Deformation of a Beam Lying on an Elastic Foundation with Different Variants of the Foundation Flexibility Coefficient

Full Text

1. Введение Тема расчета балок на упругом основании, которой начали заниматься еще в XIX в., остается актуальной для строительной механики и геотехники и по сей день. Главными исследователями теории упругого основания считаются выдающиеся ученые и инженеры, которые внесли значительный вклад в развитие и применение теории расчетов. К числу наиболее значимых специалистов в этой области относятся Э. Винклер, М. Хетеньи, П.Л. Пастернак, А.А. Ильюшин, Э.Л. Оллговер, К. Георг, А.Н. Крылов, А. Сельвадурай, Г. Гладуэлл, А.Б. Фадеев, А.Г. Шашкин, В.Н. Парамонов. Классические подходы к расчету балок на упругом основании связаны с моделью Винклера [1], в которой основание представляется как набор независимых упругих пружин, где реакция основания пропорциональна прогибу балки. Данная модель получила развитие в зарубежных работах, где были предложены методы решения дифференциальных уравнений равновесия для балок с различными граничными условиями. Однако ограниченность линейного подхода Винклера для описания реальных грунтов стимулировала исследования нелинейных моделей. Для устранения указанных ограничений П.Л. Пастернак предложил усовершенствованную модель, учитывая сдвиговую жесткость основания [2]. Для решения вышеперечисленных задач традиционно применялись итерационные методы, включая метод упругих решений А.А. Ильюшина [3], а также метод малого параметра, требующие значительных вычислительных ресурсов. А.Б. Фадеев в своих работах акцентирует внимание на применении современных численных методов для решения сложных задач о балках на упругом основании. Его вклад включает использование метода итераций для анализа балок на нелинейных и неоднородных основаниях [4-5]. А.Г. Шашкин в своих работах уделяет внимание как аналитическим, так и численным методам решения задач о балках на упругом основании [6]. В работе В.Н. Парамонова приводятся модели грунта и методы расчета конечных деформаций основания. Рассмотрены физические нелинейные задачи механики грунтов, также построены модели грунтов для условий больших деформаций [7]. Существующие работы фокусируются на линейных постановках или сложных итерационных методах, что затрудняет анализ нелинейных систем [9; 10]. Современные исследования показывают, что для более точного описания системы «балка - основание» активно развиваются обобщенные постановки с переменными свойствами основания, нелинейной контактной работой, неоднородностью и динамическими воздействиями [13-18]. Таким образом, учет реальных свойств основания и корректное определение коэффициента постели являются ключевыми факторами точного расчета балок, фундаментов и протяженных конструкций, взаимодействующих с грунтовым основанием. 2. Различные виды коэффициентов постели Коэффициент податливости основания (или коэффициент постели) характеризует способность грунтового основания деформироваться под действием приложенной нагрузки. Он связывает давление, передаваемое конструкции на грунт, с возникающей деформацией (осадкой) основания. В инженерной практике этот параметр широко используется в расчетах оснований и фундаментов для оценки их устойчивости и прогнозирования осадок [11; 12]. В классическом виде зависимость между прогибом балки и реакцией основания представлена в модели Винклера, где реакция основания пропорциональна местному прогибу. Однако такая модель описывает грунт как набор независимых упругих элементов, что не отражает реального распределения деформаций, поскольку нагрузка, приложенная в одной точке, вызывает осадку в зоне, распространяющейся на значительное расстояние. Для повышения точности описания был предложен ряд усовершенствованных моделей, в том числе модель Пастернака. Зависимость между давлением, передаваемым на грунт, и возникающей деформацией (осадкой) П.Л. Пастернак [2] предложил учитывать двумя коэффициентами постели и , где - коэффициент сжатия, а - коэффициент сдвига. Для описания этих коэффициентов, можно принять формулы (1) где - модуль деформации грунта; - толщина массива слоев; - усредненный коэффициент Пуассона. В [8] отмечается, что должен быть больше . Например, для пылевато-глинистого грунта = 18,1 м; = 9806,65 кН/м2, = 0,35 и тогда = 0,717 МПа/м, = 29 МПа·м. Для грунтов с нелинейным поведением (например, слабых или водонасыщенных) рекомендуется использовать нелинейные модели или численные методы (например, метод конечных элементов), чтобы учесть изменение коэффициента податливости в зависимости от прогиба. Аналогичные задачи для нелинейных и неоднородных оснований в современных работах решаются с использованием конечно-элементных, вариационных и редукционных подходов [16-18]. Теперь рассмотрим случай, когда зависит нелинейно от : (2) где - начальное значение коэффициента податливости грунта; - асимптотическое давление под подошвой фундамента. 3. Деформирование балки, лежащей на упругом основании при различных вариантах коэффициента постели 3.1. Вариант коэффициента постели Винклера Рассмотрим решение практических задач геомеханики. Рассмотрим балку, лежащую на упругом основании и находящуюся под действием равномерно распределенной нагрузки . Функционал полной потенциальной энергии деформации балки имеет вид (3) Важным частным случаем является равенство но в ряде задач требуется рассматривать общий случай, когда нелинейно зависит от . Примем коэффициент податливости основания . Реальные размеры толщины и длины балки могут принимать разнообразные значения. Идеальной толщиной балки будет считаться та толщина, которая будет больше или равной 1/20 части ее размеров в длину. Нагрузка может также принимать различные значения. Рассмотрим железобетонную балку толщиной м, длиной м, жестко закрепленная на концах, находящаяся под действием равномерно распределенной нагрузки МПа. К функционалу (4) применим метод Ритца при аппроксимации где при жестком защемлении аппроксимирующая функция при и В соответствии с методом Ритца для нахождения имеем уравнение (5) Введем обозначения (6) заготовим коэффициенты В данном случае, когда , уравнение примет вид (7) где МПа Следовательно, и м. Подстановка выбранной аппроксимации в функционал приводят к алгебраическому уравнению, позволяющему определить величину максимального прогиба балки. 3.2. Вариант двух коэффициентов постели Рассмотрим случай, когда податливость грунта нагрузкам характеризуется двумя коэффициентами постели и. В этом случае функционал полной потенциальной энергии деформации системы будет иметь вид (8) где МПа/м, МПа·м. В качестве примера рассмотрим железобетонную балку (МПа) длиной м, толщиной м, жестко закрепленную на концах и находящуюся под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью МПа. К функционалу (8) применим метод Ритца при аппроксимации в виде где при жестком защемлении при и В соответствии с методом Ритца для нахождения получим одно алгебраическое уравнение (9) Введем обозначения Теперь уравнение примет вид (10) в данном случае Следовательно, Сравнение результатов расчета по моделям Винклера и Пастернака показывает, что учет сдвиговых деформаций приводит к меньшим значениям прогиба и более плавному распределению реакций по длине балки. Теперь рассмотрим случай, когда балка при закреплена жестко, а при свободно. В этом случае аппроксимирующая функция будет иметь вид Посчитаем необходимые коэффициенты для дальнейшего удобства: Уравнение (10) примет вид откуда , Прогиб больше допустимого значения, соответственно необходимо увеличить толщину балки, применяя метод продолжения решения по параметру . 3.3. Вариант коэффициента постели, нелинейно зависящий от прогиба Рассмотрим вариант коэффициента постели, нелинейно зависящий от прогиба , который будет учитывать нелинейно-упругие деформации грунта. В этом случае функционал полной потенциальной энергии деформации балки примет вид (11) Приведем, используя метод продолжения решения по параметру , функционал к квадратичному, т.е. проведем линеаризацию задачи на уровне функционала: Введем обозначения: (12) Квадратичный функционал запишем в виде (13) В качестве примера рассмотрим железобетонную балку , длиной , толщиной жестко закрепленную на концах, и находящуюся под действием равномерно-распределенной нагрузки интенсивностью . Применим для минимизации функционала (12) метод Ритца: где при жестком защемлении при и : В соответствии с методом Ритца для нахождения получим уравнение (14) Введем обозначения: Уравнение (13) теперь можно записать в виде при и Далее Результаты расчетов показывают, что с ростом нагрузки прогибы увеличиваются нелинейно, что особенно заметно при приближении к пределу несущей способности основания. Ниже представлены графики прогиба в зависимости от нагрузки (рис.). Экспериментально рассчитанные прогибы (табл.) подтверждают этот вывод: при увеличении нагрузки более чем в 5-6 раз рост прогибов становится значительно ускоренным, что необходимо учитывать при проектировании. Таким образом, при наибольший прогиб составит что превышает допустимый предел для железобетонной балки. Значения прогибов для балки, лежащей на упругом основании, при нелинейно-упругом деформировании Deflection values for a beam lying on an elastic foundation under nonlinear elastic deformation Зависимость коэффициента от значения нагружения И с т о ч н и к: выполнено М.Р. Горкиной. Dependence of the coefficient on the loading value S o u r c e: made by M.R. Gorkina. МПа / MPa 0,01 0,049 0,049 0,049 0,02 0,053 0,103 0,065 0,03 0,058 0,160 0,099 0,04 0,062 0,223 0,139 0,05 0,067 0,289 0,181 0,06 0,072 0,362 0,226 0,07 0,078 0,440 0,275 0,08 0,083 0,524 0,327 0,09 0,089 0,613 0,383 0,1 0,095 0,708 0,442 И с т о ч н и к: выполнено М.Р. Горкиной S o u r c e: made by M. R. Gorkina. 4. Заключение 1. Установлено влияние расчетной модели упругого основания на деформированное состояние балки. Показано, что линейная модель Винклера обладает ограниченной точностью и может применяться преимущественно при малых деформациях и однородном основании. Модель Пастернака обеспечивает более адекватное описание работы грунтового массива, поскольку учитывает не только вертикальную податливость, но и сдвиговую жесткость основания, что позволяет получить более корректную оценку прогибов балки. 2. Показана необходимость учета нелинейной работы основания при расчете балок на слабых и повышенно податливых грунтах. Установлено, что при увеличении нагрузки прогибы балки возрастают нелинейно и в отдельных случаях могут превышать допустимые значения. Это подтверждает необходимость применения моделей с переменным коэффициентом постели, зависящим от прогиба, а также использования численных методов решения для более точного описания взаимодействия системы «балка - основание». 3. Обоснована практическая значимость предложенного подхода для расчета конструкций, взаимодействующих с грунтовым основанием. Полученные результаты показывают, что корректный выбор модели основания и учет условий закрепления балки позволяют более достоверно оценивать ее прогибы и своевременно принимать конструктивные решения, например увеличивать толщину балки или изменять параметры расчетной схемы. Дальнейшее развитие исследования может быть связано с учетом неоднородности основания, динамических воздействий и оптимизацией геометрических параметров конструкции. Работа вносит вклад в развитие методов расчета балок на упругом основании и может быть полезна для инженерных приложений в области строительства и механики грунтов.

About the authors

Maria R. Gorkina

Engineering LLC

Author for correspondence.
Email: maria-gorkina@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1036-6554
SPIN-code: 9433-1388

Leading Engineer, Architectural and Construction Department

room 1-N, 37, office 305, St. Petersburg, 197136, Russian Federation

References

Supplementary files