Bulking of physically nonlinear plates under the action of dynamic shearing loads

Full Text

Введение Исследования, связанные с выпучиванием пластин под действием динамических сдвигающих нагрузок, являются актуальными. При наличии нелинейных диаграмм деформирования материалов необходимо учитывать влияние физической нелинейности на динамическое выпучивание пластин. Такие явления могут возникать в панелях обшивок летательных аппаратов при прохождении акустической волны, в судовых конструкциях от воздействия волн, в строительных конструкциях под действием сейсмических нагрузок. Большое количество публикаций посвящено расчету пластин и пластинчатых систем в статической и динамической постановках. В монографиях А.С. Вольмира [1; 2] рассматривались вопросы устойчивости и колебаний пластин и оболочек. В работе В.З. Власова [3] в линейной постановке были выполнены исследования устойчивости пластинчатых систем и пластин различной формы. В монографии П.А. Лукаша [4] в геометрически и физически нелинейной постановке исследованы пластины и оболочки. Результаты расчетов на устойчивость и колебания пластин и пластинчатых систем (типа призматических оболочек) с учетом физической и геометрической нелинейности ранее были представлены в [5-7]. Вопросам устойчивости пластин и оболочек в статической и динамической постановках (в том числе с учетом нелинейности) посвящены современные научные публикации в отечественных [8-12] и зарубежных журналах [13-19]. Целью работы является разработка методики расчета на выпучивание пластины под действием динамической сдвигающей нагрузки по краям пластины с учетом физической нелинейности материала. Постановка задачи Представим диаграмму деформирования материала пластины - зависимость между интенсивностями напряжений σi и деформаций еi - в виде полинома: (1) где Е и Е1 - постоянные, которые определяются из экспериментальных данных [5]. Интенсивность деформаций еi выразим через составляющие деформации εх, εу, εz в направлениях осей х, у и z соответственно: (2) Здесь приняты следующие обозначения: где w = w(x, y, t) - функция прогиба пластины (t - время). Учитывая гипотезы Кирхгофа - Лява (σz = 0, εxz = εyz = 0), выражаем объемную деформацию θ и деформацию εz в направлении оси z через εx и εy: (3) (4) Методы Для решения задачи (вывода конечных уравнений) используем энергетический метод. Запишем удельную энергию Ф изменения объема и формы [4]: (5) где - модуль объемного сжатия; ν - коэффициент Пуассона. Определим работу А, отнесенную к единице площади поверхности пластины, (6) где δ - толщина пластины. Составим полную энергию L деформирования (состоит из потенциальной П и кинетической Т энергий) под действием по краям пластины динамической сдвигающей нагрузки S(t) (рис. 1): L = П + Т, (7) (8) (9) Рис. 1. Пластина под действием динамической сдвигающей нагрузки S(t) Figure 1. The plate under the action of dynamic shearing load S(t) В уравнениях (8), (9) индексы при w показывают частные производные по указанным переменным, g - ускорение свободного падения, ρ - объемный вес материала, q - поперечная нагрузка, которая вводится для учета начального несовершенства пластины. Для того чтобы получить конечные уравнения, представим прогибы в виде ряда [3]: (10) Здесь Wi(t) - обобщенные перемещения, зависящие только от времени t. Координатные функции fi (x, y) выбираются по виду деформированного состояния пластины. Подставляя (10) в (9), выразим полную энергию L через Wi(t) и ее производные по времени t. Двойные интегралы от функций fi (x, y) дают коэффициенты линейных и нелинейных частей уравнения. Определим экстремальное значение L, используя уравнение Лагранжа: (11) где Wi,t = dWi /dt. Раскрывая (11), получим уравнения колебательного движения точек пластины под действием динамической сдвигающей нагрузки: (12) Правая часть уравнения (12) учитывает физическую нелинейность пластины и представлена в [5]. Коэффициенты левой части уравнения имеют вид (13) Здесь приняты обозначения производных: Пример реализации задачи В качестве примера рассмотрена квадратная в плане пластина со стороной а, толщиной δ = 0,05а, коэффициент Пуассона ν = 0,32. Пусть на пластину по краям действуют динамические сдвигающие нагрузки S(t) (рис. 1), изменяющиеся по закону: S(t) = kt, (14) где k - коэффициент, показывающий скорость изменения нагрузки. Принимаем, что пластина опирается по краям шарнирно. Функцию прогиба по (10) запишем в виде (15) где Введем следующие обозначения: где Sкр - статическая критическая нагрузка при сдвиге. После некоторых преобразований с учетом принятых обозначений и уравнения (15) система уравнений (12) принимает следующий вид: (16) Здесь коэффициенты К1-К4 нелинейной части уравнений определяются подобно коэффициентам (13). Результаты Интегрируются нелинейные дифференциальные уравнения (16) численным методом Рунге - Кутта с помощью программы, составленной на языке Фортран IV. По результатам расчета в безразмерных параметрах построены графики зависимости обобщенной величины прогиба ξ1 от обобщенной величины динамической сдвигающей нагрузки t* (рис. 2). Изменение величины ξ2 идентично изменению ξ1, поэтому на рис. 2 графики ξ2 - t* не представлены. Кривые 1 и 4 построены по линейной теории, 3 и 5 - с учетом физической нелинейности при следующих степенях физической нелинейности: Е1/Е = 104, кривая 2 - при Е1/Е = 103. Графики зависимости, построенные по линейной теории, совпадают с результатами расчета, полученными в [2]. Рис_2 для Статьи.jpg Рис. 2. Графики зависимости параметра выпучивания ξ1 от величины t* Figure 2. Graphs of the dependence of the buckling parameter ξ1 on the value of t* Заключение При увеличении скорости нагружения S* динамическая критическая сдвигающая нагрузка значительно превышает статическую критическую нагрузку с учетом и без учета физической нелинейности (см. величину t*). Учет физической нелинейности значительно снижает величину t* (см. кривые 1 и 3 на рис. 2). Если считать t* за «динамический коэффициент» Кдин, то его значение сильно зависит от скорости нагружения S*. Выпучивание пластины происходит по диагонали с образованием одного гофра, согласно заданным функциям f1(x, y) и f2(x, y), что подтверждается экспериментально [2]. При быстром изменении нагрузки выпучивание может происходить с образованием нескольких гофров и этому вопросу будут посвящены дальнейшие исследования.

About the authors

Sergey P. Ivanov

Volga State University of Technology; Mari State University

Author for correspondence.
Email: IvanovSP@volgatech.net
ORCID iD: 0000-0002-5206-9574

Doctor of Science, Professor, Head of the Department of Strength of Materials and Applied Mechanics, Volga State University of Technology; Professor of the Department of Electromechanics, Mari State University

3 Ploshchad’ Lenina, Yoshkar-Ola, 424000, Russian Federation; 1 Ploshchad’ Lenina, Yoshkar-Ola, 424000, Russian Federation

References

Supplementary files