывается введенный нами [20-22] деформационный эффект, характеризующийся воздействием в трещине от реакции «бетон - арматура» (рис. 3) и описываемый в механике разрушения специальным двухконсольным элементом (ДКЭ). 3. Принята следующая классификация трещин на нижней и боковых гранях стержневой железобетонной конструкции: при M > Mcrc, Mt < Mt,crc и Q ≥ Qcrc - первый тип; при M < Mcrc, Mt > Mt,crc и Q > Qcrc и трещины, прилегающие своей вершиной к сосредоточенной силе, - второй тип; при M < Mcrc, Mt < Mt,crc, Q > Qcrc - третий тип. Трещины подразделяются на базовые, межевые и трещины i-х уровней (рис. 5). 4. Раскрытие трещин рассматривается для накопления относительных условных сосредоточенных взаимных смещений εg(x) арматуры и бетона с особыми участками на берегах трещины, где учитывается эффект деформированного воздействия в трещине от реакции «бетон - арматура». Для поверхности пространственных трещин в железобетоне предложен универсальный двухконсольный железобетонный элемент (рис. 6) и получено энергетическое обоснование развития удельной длины трещины. 5. Объединение подконструкций в виде расчетных моделей сопротивления с двухконсольными элементами механики разрушения выполняется методом сил, перемещений и смешанным методом с использованием метода начальных параметров и функций Крылова - Власова (рис. 6). При этом решение дифференциального уравнения получено для линейных комбинаций этих функций или в виде сплайна. В соответствии с принятыми гипотезами для создания наиболее универсальной аналитической теории расчета предложена общая модель для анализа стержневых систем - расчленением их на подконструкции, в виде так называемых физических и расчетных моделей сопротивления разных уровней: РМС1, РМС2, РМС3, РМС4*, РМС5, РМС5*. Построение РМС1 выполнено для различных участков напряженного состояния конструктивной системы зданий и сооружений. В частности, РМС1 - для зоны М > Mcrc, Q < Qcrc; РМС2 - для зоны М > Mcrc; Q ≥ Qcrc; РМС3 - для узловой зоны; РМС4 - для стены; РМС4* - для плиты; РМС5 и РМС5* - для участка пространственных трещин при кручении с изгибом. При этом использованы результаты многолетних экспериментальных исследований для оценки магистральных трещин при определении ширины их раскрытия и неравенства i-го уровня - для определения расстояний между трещинами lcrc,i, жесткости, прочности и устойчивости конструкций (рис. 1) [20-22]. Изображение выглядит как текст, диаграмма, снимок экрана, линия Автоматически созданное описание Рис. 1. Схемы расчетных моделей сопротивления зданий и сооружений с базовыми и смежными, основными трещинами и трещинами i-го уровня: РМС1 - моделирование нормальных трещины; РМС2 - моделирование наклонных трещин; РМС3 - моделирование диагональных трещин; РМС4 - моделирование пересекающихся трещин в стене; РМС4* - моделирование трещин в плоской плите; РМС5 - моделирование пространственных трещин при кручении с изгибом; РМС5* - моделирование пространственных трещин при изгибе с поперечной силой Figure 1. Schemes of calculation models of the resistance of buildings and structures with basic and adjacent, main cracks and cracks of the i-th level: РМС1 - modeling of normal cracks; РМС2 - modeling of oblique cracks; РМС3 - modeling of diagonal cracks; РМС4 - modeling of intersecting cracks in the wall; РМС4* - modeling of cracks in a flat slab; РМС5 - modeling of spatial cracks in torsion with bending; РМС5* - modeling of spatial cracks in bending with a transverse force Изображение выглядит как текст, диаграмма, линия, График Автоматически созданное описание а б 4 Рисунок2d в г Рисунок2ф е Рисунок2ж д ж Рис. 2. Расчетные модели сопротивления: а - РМС1 (нормальные трещины); б - диаграмма зависимости «деформации - напряжения» бетона (εb - Rb); в - график зависимости параметра сопротивления растянутого бетона ψs через деформирования арматуры; г - РМС2 (наклонные трещины); д - дополнительные внутренние усилия ΔM, ΔN и ΔQ относительно оси стержня; е - РМС3 (диагональные трещины); ж - схема консолей в виде «креста» из РМС3 Figure 2. Computational models of resistance: a - РМС1 (normal cracks); б - diagram of the “strain - stress” dependence for concrete (εb - Rb); в - diagram of the dependence of the resistance parameter of tensile concrete ψs through deformations of the reinforcement; г - РМС2 (inclined cracks); д - additional internal forces ΔM, ΔN and ΔQ relatively to the axis of the bar; е - РМС3 (diagonal cracks); ж - scheme of consoles in the form of a “cross” from РМС3 Приведем краткое содержание предложенных расчетных моделей сопротивления. Первая модель сопротивления (РМС1) описывает напряженно-деформированное состояние при образовании в конструкции нормальных трещин. Она получена на основе теории трещинообразования В.И. Мурашева, который соединил трещиностойкость и жесткость элемента через важный параметр сопротивления растянутого бетона ψs и передал этот параметр на деформирование в рабочей арматуре. Современный интегральный параметр деформирования железобетона включают в себя функционал механики разрушения на графике для различных областей напряженного состояния: изгиб, внецентренное сжатие - растяжение и центральное растяжение (рис. 2, в). Вторая расчетная модель сопротивления (РМС2) посвящена исследованию наклонных трещин для установления связи деформирования арматуры и контуров-потоков бетона через замкнутые уравнения (рис. 2, г). Эти аналитические зависимости включены в функцию Лагранжа нескольких перемен- ных Fi при условии равенства нулю частных производных по искомым переменным [20-22]. Физический смысл получаемых таким образом уравнений заключается в определении опасной пространственной трещины из веера нескольких возможных трещин. Здесь также получены дополнительные внутренние усилия ΔM, ΔN и ΔQ, вычисленные относительно продольной оси стержня (рис. 2, е). Функция для определения искомой ширины раскрытия трещин или минимальной нагрузки трещинообразования, соответствующей минимальной прочности или жесткости конструкции, имеет вид (1) Третья расчетная модель сопротивления РМС3 имеет диагональные и другие подобные трещины и определяет параметр ψε для концентрации деформаций через податливость узлов в отличие от жестких узлов, принятых в строительной механике. При этом определение усредненной жесткости выполняется для любых узловых консольных стержней с учетом концентрации деформаций. При определении жесткостных параметров железобетона с трещинами учитывается предложенный в [21] деформационный эффект железобетона, определяемый как воздействие реакции «бетон - арматура» в трещине (рис. 3) и количественно вычисляемый с использованием модели двухконсольного элемента в механике разрушения, связанной с нарушением сплошности железобетона. Параметры ДКЭ определяются на основе следующего функционала: (2) где δV - уменьшение потенциальной энергии тела при продвижении трещины на малое приращение δa; δW - дополнительная работа, совершаемая над телом при продвижении трещины на малое приращение δa от ряда усилий, ΔT, P1, P2, q, Mcon, приложенных к двухконсольному элементу (рис. 6). Перемещения в любых интересующих сечениях ДКЭ (Δ1 … Δi, Δφ, φ1, φ2) определяются методами строительной механики. Для определения податливости ДКЭ от неизвестного X1 = ΔT, … Xn используется функционал (2), определяющий высвобождение удельной энергии при продвижении трещины вглубь тела. Выполнив дифференцирование, после необходимых алгебраических преобразований получим зависимость (функцию), связывающую касательные усилия вблизи трещины ΔT(hcrc, ζτ, εq1el, b, t, ηi) с длиной ее развития hcrc через новую константу бетона ζbu. Определение жесткости элементов с пересекающимися трещинами (рис. 4) производится на основе модели с использованием теории составного стержня. Плосконапряженный железобетонный элемент с трещинами аппроксимируется четырьмя-шестью поперечными полосками шириной . Данная система отличается от традиционной модели В.И. Мурашева тем, что учитывает эффекты нарушения сплошности и деформационное воздействие в трещине. а б Изображение выглядит как зарисовка, диаграмма, рисунок, линия Автоматически созданное описание Изображение выглядит как зарисовка, диаграмма, рисунок, линия Автоматически созданное описание в г Рис. 3. Схемы деформационного эффекта железобетона от воздействия реакции «бетон - арматура» при нарушении сплошности бетона: а - схема усилий в арматурном стержне и НДС бетона в сечениях 1-3; б - эпюра напряжений арматуры σs, σs,j, σs,m; в, г - профиль раскрытия трещин в форме треугольника или эллипсоида соответственно Figure 3. Schemes of the deformation effect in reinforced concrete from the impact of the “concrete - reinforcement” reaction in case of violation of concrete continuity: a - diagram of the forces in the reinforcing bar and the stress-strain conditions of concrete in sections 1-3; б - diagram of stresses σs, σs,j, σs,m in the reinforcing bars; в, г - cracks opening profile in the form of a triangle or an ellipsoid respectively Такой выбор модели железобетонного составного стержня позволяет снизить порядок дифференциальных уравнения составных конструкций А.Р. Ржаницына и существенно уточнить значения постоянных интегрирования при решении задачи сопротивления растянутого бетона с трещинами. Модель позволяет учитывать средние линейные и угловые деформации от сдвига при взаимных смещениях берегов трещин. При этом используется модифицированная система дифференциальных уравнений составных стержней: (3) где (4) (5) Tl, Т1, Т2, Tn - сдвигающие усилия, накапливаемые по длине элемента до рассматриваемого сечения; ∆ - перемещения по заданному направлению; εqm, γb,m - разность средних относительных линейных и угловых деформаций в точке шва; (Eb,1Ab,1)ekv, (Eb,2Ab,2)ekv - эквивалентные жесткости; f(xcrc) - функция, зависящая от высоты сжатой зоны бетона, усредненная на участке между трещинами; ry - кривизна железобетонного составного стержня. Изображение выглядит как текст, диаграмма, линия, снимок экрана Автоматически созданное описание Рис. 4. Модель плосконапряженного железобетонного элемента с наклонными (перекрестными) трещинами для определения жесткости Figure 4. A model of a plane-stressed reinforced concrete element with inclined (cross) cracks for determination of stiffness При определении параметров напряженно-деформированного состояния железобетона конструкции на основе РМС используется предложенная классификация трещин для плоских (РМС4) и про- странственных (РМС5) трещин. Всего выделено три типа характерных трещин: на нижней и боковой грани для стержневого элемента, где M > Mcrc, Mt < Mt,crc и Q ≥ Qcrc - первый тип; M < Mcrc, Mt > Mt,crc и Q > Qcrc и прилегающие своей вершиной к сосредоточенной силе - второй тип; M < Mcrc, Mt < Mt,crc, Q > Qcrc - третий тип. а б Изображение выглядит как снимок экрана, программное обеспечение, Мультимедийное программное обеспечение, текст Автоматически созданное описание в г д Рис. 5. Классификация трещин: а, б - базовые, смежные и трещины для геометрических, силовых, межсредовых и i-х уровней соответственно; в - трещина на нижней и верхней поверхности плит в конверт для модели РМС4*; г - деформационная модель второго уровня; д - модель третьего уровня около арматурной области Figure 5. Classification of cracks: a, б - basic, adjacent and cracks for geometric, force, inter-environment and i-th levels respectively; в - crack on the lower and upper surface of the plates for the РМС4* model; г - deformation model of the second level; д - model of the third level near the reinforcement area Развитие истоков концентрации дискретных магистральных трещин связано с абсолютно новым критерием для железобетона (удельной поверхностью ζbu образования трещин, а также интенсивностью деформаций), в отличие от регулярных трещин, где критерием их образования является достижение главными деформациями (напряжениями) предельных значений. Многоуровневая модель развития базовых и смежных трещин с установлением расстояний между ними построена с помощью специальных моделей - подконструкций второго или i-го уровня. При этом получен новый эффект для трещиностойкости и жесткости в виде деформационного воздействия реакции арматуры и бетона, в форме эллипсоида для альтернативной кинематической трещины из универсального двухконсольного элемента в железобетоне (см. рис. 3). Расчетная модель сопротивления РМС4 (стена) разработана на основе развития концепции дискретных магистральных трещин (геометрической, силовой, межсредовой). Полученная таким образом модель по физическому смыслу является многоуровневой (см. рис. 5). Длина опасной трещины hcrc вычисляется из специального функционала механики разрушения: (6) Расчетная модель РМС4* (плита) моделирует распределение трещин в плите по типу «конверт» (см. рис. 5, в) и используется для определения несущей способности в III стадии напряженно-деформиро- ванного состояния. Расчетные модели сопротивления РМС5, РМС5* используются для определения линейных и угловых деформаций в пространственном сечении сложнонапряженного железобетонного элемента [10; 24]. В них использованы специальные гипотезы: модифицированная гипотеза Бернулли для линейных деформаций, а также предложенная нами гипотеза для определения угловых деформаций в пространственном сечении. Моделирование пространственной трещины двухконсольным элементом для расчета железобетона с трещинами по существу является трансформационным инструментарием, связующим переходным звеном между зависимостями механики твердого деформируемого тела и уравнениями механики разрушения. Такая модель обеспечивает решение проблемы, связанной не только с задачами определения напряженно-деформированного состояния поперечного сечения железобетонного элемента, но и с задачей определения сцепления между арматурой и бетоном, так как появление трещины в сплошном теле можно рассматривать как некоторое деформационное воздействие, отражающееся на особенностях сцепления арматуры и бетона в зонах, прилегающих к трещине. Для реализации зависимостей механики разрушения в железобетоне с пространственными трещинами через i-е оси XiYiZi моделирующей получен универсальный двухконсольный элемент (рис. 6, a, б), моделирующий отрыв, поперечный сдвиг, продольный сдвиг с использованием модели малых полосок и позволяющий моделировать различные виды перемещений шириной Δbi и длиной lt,*. При этом железобетонные конструкции с пространственными трещинами до половины ширины сечения, то есть до нейтральной оси, имеют левые, правые, нижние и верхние элементы соответственно. Защемление арматурного стрежня с обеих сторон двухконсольного элемента (рис. 6, в, г, д) позволяет учитывать раскрытие трещин в зоне накопления относительных условных сосредоточенных взаимных смещений εg(x) арматуры и бетона (на берегах трещины), то есть учитывать эффект реакции «бетон - арматура», после нарушения сплошности бетона и образования эллиптической трещины. При расчете изогнутой оси консолей при действии внешних нагрузок прогибов для перемещений от раскрытия и сдвига берегов трещин δ(acrc) и δ(∆crc) (рис. 6, в) основные параметры внутренних усилий определяются методом начальных параметров, используя традиционные методы строительной механики: метод перемещений, сил, смешанный метод. Основные решения в граничных параметрах для стержней призматической формы (элементы и жесткие узлы рам) находились по различным зависимостям, при этом в качестве активных и пассивных параметров могут использоваться различные методы строительной механики [25]: 1) метод начальных параметров, в котором в качестве активных параметров принимались φ0, M0, Q0. Здесь ; ; B = EJ; в качестве пассивных пара- метров принимались прогибы (υx), углы поворота (φx), изгибающие моменты (Mx); 2) метод сил, где активными параметрами выступали M0, Ml, Q0. Здесь . Пассивными параметрами являлись начальные и про- межуточные значения величин 3) метод деформаций, где активными параметрами принимались , а пассив- ными - M0, Ml, Q0. Рис4 рис 44 а б Изображение выглядит как текст, снимок экрана, программное обеспечение, Мультимедийное программное обеспечение Автоматически созданное описание в г д Рис. 6. Универсальный двухконсольный элемент и модель консоли для реализации зависимостей механики разрушения поверхности с пространственными трещинами в железобетоне: а, б - узлы трещины для отдельной ломаной полоски и модель двухконсольного элемента соответственно; в, г, д - схема нагружения консоли при действии внешних нагрузок и изгиба оси, а также схема прогибов для определения перемещений от раскрытия трещины δ(acrc) и δ(∆crc) соответственно Figure 6. A universal double-console element and a model of a console for implementing the dependencies of the destruction mechanics for the surface with spatial cracks in reinforced concrete: a, б - crack nodes for a separate polyline strip and a model of a double-console element respectively; в, г, д - a scheme of loading the console under the action of external loads and bending of the axis, as well as a scheme of deflections for determining displacements from crack opening δ(acrc) and δ(∆crc) respectively К примеру, при расчете изгибающего момента можно применить следующую зависимость (см. рис. 6, б): (7) В методе расчетных моделей сопротивления для статически неопределимых систем зданий и сооружений в сочетании с методом начальных параметров используются функции Крылова - Власова: (8) Общее решение уравнения (8) выражается как линейная комбинация четырех функций: (9) где Особую эффективность применение метода расчетных моделей сопротивления имеет при проектировании зданий и сооружений в сложных инженерно-геологических условиях [24]. Для деформируемого основания перемещение в i-й связи основания описывается сплайном: (10) где Ri, ki и yi - усилие и погонные жесткости соответственно в i-й связи основания. 3. Результаты В качестве примера рассмотрим результаты применения эволюционного метода расчетной модели сопротивления для статически неопределимых конструктивных систем зданий и сооружений при расчете переходящих типов трещин, их раскрытия - закрытия (рис. 7 и 8, таблица). При проведении исследований таких балочных систем получены графики зависимости изгибающего момента от кривизны M-χ и величины модуля силового воздействия от прогибов продольной арматуры ql-fs (рис. 7). Точки, нанесенные на графиках, обозначены цифрой с индексом, где цифра - это номер сечения, а индекс - номер зависимости M-χ в сечении 2 согласно рис. 7, а, характеризующей максимум ql. В таблице представлены числовые значения для характерных точек графиков рис. 7. Здесь варьируются как номер сечения, принимаемого в качестве базового, так и номер зависимости M-χ, используемой в сечении 2. С использованием метода РМС построены расчетные модели стены здания для определения усилий в связях растяжения (сжатия) горизонтальных и вертикальных стыков, применимые для зданий, возводимых в сложных инженерно-геологических условиях [24]. Система здания разбивается на отдельные отсеки, моделируемые отдельными элементами матрицы жесткости для физических, статических и геометрических уравнений (рис. 9), где n - общее количество отсеков; k - свернутые уровни растянутой арматуры, сжатой арматуры, хомутов с нормальными трещинами и хомутов с наклонными трещинами; j = 1-6 поперечных сечений. Изображение выглядит как текст, диаграмма, карта, снимок экрана Автоматически созданное описание Изображение выглядит как текст, диаграмма, линия, График Автоматически созданное описание а б Рис. 7. Графики зависимостей M-χ (а) и ql-fs (б): І, ІІ, ІІІ - зависимости M-χ для зоны чистого и зоны поперечного изгиба при отсутствии наклонных трещин и зоны поперечного изгиба при наличии наклонных трещин соответственно; 1, 2, 3, 4, 5, 6 - зависимости ql-fs для s = 3 и зависимости I в сечении 2, для s = 2 и зависимости I в сечении 2, для s = 3 и зависимости II в сечении 2, для s = 2 и зависимости II в сечении 2, для s = 3 и зависимости III в сечении 2, при s = 2 и зависимости III в сечении 2 для s = 3 соответственно Figure 7. Graphs of dependences M-χ (а) and ql-fs (б): І, II, III - dependences M-χ for the zone of pure and transverse bending in the absence of oblique cracks and the zone of transverse bending in the presence of oblique cracks respectively; 1, 2, 3, 4, 5, 6 - dependencies ql-fs for s = 3 and dependency I in section 2, for s = 2 and dependency I in section 2, for s = 3 and dependency II in section 2, for s = 2 and dependence II in section 2, for s= 3 and dependence III in section 2, at s = 2 and dependence III in section 2 for s = 3 respectively Числовые значения характерных точек графиков зависимостей M-χ и ql-fs для зоны чистого и поперечного изгиба / Numerical values of characteristic points of M-χ and ql-fs curves for pure and transverse bending zones М-χ χbR·105, см-1 cm-1 MbR, кН·м kN·m χbU·105, см-1 cm-1 MbR, кН∙м kN·m Самое невыгодное сечение S / The most disadvantageous cross-section S χs,qlmax·105, см-1 cm-1 Ms,ql,max, кН∙м kN·m χi,qlmax·105, см-1 cm-1 Mi,qlmax, кН∙м kN·m ql-fs qlmax, кН kN fs,qlmax, мм mm I 14,85 11 400 20,30 11 010 3 14,85 11 400 5,62 6100 1 585 7,4 2 14,85 11 400 78,00 6150 2 1270 43,2 II 10,83 8450 11,75 8360 3 20,30 11 010 7,80 7500 3 645 12,7 2 10,83 8450 23,03 10 800 4 835 13,3 III 10,83 5910 11,75 5850 3 14,85 11 400 13,58 5700 5 635 13,8 2 10,83 5910 10,75 10 200 6 588 10,1 Изображение выглядит как текст, программное обеспечение, диаграмма, линия Автоматически созданное описание Изображение выглядит как текст, программное обеспечение, диаграмма, Мультимедийное программное обеспечение Автоматически созданное описание Рис. 8. Общий вид зависиммости модуля силового (деформационного) воздействия от прогиба Figure 8. General form of dependence of the modulus of force (deformation) effect on deflection Рис. 9. Общая схема расчетной модели сопротивления стены здания Figure 9. General scheme of the computational model of the resistance of the building wall 4. Заключение 1. Опираясь на многолетние экспериментальные исследования железобетонных конструкций с магистральными нормальными, наклонными, пересекающимися и пространственными трещинами, получены аналитические решения для ширины раскрытия трещин, параметров жесткости, прочности и опорной устойчивости на принципах теории пластичности бетона и железобетона, в том числе зависимости механики разрушения. Сближение физических явлений и действительных процессов деформирования железобетона достигнуто посредством моделей сопротивления железобетона: РМС1 - для нормальных трещин, РМС2 - для наклонных трещин, РМС3 - для диагональных трещин, РМС4 - для плосконапряженных элементов, РМС4* - для изгибаемых плит и РМС5 - для пространственных трещин при кручении с изгибом, РМС5* - для пространственных трещин при изгибе с поперечной силой. 2. Предложена классификация трещин железобетонных конструкций, которая включает базовые, межевые и уровневые трещины и истоки их концентрации. В теории сопротивления железобетона построена уровневая иерархия расчетных моделей второго и третьего уровней. При этом вторая модель для на- клонных трещин получена с использованием функции Лагранжа нескольких переменных из условия равенства нулю ее частных производных. Физический смысл уравнения этой модели заключается в определении опасной пространственной трещины из веера нескольких наклонных трещин. 3. В моделях сопротивления железобетона учитывается деформационный эффект в момент образования трещины в виде дополнительного деформационного воздействия реакции «бетон - арматура», моделируемого двухконсольным элементом. Универсальный двухконсольный железобетонный элемент получен для поверхности пространственных трещин в железобетоне при критерии удельной длины трещины. Построены модели деформирования поперечных сечений для различных моделей сопротивле- ния (РМС1-5). При этом для моделей РМС5 и РМС5* приняты новые гипотезы для линейных и угловых деформаций, учитывающие депланацию сечений, а также градиенты деформаций в трещинах.

Об авторах

Владимир Иванович Колчунов

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет; Научно-исследовательский институт строительной физики Российской академии архитектуры и строительных наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: vlik52@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5075-1134

доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН, кафедра инженерной графики и компьютерного моделирования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет; главный научный сотрудник, Научно-исследовательский институт строительной физики, Российская академия архитектуры и строительных наук

Москва, Российская Федерация

Список литературы