КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ НДС ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА

Полный текст

При расчете оболочек вращения наиболее часто используется теория тон- ких оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява [1-3]. Однако, в ряде случаев (например, при расчете короткопролетных конструкций), пренебреже- ние деформациями сдвига не является вполне корректным. В таких ситуациях, как правило, используются теории оболочек типа Ти- мошенко [4-7]. Решение систем дифференциальных уравнений, описывающих процесс деформирования оболочек вращения с учетом деформации поперечно- го сдвига аналитическими способами весьма затруднительно. Поэтому в на- стоящее время используются численные методы расчета, как правило, метод конечных элементов (МКЭ)[8-13]. 1. Геометрия оболочки Срединная поверхность оболочки вращения может быть задана радиус- вектором: (1.1) где - осевая координата; - радиус вращения; -угловой параметр, отсчитываемый от оси OZ против хода часовой стрелки. Дифференцированием (1.1) по дуге меридиана и дуге окружности можно получить касательные орты локального базиса: (1.2) где нижние индексы 1, 2 после запятой обозначают операцию дифференциро- вания по криволинейным координатам и соответственно. Орт нормали к срединной поверхности определяется векторным произве- дением (1.3) где Орты локального базиса (1.2) и (1.3) и их производные по координатам и могут быть представлены матричным выражением [14]: (1.4) где Вектор перемещения точки срединной поверхности оболочки вращения и его производные по глобальным координатам , , при учете (1.4), могутбыть представлены компонентами, отнесенными к локальному базису данной точки: (1.5) где последовательно принимают значения 1, 2; - тангенциальные и нормальная компоненты вектора перемещения; - много- члены, содержащие компоненты вектора перемещения, их первые и вторые (для ) производные по глобальным координатам . Положение точки, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии ? в исходном и деформированном состояниях, определяется соответствующими радиус-векторами: (1.6) Входящий в (1.6) вектор перемещения точки, отстоящей от срединной по- верхности на расстоянии ?, может быть определен следующим образом: (1.7) где -вектор углов поворота нормали [7]. Соотношение (1.7) можно рассматривать как вариант, в котором вектор уг- лов поворота нормали отсчитывается от исходного положения нормали. Дан- ный вариант соответствует подходу, описанному в [5, 6]. Если поворот нормали отсчитывать от ее деформированного состояния, то формулу (1.7) следует записывать в следующем виде: (1.8) где - вектор разности нормалей в деформированном и исходном состояниях [7, 14]: (1.9) Здесь - орт нормали в деформированном состоянии (1.10) где Ковариантные компоненты тензора деформаций определяются соотноше- нием механики сплошной среды [15]: (1.11) где - ковариантные компоненты метрического тензора в де- формированном и исходном состояниях, определяемые соответствующими ска- лярными произведениями (1.12) Входящие в (1.12) векторы базиса могут быть найдены диф- ференцированием соответствующих радиус-векторов (1.13) Соотношения (1.11) могут быть представлены в виде суммы: (1.14) где - деформации и искривления срединной поверхности оболочки вращения; - деформация сдвига в точках с радиус-векторами и ; - линейные деформации вдоль нормали в тех же точках. 2. Физические соотношения тонких оболочек Контравариантные компоненты тензора напряжений в произвольном слое оболочки, отстоящем от срединной поверхности на расстоянии , определяются через ковариантные компоненты тензора деформаций соотношениями механи- ки сплошной среды [15]: (2.1) где верхние и нижние индексы последовательно принимают значения 1, 2, 3; - коэффициенты Ляме; - контравариантные компоненты метри- ческого тензора; - первый инвариант тензора деформаций. Соотношение (2.1) может быть представлено в матричном виде (2.2) где Принимая во внимание общепринятую в теории тонких оболочек гипотезу [1-3], из (2.1) можно получить следующую зависимость: (2.3) Используя зависимость (2.3), можно уменьшить размерность матричного выражения (2.2): (2.4) где - матрица упругости. 3. Четырехугольный конечный элемент В качестве элемента дискретизации выбирается четырехугольный фраг- мент срединной поверхности оболочки вращения с узлами , отображае- мый для удобства численного интегрирования на квадрат в локальной системе координат . Столбец узловых неизвестных конечного элемента в глобальной и локаль- ной системах координат выбирается в виде: где Здесь под понимается компонента вектора перемеще- ния или . Для вычисления компонент вектора перемещения и компонент векто- ра углов поворота нормали используются интерполяционные выражения следующего вида: (3.3) где - матрица строка, содержащая произведения по- линомов Эрмита третьей степени; - матрица-строка, содержащая билинейные функции локальных координат. Дифференцированием (3.3) можно получить производные компонент вектора перемещения и компонент углов поворота нормали: (3.4) Для получения матрицы жесткости и столбца узловых усилийчетырех- угольного конечного элемента можно воспользоваться функционалом Лагран- жа: где (3.6) - столбцы компонент вектора перемещения и внешней нагрузки. С учетом (1.14), (2.4), (3.3) функционал (3.5) может быть преобразован к виду где - матрица перехода от столбца (3.6) к столбцу - матрица дифференциальных и алгебраических операторов, необходимая для перехода от столбца к столбцу - (3.2); - матрица перехода от столбца к столбцу , определяемая с использованием соотношений (3.8) Входящая в (3.7) матрица имеет следующую структуру: . (3.9) В результате минимизации (3.7) по можно получить следующее мат- ричное выражение (3.10) где - матрица жесткости; - столбец узловых усилий четырехугольного конечного элемента в глобальной системе координат. Рис. 1 Пример расчета 1. В качестве примера была рассчитана цилиндрическая оболочка, загруженная вдоль образующей распределенной нагрузкой интенсив- ности q и имеющая на диаметрально противоположной образующей шарнирные опоры, препятствующие вертикальному смещению (рис. 1). Вследствие наличия плоскостей симметрии оболочка моделировалась од- ной лентой конечных элементов, ориентированной в кольцевом направлении. Были приняты следующие исходные данные: Расчеты были выполнены в двух вариантах: в первом варианте при формировании матрицы жесткости КЭ использова- лось соотношение, соответствующее отсчету угла поворота нормали от ее ис- ходного положения (1.7); во втором варианте отсчет угла поворота нормали осуществлялся от ее де- формированного положения - (1.8) .. (1.10). Результаты повариантного расчета представлены в виде диаграммы (рис. 2), на которой приведены значения физических напряжений в точке прило- жения нагрузки на внутренней (верхняя часть диаграммы) и внешней (нижняя часть диаграммы) поверхностях цилиндра в зависимости от числа элементов дискретизации . Как видно из диаграмм, сходимость вычислительного процесса во втором варианте существенно лучше, чем в первом, а численные значения напряжений близки к значению , вычисленному по формуле сопротивления материалов [16] для задачи расчета кольца с двумя сосредоточенными силами. Рис. 2 При сопоставлении результатов повариантного расчета (таблица 1) следует также отметить наличие в первом варианте расчета «скачка» в значениях на- пряжений в узлах смежных элементов дискретизации (Рис. 1). Вели- чина данного «скачка» уменьшается при увеличении числа элементов дискрети- зации. Во втором варианте расчета вышеупомянутый «скачок» в значениях практически не наблюдается. Таблица 1 25 49 97 145 193 1 вар иа нт 172,4 -170,3 182,1 -180,2 187,0 -185,1 188,7 -186,8 189,5 -187,6 133,1 -131,9 162,3 -160,8 177,1 -175,4 182,0 -180,3 189,5 -187,6 2 вар иа нт 153,4 -151,3 172,3 -170,6 182,1 -180,3 185,4 -183,5 187,0 -185,1 152,8 -150,7 172,3 -170,6 182,1 -180,3 185,4 -183,5 187,0 -185,1 Пример расчета 2. Был рассчитан жестко защемленный по торцам ци- линдр, нагруженный внутренним давлением интенсивности q (рис. 3). Были приняты следующие исходные данные: Вследствие наличия осевой симметрии оболочка моделировалась одной лентой КЭ, ориентированной вдоль образующей. Рис. 3 Расчеты, как и в примере 1, выполнялись в двух вариантах. Результаты по- вариантного расчета представлены в виде диаграммы (рис. 4), на которой пока- заны значения физических напряжений в жесткой заделке на внутренней (верхняя часть диаграммы) и внешней (нижняя часть диаграммы) поверхностях цилиндра в зависимости от числа элементов дискретизации . Анализ диаграммы показывает существенно лучшую сходимость вычисли- тельного процесса во втором варианте расчета по сравнению с первым вариан- том. Для достижения аналогичного уровня точности в первом варианте требует- ся на порядок большее число элементов дискретизации, чем во втором вариан- те. Рис. 4 Анализ результатов вычисленных напряжений, представленных на обеих диаграммах, позволяет сделать вывод о предпочтительности второго варианта расчета, соответствующего отсчету угла поворота нормали от ее деформиро- ванного состояния,при котором можно получать удовлетворительные по точно- сти значения напряжений при относительно редкой сетке элементов дискрети- зации. В то же время следует отметить, что и первый вариант компоновки матри- цы жесткости четырехугольного конечного элемента, при котором отсчет угла поворота нормали осуществлялся от ее исходного состояния, позволяет полу- чать приемлемые результаты при весьма существенном сгущении сетки дискре- тизации рассчитываемой оболочки. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-41-02346 р_поволжье_а.

Об авторах

Юрий Васильевич КЛОЧКОВ

Волгоградский государственный аграрный университет

доктор техн. наук, профессор 400002, г. Волгоград, пр. Университетский, 26

АНАТОЛИЙ ПЕТРОВИЧ НИКОЛАЕВ

Волгоградский государственный аграрный университет

доктор техн. наук, профессор 400002, г. Волгоград, пр. Университетский, 26

ТЛЕК РАХМЕТОЛОВИЧ ИЩАНОВ

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: ishchanov.volgau@yandex.ru
аспирант 400002, г. Волгоград, пр. Университетский, 26

Список литературы