Оптимизация формы трехгранных решетчатых опор по критерию устойчивости

Полный текст

Введение Решетчатые башенные сооружения широко применяются в практике возведения стальных опор линий электропередач [1-5], опор ветрогенераторов [6-10], опор для размещения светосигнального оборудования [11]. При этом опоры с трехгранным поперечным сечением являются более экономичными, чем четырехгранные [12; 13]. В [14-16] показывается, что экономическая эффективность башенных сооружений существенно зависит от их геометрии, а также формы и размеров поперечного сечения элементов. В [17] выполняется оптимизация таких геометрических параметров башни, как угол наклона решетки и ее ширина. При этом ширина башни по высоте остается постоянной, однако целесообразно ее уменьшение к вершине. В [18] производится поиск оптимальной формы поперечного сечения поясов трехгранной решетчатой башни, но не затрагиваются вопросы оптимизации геометрии самой башни. Целью настоящей работы является разработка методики оптимизации трехгранных решетчатых опор, в которой в качестве варьируемых величин будут выступать геометрические параметры сооружения, включая его ширину и высоту панелей, а также размеры поперечных сечений элементов. Материалы и методы Рассматривается трехгранная решетчатая башня, ширина которой меняется по высоте (рис. 1). Поперечное сечение элементов поясов и решетки - круглые трубы. В качестве варьируемых параметров выступают ширины Bi, а также наружные диаметры поперечного сечения поясов Dp, наклонных элементов решетки Dr и горизонтальных элементов решетки Dh. Вводится ограничение на постоянство массы. Высота всей опоры постоянна и равна H, количество панелей также постоянно и равно n, высота каждой панели Hi варьируется, но вводится ограничение ƩHi = H. Нагрузка представлена горизонтальной сосредоточенной силой на вершине башни, которая моделирует расположенную наверху ветроэнергетическую установку. Направление силы F определяется углом α. Задача оптимизации решается при фиксированном α. Закрепление узлов башни в основании - шарнирно-неподвижное. В качестве целевой функции выступает величина критической нагрузки F, которая должна достигнуть максимума при неизменной массе сооружения. Вид сверху Top view Рис. 1. Расчетная схема башни Figure 1. Calculation scheme of the tower Рис. 2. Зависимость минимальной толщины стенки круглой трубы от наружного диаметра в соответствии с ГОСТ 8732-78 Figure 2. Dependence of the minimum wall thickness of a round pipe on the outer diameter in accordance with GOST 8732-78 Рис. 3. Используемый конечный элемент Figure 3. Finite element used При оптимизации по критерию общей устойчивости на величину критической нагрузки существенно влияет момент инерции поперечных сечений. В случае круглых труб осевой момент инерции принимает максимальное значение при максимальном внешнем диаметре и минимальной толщине стенки. В сортаменте круглых труб наружный диаметр меняется не непрерывно, а дискретно, что делает невозможным применение при решении задачи оптимизации градиентных методов. Для возможности их использования будем считать, что наружный диаметр трубы - величина непрерывная. Минимальная толщина стенки t круглых труб зависит от наружного диаметра. График этой зависимости, построенный по ГОСТ 8732-78, показан на рис. 2. Данный график хорошо аппроксимируется линейной функцией, уравнение которой также приведено на рис. 2. Решение задачи оптимизации выполняется в среде MATLAB. Для определения критической нагрузки подготовлена целевая функция, входными параметрами которой выступают размеры Bi, высоты панелей Hi и наружные диаметры поперечного сечения Dp, Dr, Dh. Вычисление критической нагрузки выполняется при помощи разработанной авторами подпрограммы в MATLAB методом конечных элементов. Используются пространственные стержневые КЭ с шестью степенями свободы в узле (рис. 3). Локальная матрица жесткости данного КЭ имеет вид (1) где G - модуль сдвига материала; Iy и Iz осевые моменты инерции; Iк - момент инерции при кручении. Верхний треугольник матрицы жесткости здесь симметричен нижнему относительно главной диагонали и условно не показан. Анализ устойчивости конструкций выполняется в линейной постановке из условия (2) где [Kг] - геометрическая матрица жесткости; λ - параметр, показывающий отношение критической нагрузки к действующей. При определении геометрической матрицы жесткости учитывается потеря устойчивости только от продольных сил. Потеря устойчивости от изгибающих моментов (потеря устойчивости плоской формы изгиба) и от крутящих моментов не учитывается. В этом случае локальная геометрическая матрица жесткости записывается в виде (3) где N - продольная сила в элементе. Переход из локальной в глобальную систему координат осуществляется тремя поворотами при помощи матрицы [L] по формуле (4) где - матрица жесткости элемента в локальной системе координат; - матрица жесткости элемента в глобальной системе координат. Матрица [L] записывается в виде (5) где , γ - угол чистого вращения (угол между осями и y или и z при совпадении осей x и ), и ( ) - координаты узлов конечного элемента. При определении критической нагрузки каждый стержень башни разбивается по длине на десять конечных элементов. Для решения задач нелинейной оптимизации нами использованы модули Optimization Toolbox и Global Optimization Toolbox среды MATLAB. В пакете Optimization Toolbox применяется функция fmincon, которая находит локальный минимум нелинейной целевой функции нескольких переменных f(x) с ограничениями: (6) где x - вектор, содержащий варьируемые параметры; A и Aeq представляют собой матрицы; c(x) и ceq(x) - нелинейные функции нескольких переменных, возвращающие скаляр; lb и ub - нижние и верхние границы для варьируемых переменных соответственно. Функция fmincon позволяет выбирать один из нескольких доступных алгоритмов решения задачи нелинейной оптимизации. Нами используется метод внутренней точки, с которым подробно можно ознакомиться в [19]. Алгоритмы, заложенные в Optimization Toolbox, позволяют найти локальный минимум в бассейне притяжения, которому принадлежит начальная точка поиска[14]. Если целевая функция имеет несколько локальных минимумов, то для нахождения глобального минимума необходимо найти начальную точку в бассейне притяжения глобального минимума. Для этого используются заложенные в Global Optimization Toolbox функции, генерирующие случайные начальные точки в пределах границ lb и ub. Большинство методов нелинейной оптимизации, включая метод внутренней точки, используют для поиска оптимальной точки информацию о градиенте целевой функции либо о ее частных производных высших порядков. Существуют методы оптимизации, не требующие вычисления градиента. Нами применяются два таких метода - метод шаблонного поиска и генетический алгоритм. Суть метода шаблонного поиска состоит в следующем: формируется набор точек вокруг текущей точки, называемый сетью и ищется такая точка, в которой значение ниже, чем в текущей точке. Сеть формируется путем сложения координат текущей точки с произведением набора векторов, называемого шаблоном, на скаляр, называемый размером сети. Если алгоритм находит точку, в которой значение целевой функции лучше, чем в текущей, она становится текущей на следующем шаге. Набор векторов (шаблон) может быть фиксированным либо случайно генерируемым. Подробно выбор шаблона описывается в [20]. В пакете Global Optimization Toolbox этот метод реализован в функции patternsearch. Метод шаблонного поиска, как и большинство классических методов, на каждой итерации генерирует единственную точку. Генетический алгоритм в отличие от классических подходов создает совокупность точек на каждой итерации. Лучшая точка в популяции приближается к оптимальному решению. Данный алгоритм использует четыре основных типа правил на каждом этапе для создания следующего поколения из текущей популяции: наследование, отбор, скрещивание и мутации, имитируя естественный отбор в природе. Подробное описание алгоритма и примеры его использования в задачах оптимизации строительных конструкций представлены в [21-23]. В пакете Global Optimization Toolbox этот метод реализован в функции ga. Результаты и обсуждение В качестве начального приближения нами принималась башня постоянной ширины B = 5 м с одинаковыми высотами панелей Hi = 4 м общей высотой H = 40 м. Поперечное сечение поясов в начальном приближении - круглые трубы с наружным диаметром 127 мм, решетка - круглые трубы с наружным диаметром 76 мм. Толщины стенок, вычисленные по формуле на рис. 2: 4,1 и 3,3 мм соответственно. Угол α, определяющий направление сосредоточенной силы, принимался равным нулю. Критическая нагрузка для такой конструкции составила 53,2 кН. Форма потери устойчивости приведена на рис. 4. Из представленного рисунка видно, что для башни постоянной ширины потеря устойчивости происходит в наиболее нагруженных сжатых элементах пояса. Коэффициент 53,4362 Coefficient 53.4362 Рис. 4. Форма потери устойчивости башни постоянной ширины, полученная в авторской программе Figure 4. The buckling form of a tower of constant width, obtained in the author's program Рис. 5. Форма потери устойчивости башни постоянной ширины, полученная в ПК ЛИРА-САПР Figure 5. The buckling form of the tower of constant width, obtained in the LIRA-SAPR software Для контроля правильности вычисления критической нагрузки в разработанной авторами программе модель башни экспортировалась в программный комплекс ЛИРА-САПР. Для передачи в ПК ЛИРА автоматически генерировался текстовый файл с исходными данными в принятом для данного расчетного комплекса формате. При расчете в ПК ЛИРА-САПР критическая нагрузка составила 53,4 кН, что незначительно отличается от авторского решения (рис. 5). Верхние и нижние границы ub и lb для варьируемых параметров при решении задачи оптимизации представлены в таблице. При проектировании реальных конструкций верхняя граница параметров Bi может быть ограничена площадью участка, на котором размещается сооружение, а нижняя граница - располагаемым наверху оборудованием. Для параметров Hi приняты такие же границы, как и для Bi. Диаметры поперечных сечений, как правило, ограничены существующим сортаментом и ассортиментом продукции ближайших производителей труб. Верхние и нижние границы варьируемых параметров при решении задачи оптимизации Upper and lower bounds of variable parameters in solving an optimization problem Параметр Parameter Bi, м [m] Hi, м [m] Dp, м [m] Dr, м [m] Dh, м [m] lb 0,5 0,5 0,05 0,05 0,05 ub 10 10 0,3 0,3 0,3 Полученная в результате решения задачи методом внутренней точки оптимальная форма башни приведена на рис. 6. Диаметр труб поясов составил 148 мм, наклонных элементов решетки - 74,1 мм, горизонтальных элементов решетки - 62,8 мм. Соответствующие толщины стенок, вычисленные по формуле, приведенной на рис. 2: 4,5; 3,2 и 3 мм. Критическая нагрузка по сравнению с башней постоянной ширины возросла до 123 кН, то есть в 2,3 раза. Форма потери устойчивости для оптимальной башни показана на рис. 7. Полученное решение экспортировалось в программный комплекс ЛИРА-САПР. При расчете в ПК ЛИРА-САПР критическая нагрузка составила 122,8 кН, что незначительно отличается от авторского решения. Форма потери устойчивости в ПК ЛИРА-САПР с увеличенным масштабом перемещений приведена на рис. 8. Из данного рисунка видно, что в оптимальном варианте, в отличие от базового, потеря устойчивости происходит одновременно во всех сжатых элементах. При проектировании реальной конструкции наружные диаметры труб можно принять равными 146, 76 и 63,5 мм, а толщины стенок 4,5; 3 и 3 мм соответственно. Коэффициент 122,799 Coefficient 122.799 Рис. 6. Оптимальная форма башни, полученная на основе метода внутренней точки Figure 6. Optimal tower shape based on the interior point method Рис. 8. Форма потери устойчивости оптимальной башни, полученная в ПК ЛИРА-САПР Figure 8. The form of stability loss of the optimal tower obtained in the LIRA-SAPR software Рис. 7. Форма потери устойчивости оптимальной башни, полученная в авторской программе Figure 7. The form of stability loss of the optimal tower, obtained in the author's program При решении с применением метода шаблонного поиска и генетического алгоритма учитывалось дискретное изменение толщины стенки труб в зависимости от диаметра по сортаменту, то есть представленная на рис. 2 формула не использовалась. В начальной точке поиска поперечное сечение поясов принималось в виде круглых труб наружным диаметром 127 мм и толщиной стенки 4 мм, поперечное сечение решетки - круглые трубы наружным диаметром 76 мм и толщиной стенки 3 мм. Критическая нагрузка для такой башни - 51,3 кН. Полученная в результате решения задачи методом шаблонного поиска оптимальная форма башни приведена на рис. 9. Эта форма несколько отличается от представленной на рис. 6. Для поясов оптимальный диаметр труб оказался равным 131 мм, для наклонных элементов решетки - 76 мм и для горизонтальных элементов решетки - 68 мм. Толщины стенок: 4, 3 и 3 мм соответственно. Критическая нагрузка при этом составила 103 кН, что примерно в 2 раза выше по сравнению с начальной точкой поиска. Форма потери устойчивости приведена на рис. 10. Из данного графика видно, что потеря устойчивости происходит во всех сжатых элементах поясов и отдельных элементах решетки. В целом метод шаблонного поиска в данной задаче оказался менее эффективным, чем метод внутренней точки. Генетический алгоритм проявил себя еще хуже, критическая нагрузка по сравнению с башней постоянной ширины возросла всего на 24 %. Форма башни, полученная на основе генетического алгоритма, приведена на рис. 11. Аналогичные результаты по эффективности метода шаблонного поиска и генетического алгоритма получены нами ранее при оптимизации трехгранных решетчатых опор с линейно меняющейся по высоте шириной с использованием критериев минимума потенциальной энергии деформации, минимума перемещения и максимума первой частоты собственных колебаний в [24]. Также в [24] показано, что изменение угла , определяющего направление сосредоточенной силы, несущественно влияет на получаемую оптимальную форму сооружения. Отметим, что в полученных решениях не вводилось ограничение на гибкость элементов, и для некоторых раскосов гибкость превышает предельную по СП 16.13330.2017. Данная задача решалась также с учетом ограничения на гибкость. В СП 16.13330.2017 величина предельной гибкости зависит от степени нагруженности элементов . Поскольку нами расчет первоначально выполняется на действие единичной силы, а критическая нагрузка затем определяется из решения проблемы собственных значений, определить заранее фактическую величину продольной силы в каждом из элементов не представляется возможным. Поэтому для элементов пояса предельная гибкость принималась равной 120, а для элементов решетки - 150. Рис. 9. Оптимальная форма башни, полученная методом шаблонного поиска Figure 9. Optimal tower shape obtained by pattern search method Рис. 10. Форма потери устойчивости для башни, приведенной на рис. 9 Figure 10. The buckling shape for the tower shown in Figure 9 Рис. 11. Форма башни, полученная при помощи генетического алгоритма Figure 11. The shape of the tower, obtained using a genetic algorithm Рис. 12. Оптимальная форма башни, полученная с учетом ограничения на гибкость элементов Figure 12. The optimal shape of the tower, obtained taking into account the limitation on the slenderness of the elements Форма башни, полученная с учетом ограничения на гибкость, приведена на рис. 12. Диаметр поперечного сечения поясов при этом оказался равным 137 мм, раскосов - 120 мм и горизонтальных элементов решетки - 106 мм. Данная башня имеет ту же массу, что и конструкция в начальном приближении. Критическая нагрузка составила 53,2 кН, что совпадает с результатом в начальном приближении. Однако для начального приближения не выполнялось условие по гибкости элементов: гибкость раскосов составляла 249, что существенно больше допустимой по действующим нормам. После оптимизации при сохранении массы за счет изменения размеров поперечных сечений и параметров Bi, Hi максимальная гибкость раскосов снизилась до 111. Заключение Разработана методика оптимизации трехгранных решетчатых башен переменного профиля с поперечным сечением элементов в виде круглых труб по критерию максимума критической нагрузки при постоянной массе. Выполнена оптимизация опоры под ветроэнергетическую установку. В рассмотренном примере по сравнению с башней постоянной ширины той же массы удалось повысить критическую нагрузку в 2,3 раза. Потеря устойчивости в оптимальной конструкции происходит одновременно во всех сжатых элементах. Сравнение эффективности трех методов оптимизации - метода внутренней точки, метода шаблонного поиска и генетического алгоритма - показало, что первый из них имеет наибольшую эффективность. Отметим, что в настоящей статье решение задачи оптимизации по критерию устойчивости выполнялось без учета нагрузки от собственного веса элементов. Для опор ветроэнергетических установок основной вклад в потерю устойчивости вносит нагрузка от ветрогенератора, а вклад собственного веса элементов не столь существенен. В дальнейших исследованиях мы планируем учесть и нагрузку от собственного веса.

Об авторах

Лейсан Шамилевна Ахтямова

Донской государственный технический университет

Email: leisan21@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-0480-9811

аспирант, кафедра сопротивления материалов

Российская Федерация, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, д. 1

Батыр Меретович Языев

Донской государственный технический университет; Казанский федеральный университет

Email: ps62@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-5205-1446

доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов, Донской государственный технический университет; главный научный сотрудник, Институт дизайна и пространственных искусств, Казанский федеральный университет

Российская Федерация, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, д. 1; Российская Федерация, 420008, Казань, ул. Кремлевская, д. 18

Антон Сергеевич Чепурненко

Донской государственный технический университет; Казанский федеральный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: anton_chepurnenk@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9133-8546

доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов, Донской государственный технический университет; главный научный сотрудник, Институт дизайна и пространственных искусств, Казанский федеральный университет

Российская Федерация, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, д. 1; Российская Федерация, 420008, Казань, ул. Кремлевская, д. 18

Линар Салихзанович Сабитов

Казанский федеральный университет; Казанский государственный энергетический университет

Email: sabitov-kgasu@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7381-9752

доктор технических наук, профессор кафедры «Конструктивно-дизайнерское проектирование», Казанский федеральный университет; профессор кафедры «Энергообеспечение предприятий, строительство зданий и сооружений», Казанский государственный энергетический университет

Российская Федерация, 420008, респ. Татарстан, Казань, ул. Кремлевская, 18; Российская Федерация, 420066, Казань, ул. Красносельская, д. 51

Список литературы