Rational structural solutions for triangular trusses

Full Text

1. Введение Деревянные стропильные системы являются эффективными несущими конструкциями. Одно из направлений развития деревянных конструкций - поиск конструктивных решений, повышающих их эксплуатационные качества [1-4]. Основной задачей при этом будет выявление взаимозависимости параметров конструкции и определение их гармоничного сочетания. Обоснование и принятие наиболее целесообразного решения на этапе проектирования позволит сократить расходы на строительство и эксплуатацию всего здания или сооружения. Эффективные конструктивные решения остаются актуальной задачей для строительной отрасли [5-7]. Наиболее часто используют общие критерии проектирования экономичных конструкций, такие как материалоемкость, трудоемкость изготовления, технологичность конструкции. Зачастую невозможно выполнить расчет стропильных систем без моделирования и сложных математических операций [8-12]. На практике же требуется определить тот или иной рациональный параметр конструкции без громоздких вычислений. Настоящее исследование посвящено изучению треугольных деревянных ферм типа «ножницы». Данную конструкцию отличает простота в сборке и низкая материалоемкость. В настоящий момент такое решение популярно среди ферм, выполненных из деревянного бруса (рис. 1). Конструкция фермы обладает высокоэстетичными формами, что обеспечивает большую свободу в дизайне зданий и сооружений, характеризуется рациональным использованием материалов в сочетании с низким воздействием на окружающую среду [13; 14]. Цель исследования - установить зависимость значений усилий в элементах рассматриваемой конструкции от величины ее стрелы подъема. Достижение поставленной цели предполагалось осуществить с помощью диаграммы усилий Максвелла - Кремоны (далее М-К), поскольку она представляет собой единую систему, наглядным образом отражающую взаимосвязь усилий в элементах ферм [15]. Изображение выглядит как в помещении, дизайн интерьера, стена, строительство Автоматически созданное описание Изображение выглядит как мебель, стол, в помещении, Луч Автоматически созданное описание Изображение выглядит как небо, строительство, строительный материал, пиломатериалы Автоматически созданное описание Рис. 1. Применение ферм типа «ножницы» (Источник: https://ru.pinterest.com/pin/ (дата обращения: 15.12.2022)) Figure 1. The use of trusses of the “scissor” type (Source: https://ru.pinterest.com/pin/ (accessed: 15.12.2022)) 2. Методы Диаграмма М-К является простым графическим приемом, которым удобно пользоваться, когда стоит задача поиска рационального решения: уклона кровли к пролету конструкции [16-20]. Приняты некоторые предпосылки: - нагрузки прикладываются в узлы верхнего пояса конструкции в виде сосредоточенных сил; - внешние нагрузки действуют только вертикально (учет горизонтальных составляющих нагрузок предполагается учитывать в дальнейших исследованиях); - взаимное примыкание элементов выполнено шарнирным, таким образом исключается возникновение изгибающих моментов. Рассмотрим ферму треугольного очертания (рис. 2). В таких конструкциях могут варьироваться следующие параметры: стрела подъема f, одновременно с этим изменяется уклон кровли; положение узлов примыкания ветвей нижнего пояса к элементам верхнего пояса (расстояния a и b). Изображение выглядит как диаграмма, линия Автоматически созданное описание Рис. 2. Расчетная схема конструкции в параметрическом виде Figure 2. Calculation scheme of the structure in the parametric form Опыт проектирования распорных конструкций показывает, что по мере уменьшения стрелы подъема f усилия в элементах фермы будут увеличиваться. Что же касается положения элементов нижнего пояса, возникает задача определения уклонов кровли (или стрелы подъема), при которых сечения элементов фермы будут рациональными. В качестве критерия эффективности принимаем величину усилий в элементах конструкции. В итоге это напрямую влияет на ее материалоемкость. Попытаемся установить зависимость величин усилий от стрелы подъема. Рассмотрим деревянную треугольную ферму пролетом L 12 метров и проанализируем конструктивные решения с различными уклонами элементов верхнего пояса i = 2f/L: 1/4; 1/3; 1/2; 1/2,5; 1/1. Общий алгоритм поиска эффективного решения включает следующие этапы: - построение диаграммы усилий М-К для различных значений фактора i = 2f/L; - определение значений усилий по диаграмме; - выявление характера зависимости усилий от фактора i; - анализ результатов исследований. Предложенный алгоритм исследования реализован в среде табличного процессора MS Excel. 3. Результаты и обсуждение Нагружения для всех вариантов конструктивных решений выполнены эталонной нагрузкой: наименьшее значение одной из сосредоточенных сил принято равным единице, другие же значения получены с учетом разницы грузовых площадей покрытия, приходящихся на соответствующие узлы верхнего пояса фермы (рис. 3). С помощью диаграммы определяется значение усилий в решетчатой конструкции. На рис. 3 номерами обозначены зоны (с 1 по 8) для построения диаграммы. Длины отрезков соответствуют значениям усилий в элементах фермы. Например, в элементе между зонами 2 и 6 (далее № 2-6) возникает усилие, равное длине отрезка на диаграмме между точками с такими номерами. Кроме того, диаграмма позволяет определить знаки усилий: растяжение или сжатие. При построении диаграмм отмечена закономерность: изменение координаты точек (абсцисс) диаграммы обратно пропорционально изменению стрелы подъема f. Фигура диаграммы изменяет только свою длину. Высота диаграммы зависит от величины нагрузки, то есть значения Р. Таким образом, в случае возникновения необходимости пересчета вариантов конструкций для различных значений стрелы подъема f появляется возможность избежать процессов корректировки и экспертизы конечноэлементной модели (КЭМ). При этом достаточно отмасштабировать диаграмму М-К с учетом соотношения величин стрелы подъема f исходной и конечной схем фермы, а затем снимать значения усилий с готовой диаграммы. Зависимость усилий в элементах фермы от изменения уклона верхнего пояса конструкции (далее - уклона кровли) носит нелинейный характер. Это и является предметом исследования. Для обеспечения объективности оценки данной зависимости рассмотрим варианты конструктивных решений фермы с постоянным шагом изменения уклона кровли: от 20 до 100 % с шагом 10 %. То есть при i = 2f/L = 1/5; 1/3,33; 1/2,5; 1/2; 1/1,67; 1/1,43; 1/1,25; 1/1,11; 1/1 (или при i = 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0). Значения усилий в элементах исследуемой конструкции, установленных по диаграмме М-К, представлены в табл. 1. На основании данных табл. 1 построим диаграмму (рис. 4), предварительно сгруппировав одинаковые значения данных, и проведем ее анализ. Диаграмма на рис. 4 отражает значения продольных усилий N в элементах фермы в зависимости от уклона кровли. Величины отношения значений усилий к их минимальному значению (в данном случае при уклоне кровли 1:1) приведены в табл. 2. Диаграмма на рис. 5 отражает значения усилий в элементах фермы в зависимости от уклона кровли. Анализируя диаграмму на рис. 5, можно наблюдать закономерность значений приращений усилий, которые приведены в табл. 2. Данные табл. 3 показывают, что по мере понижения уклона кровли значения приращений на каждом шаге увеличиваются с 27 % в два раза. Однако этих данных недостаточно. Для достижения объективности анализа полученных данных необходимо установить функциональную зависимость выходных данных от значений варьируемого параметра. В данном случае это зависимость изменения значений внутренних усилий в элементах фермы от соотношения стрелы подъема к пролету исследуемой конструкции, которое выражается с помощью величины уклона кровли: i = 2f/L, то есть отношением стрелы подъема к половине пролета. Изображение выглядит как снимок экрана, диаграмма, черный, линия Автоматически созданное описание а Изображение выглядит как диаграмма, линия, Технический чертеж, План Автоматически созданное описание б Изображение выглядит как диаграмма, линия, зарисовка, Технический чертеж Автоматически созданное описание в Изображение выглядит как диаграмма, линия, оригами Автоматически созданное описание г Рис. 3. Диаграмма М-К для фермы пролетом L = 12 м: а - f = 4 м (i = 1:1,5); б - f = 3 м (i = 1:2); в - f = 2 м (i = 1:3); г - f = 1,5 м (i = 1:4) Figure 3. Maxwell - Cremona diagram (thereafter M-C) of for a truss with span L = 12 m: а - f = 4 m (i = 1:1.5); б - f = 3 m (i = 1:2); в - f = 2 m (i = 1:3); г - f = 1,5 m (i = 1:4) Таблица 1 Значения усилий N в элементах ферм, установленных по диаграмме М-К № элементов Уклон 1:n 1:5 1:3,33 1:2,5 1:2 1:1,67 1:1,43 1:1,25 1:1,11 1:1 Уклон i, в долях 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1-9 (НП) 15,369 10,292 7,768 6,264 5,270 4,568 4,047 3,647 3,332 1-6 (НП) 15,369 10,292 7,768 6,264 5,270 4,568 4,047 3,647 3,332 2-6 (ВП) 15,616 10,658 8,246 6,848 5,952 5,340 4,902 4,578 4,331 3-7 (ВП) 11,154 7,613 5,890 4,891 4,252 3,815 3,502 3,270 3,094 4-8 (ВП) 11,154 7,613 5,890 4,891 4,252 3,815 3,502 3,270 3,094 5-9 (ВП) 15,616 10,658 8,246 6,848 5,952 5,340 4,902 4,578 4,331 6-7 (Р/НП) 4,391 2,941 2,219 1,790 1,506 1,305 1,156 1,042 0,952 7-8 (Р/НП) 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 8-9 (Ст) 4,391 2,941 2,219 1,790 1,506 1,305 1,156 1,042 0,952 Примечание: НП - нижний пояс конструкции; ВП - верхний пояс конструкции; Р/НП - элементы решетки, являющиеся продолжением ветвей НП; Ст - стойка. Table 1 Values of forces N in the elements of the trusses assigned according to the M-C diagram Number of elements Slope 1:n 1:5 1:3.33 1:2.5 1:2 1:1.67 1:1.43 1:1.25 1:1.11 1:1 Slope i, in fractions 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1-9 (LB) 15.369 10.292 7.768 6.264 5.270 4.568 4.047 3.647 3.332 1-6 (LB) 15.369 10.292 7.768 6.264 5.270 4.568 4.047 3.647 3.332 2-6 (UB) 15.616 10.658 8.246 6.848 5.952 5.340 4.902 4.578 4.331 3-7 (UB) 11.154 7.613 5.890 4.891 4.252 3.815 3.502 3.270 3.094 4-8 (UB) 11.154 7.613 5.890 4.891 4.252 3.815 3.502 3.270 3.094 5-9 (UB) 15.616 10.658 8.246 6.848 5.952 5.340 4.902 4.578 4.331 6-7 (S/LB) 4.391 2.941 2.219 1.790 1.506 1.305 1.156 1.042 0.952 7-8 (G/LB) 3.375 3.375 3.375 3.375 3.375 3.375 3.375 3.375 3.375 8-9 (R) 4.391 2.941 2.219 1.790 1.506 1.305 1.156 1.042 0.952 Note: LB - lower belt of the structure; UP - upper belt of the structure; G/LB - grid elements, which are extensions of LB branches; R - rack. Таблица 2 Отношения значений усилий в каждом элементе фермы к соответствующему минимальному значению Ni/Nmin № элементов Уклон 1:n 1:5 1:3,33 1:2,5 1:2 1:1,67 1:1,43 1:1,25 1:1,11 1:1 Уклон i, в долях 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1-6, 1-9 (НП) 4,613 3,089 2,331 1,880 1,582 1,371 1,215 1,095 1,0 2-6, 5-9 (ВП) 3,606 2,461 1,904 1,581 1,374 1,233 1,132 1,057 1,0 3-7, 4-8 (ВП) 3,606 2,461 1,904 1,581 1,374 1,233 1,132 1,057 1,0 6-7, 8-9 (Р/НП) 4,613 3,089 2,331 1,880 1,582 1,371 1,215 1,095 1,0 7-8 (Ст) 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Примечание: НП - нижний пояс конструкции; ВП - верхний пояс конструкции; Р/НП - элементы решетки, являющиеся продолжением ветвей НП; Ст - стойка. Table 2 The ratio of the force values in each truss element to the corresponding minimal value Ni/Nmin Number of elements Slope 1:n 1:5 1:3.33 1:2.5 1:2 1:1.67 1:1.43 1:1.25 1:1.11 1:1 Slope i, in fractions 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1-6, 1-9 (LB) 4.613 3.089 2.331 1.880 1.582 1.371 1.215 1.095 1.0 2-6, 5-9 (UB) 3.606 2.461 1.904 1.581 1.374 1.233 1.132 1.057 1.0 3-7, 4-8 (UB) 3.606 2.461 1.904 1.581 1.374 1.233 1.132 1.057 1.0 6-7, 8-9 (G/LB) 4.613 3.089 2.331 1.880 1.582 1.371 1.215 1.095 1.0 7-8 (R) 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 Note: LB - lower belt of the structure; UP - upper belt of the structure; G/LB - grid elements, which are extensions of LB branches; R - rack. Рис. 4. Диаграмма значений продольных усилий N в элементах фермы от единичной нагрузки (P = 1) в зависимости от уклона кровли Figure 4. Diagram of the values of longitudinal forces N in the truss elements from a singular load (P = 1) depending on the roof slope Таблица 3 Приращения усилий для каждого шага изменения уклона кровли i № элементов Уклон 1:n 1:5 1:3,33 1:2,5 1:2 1:1,67 1:1,43 1:1,25 1:1,11 1:1 Уклон i, в долях 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 1-6, 1-9 (НП) 5,076 2,524 1,504 0,994 0,703 0,521 0,400 0,315 2-6, 5-9 (ВП) 4,958 2,412 1,398 0,896 0,612 0,438 0,324 0,247 3-7, 4-8 (ВП) 3,541 1,723 0,999 0,640 0,437 0,313 0,232 0,176 6-7, 8-9 (Р/НП) 1,450 0,721 0,430 0,284 0,201 0,149 0,114 0,090 7-8 (Ст) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Примечание: НП - нижний пояс конструкции; ВП - верхний пояс конструкции; Р/НП - элементы решетки, являющиеся продолжением ветвей НП; Ст - стойка. Table 3 The force increments for each step of the changing in roof slope i Number of elements Slope 1:n 1:5 1:3.33 1:2.5 1:2 1:1.67 1:1.43 1:1.25 1:1.11 1:1 Slope i, in fractions 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 1-6, 1-9 (LB) 5.076 2.524 1.504 0.994 0.703 0.521 0.400 0.315 2-6, 5-9 (UB) 4.958 2.412 1.398 0.896 0.612 0.438 0.324 0.247 3-7, 4-8 (UB) 3.541 1.723 0.999 0.640 0.437 0.313 0.232 0.176 6-7, 8-9 (G/LB) 1.450 0.721 0.430 0.284 0.201 0.149 0.114 0.090 7-8 (R) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Note: LB - lower belt of the structure; UP - upper belt of the structure; G/LB - grid elements, which are extensions of LB branches; R - rack. Рис. 5. Диаграмма величин отношения значений усилий в элементах фермы Ni к их минимальному значению Nmin (НП + Р - нижний пояс и решетка; ВП - верхний пояс) / Figure 5. Diagram of the ratio of force values in the truss elements Ni to their minimum value Nmin (LB + G - lower belt and grid; UB - upper belt) Результаты аппроксимации показывают, что для характера возрастания усилий в элементах нижнего пояса фермы и решетки (кроме стойки) справедлива следующая функциональная зависимость (рис. 5): y1 = 27,516x4 - 80,78x3 + 89,153x2 - 45,637x + 10,761. (1) Степень возрастания усилий в элементах верхнего пояса фермы характеризуется функцией y2 = 21,198x4 - 62,225x3 + 68,574x2 - 34,816x + 8,2778. (2) Как известно, ускорение возрастания или убывания функции характеризуется ее производной. Тогда производная функции (1) примет вид y1’ = 110,064x3 - 242,34x2 + 178,31x - 45,637. (3) Производная функции (2) будет иметь вид y2’ = 84,792x3 - 186,68x2 + 137,15x - 34,816. (4) На рис. 5 приведены графики производных функций y1’ и y2’, представленные выражениями (3) и (4). Анализ графиков показывает, что минимальные значения усилий в элементах фермы возникают при уклонах верхнего пояса конструкции в диапазоне i = 0,6-1,0. Этот диапазон и будет являться областью его эффективных значений (рис. 6). Область эффективных значений уклона кровли i / The area of effective values of the roof slope i Рис. 6. Графики производных функций, характеризующих ускорение изменения усилий в элементах ферм в зависимости от уклона кровли Figure 6. Graphs of derivative functions characterizing the acceleration of force changes in truss elements depending on the roof slope Результаты проведенного исследования показывают, что инженеры могут варьировать форму диаграммы усилий М-К по своему усмотрению и тем самым регулировать жесткостные характеристики элементов конструкции, при этом существует возможность визуализировать процесс работы графически. Растущий спрос на изготовление конструкций с эффективным использованием материалов требует применения интуитивно понятных инструментов, позволяющих проектировщикам использовать взаимосвязь между формой конструкции и усилиями в ее элементах на начальных стадиях процесса проектирования. Учитывая современные возможности автоматизированного проектирования, решение поставленных задач при помощи диаграммы Максвелла - Кремоны становится достаточно быстрым и наглядным. Изначально рассчитывать ферму удобнее и быстрее в специализированных расчетных комплексах, но затем, пользуясь графическим методом определения усилий М-К, можно проверять варианты уклона кровли в поиске рационального решения конструкции фермы типа «ножницы». 4. Заключение Предложен алгоритм поиска эффективного конструктивного решения ферм типа «ножницы». В результате геометрическая основа преобразуется в вычислительную, которая позволяет в режиме реального времени плавно проводить аппроксимацию и вычислять усилия в элементах. Установлена зависимость значений усилий от величины стрелы подъема: изменение координаты точек (абсцисс) диаграммы обратно пропорционально изменению f. Выявлено, что по мере уменьшения уклона кровли значения приращений усилий в элементах фермы на каждом шаге увеличиваются с 27 % в два раза. На основании графического анализа полученных данных определен диапазон эффективных значений уклона кровли, при котором усилия в элементах фермы принимают минимальные значения: i = 0,6-1,0. Таким образом, предлагаемый метод способствует выбору более экономичных конструктивных решений. Проведенный расчет методом Максвелла - Кремоны продемонстрировал, что современный уровень развития математических алгоритмов для строительных конструкций дает возможность находить рациональные конструктивные решения графическим способом. Но если CAE-системы позволяют корректировать конечноэлементную модель путем масштабирования для придания требуемой высоты подъема f, то изменение положения точек примыкания ветвей нижнего пояса к верхнему более трудоемко. Следующий этап исследований будет посвящен изучению зависимости значений усилий в элементах ферм типа «ножницы» от положения точек сопряжения ветвей нижнего пояса с верхним (регулируется соотношением a/b, см. рис. 1).

About the authors

Vladimir A. Repin

Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs

Email: skia2000@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9107-6606

PhD of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Building Structures, Institute of Аrchitecture, Civil Engineering and Energy

Vladimir, Russian Federation

Anastasia V. Lukina

Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs

Author for correspondence.
Email: pismo.33@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-6065-678X

PhD of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Building Structures, Institute of Аrchitecture, Civil Engineering and Energy

Vladimir, Russian Federation

Alexey S. Usov

Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs

Email: usovlexx@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6160-9889

master's student, Institute of Аrchitecture, Civil Engineering and Energy

Vladimir, Russian Federation

References

Supplementary files