Критерии прочности стен из крупных кладочных блоков

Полный текст

Введение1 Для определения пластичности и прочности материалов, работающих в условиях сложных напряженных состояний, применяются критерии прочности, которые часто выражаются сложными формулами. Разработкой критериев прочности и пластичности изотропных и анизотропных тел занимались многие известные ученые, такие как И.И. Гольденблат и В.А. Копнов, Г.С. Писаренко и А.А. Лебедев, Е.К. Ашкенази и Э.В. Ганов, Н.М. Беляев, Г.А. Гениев, А.Н. Воронов. Подробный обзор существующих критериев, наиболее близких к рассматриваемой тематике, дается в их монографиях [1-9]. Имеются также более современные работы Н.И. Карпенко, В.М. Бондаренко и В.И. Колчунова, О.В. Кабанцева [11-13] и др. Наше исследование базируется на работах Г.А. Гениева и его сотрудников [6; 7]. Новые конструктивные решения стеновых каменных конструкций отличаются большим разнообразием, обеспечивающим технологичность, экономическую эффективность и целесообразность создания зданий и сооружений. В ЦНИИСК имени В.А. Кучеренко выполнены экспериментальные исследования наилучших образцов фрагментов стен для оценки рационального массового применения. Материалы отчета о научно-исследовательской работе по теме «Исследование прочности и деформативности кладки из силикатных и ячеистобетонных блоков на клеевых растворах для тонкошовной кладки и определение нормируемых параметров швов» (2017 г., исполнители - О.И. Пономарев, М.А. Мухин) использованы в работах [14; 15]. На рис. 1 показана схема образца кладки с трещинами после испытаний на сжатие. В условиях эксплуатации кроме сжатия материал часто испытывает сдвиг. Разрабатываемые критерии прочности позволяют выполнить анализ плоского напряженного состояния. В частности, хорошо зарекомендовали себя тонкошовные клеевые соединения в стенах из легкобетонных ячеистых и силикатных камней укрупненного формата. Однако требуется совершенствование методики испытаний элементов стен и применение современных методов расчета для дальнейшей модернизации норм проектирования и самих конструктивных решений. В условиях применения новых технологий практика требует соответствующих теоретических приемов и расчета, особенно с учетом пространственной работы стеновых конструкций, вызванной многообразием решений, нагрузок и внутренних усилий от температурных, влажностных, ветровых и других воздействий. Рис. 1. Схема повреждения образца кладки из ячеистобетонных блоков после испытаний [Figure 1. Scheme of damage to the masonry sample of cellular concrete blocks after testing] В предлагаемой статье сделана попытка применить критерии прочности Г.А. Гениева, которые уже прошли научную апробацию, но нуждаются в привязке к реальному проектированию. Здесь ставятся вопросы освоения прогрессивных расчетных предпосылок в их достаточно упрощенных формах. Подобные подходы имеются и в других разработках, касающихся, в частности, композитных и традиционных конструкций [14]. По мнению Г.А. Гениева, каменную кладку допускается рассматривать как однородный ортотропный материал, при построении критериев прочности которого принято обоснованное экспериментальными данными предположение об объемном напряженном состоянии в условиях кратковременного статического нагружения без учета температурно-временных факторов и ползучести. При этом возможны три различных механизма разрушения: · от отрыва, проявляющегося при одно-, двухили трехосном растяжении; · от смятия, проявляющегося при одно-, двухили трехосном сжатии; · от сдвига, проявляющегося обычно при смешанных напряженных состояниях, когда главные напряжения отличаются по знаку. В связи с этим критерий прочности представляется в виде трех независимых аналитических выражений, каждое из которых определяет предел прочного сопротивления материала в предположении того или иного механизма разрушения. Принципы расчетов Введем систему координат x, y, z, совмещая ее оси с главными осями анизотропии материала. При выводе предлагаемого критерия прочности каждую разновидность исследуемого материала будем определять девятью независимыми прочностными показателями: · пределами прочности на растяжение вдоль осей x, y, z - Rрх, Rру, Rрz соответственно; · пределами прочности на сжатие вдоль тех же осей - Rсх, Rсу, Rсz; · пределами прочности на сдвиг по площадкам, ортогональным осям x, y, z - Сх, Су, Сz соответственно. Положительными напряжениями будем считать растягивающие, отрицательными - сжимающие. Рассмотрим вопросы построения критерия прочности ортотропных материалов для общего случая трехосного напряженного состояния, когда разрушение материала происходит от сдвига по некоторой площадке скольжения, где процессу разрушения предшествует накопление сдвиговых деформаций [15; 16]. Разрушение материала от сдвига, вызванное действием касательных напряжений обычно происходит при смешанных напряженных состояниях, когда главные нормальные напряжения отличаются по знаку. Вследствие различия пределов прочности на сдвиг в направлениях главных осей анизотропии опасная площадка сдвига не будет, как правило, совпадать с направлением главных касательных напряжений. Ее направление может быть найдено из условия max[τv ()v] = 0, (1) где τv - касательное напряжение на площадке сдвига. В целях упрощения процедуры реализации (1) будем исследовать это условие не в осях координат, совпадающих с главными осями анизотропии, а в осях, совпадающих с направлениями главных напряжений. τ = [(σ1 σ2)222 + (σ2 σ3)222 + 1 +(σ3 σ1)222]2. (2) анизотропии , и нормали v к опасной площадке сдвига. С учетом (4) зависимость (3) может быть представлена в виде () = ( , ), (5) а направление опасной площадки сдвига может быть найдено из условия max[( , )] = 0, (6) где [(σ1 σ2)222 + (σ2 σ3)222 + 1 (σ3 σ1)222]2 ( , ) + λ(2 + 2 + 2 1); λ - множитель Лагранжа. Условие (6) может быть реализовано в форме ат ; ат ; ат , (7) аl аm ап что приводит к следующей системе уравнений для определения направляющих косинусов , нормали v к площадке сдвига Здесь l, m, n - направляющие косинусы норv [(σ1 σ2)22 + (σ3 σ1)22]τ-1 [(σ2 σ3)22 + (σ1 σ2)22]τv е + 2λ = 0, мали v, искомой площадки сдвига в осях главных напряжений σ1, σ2 , σ3; C(v) - закон изменения -1 - - m + 2λ = 0, (8) пределов прочности на сдвиг. Будем считать, что вид зависимости v [(σ3 σ1)22 + (σ2 σ3)22]τ-1 п + 2λ = 0. () = (), = , , (3) Согласно (8) и (2) значение множителя λ равно в пространстве главных осей анизотропии установ- λ = 0,5(l m п) τv , (9) лен из опытов на принудительный сдвиг образцов материала по различным направлениям. Здесь l, v, j - значения направляющих косинусов нормали v площадки сдвига к осям x, y, z. Аналитическое выражение закона (3) в осях главных напряжений найдем, используя зависимости где l m п - производные по , от аналитического выражения закона изменения пределов прочности на сдвиг C (l, m, n) в системе координат, связанной с главными осями напряжений. Таблица Матрица направляющих косинусов [Table 1. The matrix guides of the cosines] vj = 1j + 2j + 3j, = , , , (4) 1 2 3 n x l1x l2x l3x lnx авляющие собой скалярные произведения y l1y l2y l3y lny z l1z l2z l3z lnz предст единичного вектора ⃗ и единичных векторов, совпадающих по направлению с осями , . Направляющие косинусы ij определяют положение главных напряжений в системе координат , , и их значения известны для любого момента загружения. Ниже приведена матрица направляющих косинусов, обусловливающая взаимную ориентацию осей главных напряжений σ1, σ2, σ3, главных осей n l m n - Аналитическое выражение закона изменения пределов прочности на сдвиг должно явным образом определять значение С в зависимости от направления осей анизотропии, а также соответствовать условиям предельного перехода к изотропному материалу, когда для любого направления С = const. Настоящим требованиям отвечает следующая форма закона в системе координат, связанной с главными осями анизотропии материала: Выражение для M = m2 и N = n2 получается из (14) путем замены индексов в числителе по кольцевой подстановке при неизменном знаменателе. 2 2 2 () = х vх + y vy + z vz. (10) Подобная форма закона для случая двухосного напряженного состояния использовалась в работе (4) и удовлетворительно подтверждается экспериментальными данными. На основании (10) и (4) в осях главных напря- Аналитическое выражение критерия прочности найдем, приравнивая значения касательного напряжения τv пределу прочности на сдвиг Cv на площадке сдвига: τv v = 0, (15) 1 жений () = ( , ) = х (1х + 2х + 2 τv = 2(τ122 2 23 + τ2 2 2 31 + τ2 22 )2, (16) 1 2 2 22 + τ2 22 + τ2 22)2, + 3х)2 + +y(1y + 2y + 3y) + τij = 0,5(τ12 23 31 + z(1z + 2z + 3z)2. (11) При этом в соответствии с (9) и (4) множитель λ = 0. Подставляя (11) в (8) получим окончательную систему нелинейных алгебраических уравнений для определения направляющих косинусов v = х 2 + y 2+z2. (17) Согласно (14)-(17) критерии прочности при сдвиге: 2 τ2 + τ2 τ2 + τ2 τ2 ) l, m, n нормали к площадке сдвига, выражающую -2(хyτ23 31 y z 31 12 z х 12 23 2τ4 + 2τ4 + τ4 ) 4τ2 τ2 τ2 = 0. (18) условие прочности на ней в неявном виде. (х 23 1. 23 2. 12 12 23 31 [(σ1 σ2)22 + (σ3 σ1)22](11 12 + 13)-1 = [(σ2 σ3)22 + (σ1 σ2)22](21 + 22 + 23)-1 = [(σ3 σ1)22 + (σ2 - σ3)22](31 32+ 33)-1 = 2τv, (12) 2 + 2 + 2 = 1. Выражения (14), определяющие значение направляющих косинусов l, m, n нормали к опасной площадке сдвига, справедливы, когда числитель каждого из них является неотрицательной величиной, что приводит к следующим условиям: 2 + τ2 + τ2 ;:: , 2 2 2 -хτ23 1. 31 2. 12 Здесь ii = х хi + y yi + zzi ; 2 τ2 + τ2 ;:: , ij = х хiхj + y yi yj + zzi zj , , = 1,2,3. (12а) хτ23 1. 31 2. 12 2 + τ2 τ2 ;:: . (19) Исследуя систему (12), более подробно остановимся на случае, когда главные оси напряжений сов- хτ23 1. 31 2. 12 падают с главными осями анизотропии материала. При этом 11 = х , 22 = y , 33 = z = 23 = 0, а из (12а) следует х(σ1 σ2)2 +[х(σ2 σ3)2 y (σ3 σ1)2] y(σ1 σ2)2 0, [y(σ3 σ1)2 + z(σ1 σ2)2] -z(σ2 σ3)2 y(σ2 σ3)2 0, = 1, где = 2; = 2; = 2. (13) Решая систему линейных алгебраических уравнений (13) относительно L, M, N, находим: Эти соотношения можно интерпретировать тремя пересекающимися плоскостями, образующими трехгранную пирамиду, ось которой равнонаклонна к осям x, y, z (рис. 2). Рис. 2. Трехгранная пирамида, интерпретирующая условия (19) [Figure 2. Three-sided pyramid interpreting the conditions (19)] 2 2 2 2 2 2 2 = τ23(zτ12 + y τ31 х τ23)[τ23(zτ12 + 2 2 2 2 2 2 + yτ31 х τ23) + τ31(х τ23 + zτ12 y τ31) + Для напряженных состояний, соответствующих 2 2 2 2 -1 + τ12(y τ31 + х τ23 + zτ12)] . (14) траекториям нагружения, расположенным внутри пирамиды, будут выполняться условия (19), а направления опасной площадки сдвига в предельном состоянии будут определяться формулами (14). Для состояний, соответствующих одной из граней пирамиды, например, грани при l = 0, в этом случае сдвиг будет происходить в плоскости, параллельной главной оси анизотропии x. Мы рассмотрели один из частных случаев предельного состояния, когда главные оси напряжений совпадают с главными осями анизотропии материала. Общая система уравнений (12) значительно упрощается. Рассмотрим частный случай, когда только одна из главных осей анизотропии совпадает по направлению с одной из главных осей напряжений, например ось x - с осью σ1. Из системы уравнений (12) следует: v 1. По формуле (2) определяется фиктивное касательное напряжение ф на площадке с нормалью v для заданных значений σ1, σ2, σ3. 2. Находится коэффициент приведения нагрузки к предельной: ф ()/τv . (23) 3. Определяются действительные значения предельных нормальных напряжений: σГ = σi, = 1,2,3. (24) 4. Делается проверка критерия прочности: для найденных значений , , σi проверяется выполнение уравнений (12) и равенства τv = (). В дальнейших публикациях предполагается привести расчет и результаты испытаний стены в (cr2-crз)l c22m+c2зn = (cr1-crз)l cз2m+cззn = 2. (20) плоском напряженном состоянии. Записывая (20) в виде (σ2 σ3 223) 33 0, -222 (σ2 σ3 + 223) = 0 (21) и раскрывая определитель однородной системы линейных уравнений (21), найдем 1 σ2 σ3 = 223 (σ1 σ3)2 + 223, откуда с учетом (12а) получим окончательное выражение критерия прочности при сдвиге для рассматриваемого случая:

Об авторах

Константин Пантелеевич Пятикрестовский

Научно-исследовательский центр «Строительство»

Автор, ответственный за переписку.
Email: stroymex@list.ru
SPIN-код: 7983-5656

доктор технических наук, главный научный сотрудник, Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций имени В.А. Кучеренко

Российская Федерация, 109428, Москва, 2-я Институтская улица, д. 6, корп.1

Список литературы