Dynamic Loading of Bar Systems with a Finite Number of Degrees of Freedom

Full Text

1. Введение Как систему с конечным числом степеней свободы можно рассматривать механическую стержневую систему, если жесткость стержней значительно превышает жесткость упругих опор. Роль упругих пружин могут выполнять различные стержневые системы (балки, рамы, фермы как статически определимые, так и статически неопределимые), имеющие конечную жесткость. При наличии большой скорости нагружения элементы стержня не успевают переместиться в направлении, перпендикулярном к оси стержня. На основании этого сжимающее усилие может достигнуть критической величины и даже превысить ее в несколько раз, раньше, чем отклонения достигнут заметных величин. Под действием динамических нагрузок рассматривалась устойчивость пластинчатых систем в [1-3]. При действии продольной нагрузки на стержневую систему с промежуточными упругими опорами возникает задача устойчивости систем с конечным числом степеней свободы, а при действии нагрузки быстро изменяющейся во времени ставится задача динамической устойчивости. Устойчивость геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочек при действии локальных поперечных динамических нагрузок различных типов была исследована в [4-7]. Устойчивость стержневых систем рассматривалась в [8-12]. В [13] изложены результаты численного анализа динамической потери устойчивости нелинейно-деформируемых сетчатых пластин из композиционного материала. Статическая и динамическая устойчивость пластин рассматривалась в [14-17]. Вопросам динамической и статической устойчивости стержней, пластин и оболочек посвящены работы иностранных авторов [18-23]. Поведение сжатых стержневых систем с конечным числом степеней при внезапном нагружении рассматривалось А.В. Александровым, В.Д. Потаповым, В.Б. Зылевым[3]. Дальнейшая разработка методики расчета на динамическую устойчивость стержневых систем с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей. Цель исследования - разработка методики расчета на динамическую устойчивость стержневых систем с конечным числом степеней свободы. 2. Постановка задачи 1. Рассмотрим известную статическую задачу устойчивости стержневой системы с одной степенью свободы (рис. 1) при действии продольной статической силы Р(t) = P. Данную задачу можно решить тремя способами: статическим, энергетическим и динамическим. Статическая величина критической силы составляет Ркр = r/l, (1) где r - жесткость опорной пружины, характеризует величину момента, возникающего в основании при повороте опорного сечения 0 на единицу. Рис. 1. Схема действия нагрузки на систему с одной степенью свободы И с т о ч н и к: выполнено С.П. Ивановым, О.Г. Ивановым Figure 1. Load diagram of the system with one degree of freedom S o u r c e: made by S.P. Ivanov, O.G. Ivanov Рассмотрим динамическое нагружение продольной силой Р(t), зависящей от времени t (рис. 1). Возможное движение системы характеризуется поворотом стержня относительно опорной точки 0. Нелинейное дифференциальное уравнение движения имеет вид 2 = P t l( ) sinθ θ- +r Ql cosθ, (2) где θ - угол поворота стержня, I = ml3/3 - момент инерции массы m стержня относительно опорной точки 0, Q - малая величина поперечной нагрузки, приложенной к верхней точке стержня для учета начального несовершенства. Сжимающая нагрузка зависит от времени t в следующей форме: P(t) = kt, (3) где k измеряется в кН/c, характеризует скорость изменения сжимающей нагрузки. Введем новый параметр времени t1 = PP( )крt = Pktкр . (4) Запишем уравнение (1) через новый параметр (4), используя правило замены переменных в дифференциальных выражениях 1 d2θ Q 2 = (t1sinθ - θ) + Pкр cosθ, (5) S1 dt1 где S1 - величина, учитывающая скорость изменения сжимающей нагрузки и равная P lкр3 r3 r3 S1 = 2 = 2 2 = 3 5 2 . (6) Ik Il k ml k S1 обратно пропорциональна величине k2. 2. Перейдем к рассмотрению системы с двумя степенями свободы (рис. 2). Из решения статической задачи получаем два значения критической силы. Минимальная величина Pкр = r/l и соответствует симметричной форме потери устойчивости. Рис. 2. Схема действия нагрузки на систему с двумя степенью свободы И с т о ч н и к: выполнено С.П. Ивановым, О.Г. Ивановым Figure 2. Load diagram of the system with two degrees of freedom S o u r c e: made by S.P. Ivanov, O.G. Ivanov На систему действует продольная динамическая сила P(t). Составим возможные движения системы, характеризуемые поворотом θ1, θ2 стержней относительно опорных точек A и D. Среднее звено ВС совершает движение поворотное и поступательное. Моменты инерции I масс крайних звеньев и I0 массы среднего звена выражаются по следующим формулам: l 3 l/2 3 I = mx dx2 = ml , I0 = mx dx2 = ml . (7) 0 3 -l/2 12 Запишем уравнения движения стержневой системы с учетом геометрической нелинейности: 4I ddt2θ1 + I ddt2θ22 =-[5rθ1 - 2P t l( ) sinθ1] +[4rθ2 - P t l( ) sinθ2]+ Ql cosθ1, 2 I ddt2θ21 + 4I ddt2θ22 =[4r θ1 - P t l( ) sinθ1] -[5rθ2 - 2 ( )P t lsinθ2]+ Qlcosθ2, (8) здесь r - жесткости пружин, действующие в шарнирах В и С; P(t) - динамическая нагрузка определяется по формуле (3). Поделив первое и второе уравнения (8) на Pкр и вводя новый параметр времени t1 по формуле (4), получим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений: 1 d2θ21 =(3t1sinθ1 - 8θ1) (+ 7θ2 - 2t1sinθ2)+ PQкр cosθ1, S2 dt1 = (7θ1 - 2t1sinθ θ1 1) + (3t1sinθ2 -8θ2) + cosθ2, S2 dt12 Pкр где (9) 6P3 S = кр = 6r3 . 2 5 2 5mlk 5ml k (10) 1 d2θ Q Начальное несовершенство учитывалось малыми величинами поперечных нагрузок Q∗ = Q/Pкр, прикладываемых к шарнирам В и С. 3. Примеры реализации задач 1. Дифференциальное уравнение (5) реализовывалось численным методом Рунге - Кутта. По результатам расчета на рис. 3 представлены графики изменения угла θ от изменения динамической нагрузки t1=P(t)/Pкр. Проанализируем результаты, представленные на рис. 3. Из сравнения графиков 1 и 2 видно, что при одинаковой скорости изменения нагрузки S1= 0,1, но разной величины Q∗ = 0,01 и Q∗ = 0,02 более быстрый рост угла θ наблюдается при большей величине Q∗ = 0,02. С увеличением скорости изменения динамической нагрузки S1 = 0,05 при тех же значениях Q∗ = 0,02 и 0,01 кривые 3 и 4 смещаются правее. Так, при отклонении стержня с угла θ = 0,07 рад. наблюдается очень быстрый рост кривых 1 и 2, 3 и 4. Из графиков 1 и 2, 3 и 4 следует: при θ = 0,04 рад. величина t1 составляет соответственно 5 и 6; 7 и 8. Это значит, что при увеличении скорости действия нагрузки увеличивается величина динамической нагрузки, которая превышает статическую критическую силу в несколько раз. 2. Система дифференциальных уравнений (8) интегрировалась численным методом. Начальное несовершенство учитывалось нагрузкой Q∗ = Q/Pкр. Результаты представлены на рис. 4. Рассматривая график 1, видно, что при S2 = 0,2 и Q∗ = 0,2 кривая 1 зависимости θ - t1 резко начинает уходить вверх, начиная с угла θ = 1 рад, величина t1 ≈ 5. Кривые 2 и 3 достаточно близко проходят друг от друга. При одинаковых скоростях S2 = 0,1, но разных величин Q∗ = 0,2 и 0,3 у графика 2 начинается более быстрый рост угла θ при t1 ≈ 6. Принимая за критерий θ = 1, у всех кривых 1-4 наблюдается асимптотический рост угла θ, соответственно имеем значения t1 = 5; 5,93; 6,5; 7,42. Это значит, что при этих значениях кривые начинают резко уходить вверх. Так, при t1 = 6 величина угла θ = 2,2 рад. (продолжение кривой 1). Рис. 3. Графики зависимости угла θ от параметра времени t1 для системы с одной степенью свободы: 1 - при значениях S1 = 0,1 и Q∗ = 0,02; 2 - при значениях S1 = 0,1 и Q∗ = 0,01; 3 - при значениях S1 = 0,05 и Q∗ = 0,02; 4 - при значениях S1 = 0,05 и Q∗ = 0,01 И с т о ч н и к: выполнено С.П. Ивановым, О.Г. Ивановым, А.С. Ивановой Figure 3. Graphs of the relationship between the angle θ and the time parameter t1 for a system with one degree of freedom: 1 - for values S1 = 0.1 and Q∗ = 0.02; 2 - for values S1= 0.1 and Q∗ = 0.01; 3 - for values S1= 0.05 and Q∗ = 0.02; 4 - for values S1 = 0.05 = 0.01 and Q∗= 0.01 S o u r c e: made by S.P. Ivanov, O.G. Ivanov, A.S. Ivanova Рис. 4. Графики зависимости углов θ от параметра времени t1: 1 - при значениях S2 = 0,2 и Q∗ = 0,2; 2 - при значениях S2 = 0,1 и Q∗ = 0,3; 3 - при значениях S2 = 0,1 и Q∗ = 0,2; 4 - при значениях S2 = 0,1 и Q∗ = 0,1 И с т о ч н и к: выполнено С.П. Ивановым, О.Г. Ивановым, А.С. Ивановой Figure 4. Graphs of the relationships between the angles θ and the time parameter t1: 1 - at values S2 = 0.2 and Q∗ = 0.2; 2 - at values S2 = 0.1 and Q∗ = 0.3; 3 - at values S2 = 0.1 and Q∗ = 0.2; 4 - at values S2 = 0.1 and Q∗ = 0.1 S o u r c e: made by S.P. Ivanov, O.G. Ivanov, A.S. Ivanova На рис. 5 построены графики 1 и 2 при действии сжимающей нагрузки P(t) соответственно на систему с одной и двумя степенями свободы при одинаковых величинах S = 0,1 и Q∗ = 0,1. Из сравнения графиков 1 и 2 видно, что при одинаковых данных угол θ начинает быстрее расти в системе с одной степенью свободы. Так, при θ = 1 рад. величина t1 = 5 (кривая 1) и t1 = 7 (кривая 2). Соотношение между параметрами, учитывающими скорость изменения сжимающей нагрузки, составляет S1/S2 = 2,5. Параметр k2, для обеих стержневых систем будет одинаков при S1 = 2,5·S2. Принято следующее обозначение: r3 S = 5 2 . (11) ml k Рис. 5. Диаграммы «угол поворота θ - время t1» для сжатых стержневых систем с конечным числом степеней свободы при динамическом нагружении И с т о ч н и к: выполнено С.П. Ивановым, О.Г. Ивановым, А.С. Ивановой Figure 5. “Rotation angle θ - time t1” diagrams for compressed bar systems with a finite number of degrees of freedom under dynamic loading S o u r c e: made by S.P. Ivanov, O.G. Ivanov, A.S. Ivanova 4. Заключение В результате проведенного исследования получены дифференциальные уравнения, описывающие зависимость θ - t1 при динамическом нагружении для стержневых систем с конечным числом степеней свободы: c одной и двумя степенями свободы. Следует отметить следующее: 1. Во всех случаях при увеличении скорости нагружения в несколько раз увеличивается динамическая нагрузка по отношению к статической критической силе, что подтверждается расчетами, выполненными А.С. Вольмиром для систем с бесконечным числом степеней свободы. Такой вывод можно сделать, так как систему с бесконечным числом степеней свободы можно заменить системой с конечным числом степеней свободы. 3. При одинаковых скоростях нагружения и одинаковой величине Q∗ график зависимости θ - t1 находится левее для системы с одной степенью свободы по сравнению с графиком для системы с двумя степенями свободы.

About the authors

Sergei P. Ivanov

Volga Region State Technological University; Mari State University

Author for correspondence.
Email: IvanovSP@volgatech.net
ORCID iD: 0000-0002-5206-9574
SPIN-code: 5963-6739

Doctor of Technical Sciences, Head of the Department of Materials Resistance and Applied Mechanics, Volga State University of Technology; Professor of the Department of Electrical Mechanics, Mari State University

3 Lenin Sq, 424000, Yoshkar-Ola, Russian Federation; 1 Lenin Sq, 424000, Yoshkar-Ola, Russian Federation

Oleg G. Ivanov

Volga Region State Technological University

Email: IvanovOG@volgatech.net
ORCID iD: 0009-0005-2401-6423
SPIN-code: 5052-9077

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Materials Resistance and Applied Mechanics

3 Lenin Sq, 424000, Yoshkar-Ola, Russian Federation

Anastasia S. Ivanova

Volga Region State Technological University

Email: IvanovaAS@volgatech.net
ORCID iD: 0009-0005-3787-5067
SPIN-code: 9568-3451

Senior Lecturer of the Department of Materials Resistance and Applied Mechanics

3 Lenin Sq, 424000, Yoshkar-Ola, Russian Federation

References

Supplementary files