Finite Element for the Analysis of Massive Reinforced Concrete Structures with Cracking

Full Text

1. Введение Предпосылки для расчета железобетонных конструкций в нелинейной постановке были обусловлены развитием компьютерных технологий, с одной стороны, и развитием численных методов строительной механики, в первую очередь метода конечных элементов - с другой [1-4]. При этом нелинейное деформирование бетона с учетом реальных упругопластических свойств в условиях объемного напряженного состояния исследовалось на протяжении XX в. как отечественными, так и зарубежными учеными [5-10]. Очевидно, что современные методы расчеты железобетонных конструкций должны разрабатываться на основании численных методов строительной механики с учетом нелинейных эффектов, присущих бетону и арматуре, установленных экспериментальным путем. Поэтому корректное моделирование объем- ного напряженного состояния бетона с учетом его упругопластических характеристик является ответственной задачей, и для повышения достоверности расчеты следует проводить с использованием нескольких вычислительных программ. В связи с этим разработка альтернативных методов расчета и соответствующих программ является актуальной задачей. Для решения данной задачи в настоящей статье приводится методика расчета железобетонных конструкций, находящихся в условиях объемного напряженного состояния, с учетом хрупкого разрушения бетона сжатой зоны, а также трещинообразования в растянутом бетоне. На основании данной методики построен объемный конечный элемент, реализованный в ВК ПРИНС[2]. 2. Метод В ВК ПРИНС расчет физически нелинейных конструкций методом конечных элементов ведется в приращениях по уравнению [1]: + Δ Δ=Δ , (1) где Δ = - . Матрицы жесткости и вычисляются в начале и конце каждой итерации. Уравнение (2) решается итерационным способом [11; 12]: Δ = Δ-Δ Δ , (2) где i - номер итерации. При достижении сходимости итерационного процесса вычисляются полные значения перемещений и напряжений по формулам: = + Δ , σ = σ + Δσ, (3) где Δ и Δσ - приращения перемещений и напряжений соответственно. Приращения напряжений, обусловленные приращением деформаций Δε, определяются по формуле Δσ = С Δε, (4) где - упругопластическая матрица характеристик материала. В общем случае на каждом шаге нагружения анализируется напряженное состояние материала и при возникновении пластических деформаций и (или) трещин производится корректировка напряжений с учетом принятых диаграмм деформирования. Это требует проведения процесса уравновешивания конструкции. Итерации равновесия производятся по формуле (1), которая модифицируется к виду Δ = - . (5) В формуле (5) матрица жесткости принимается равной матрице , найденной в конце шага при итерациях по формуле (2). Таким образом, в формуле (3) итерируется матрица жесткости, а в формуле (6) - вектор узловых сил , эквивалентный внутренним напряжениям. Матрица жесткости для отдельного конечного элемента находится по формуле [2]: = V. (6) где - матрица, связывающая компоненты деформаций элемента с компонентами узловых перемещений (геометрическая матрица); - матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций (физическая матрица). Методика вычисления геометрической матрицы хорошо известна (см., например, [3]). Основные предпосылки анализа объемного напряженного состояния Рассматривается четыре вида напряженного состояния: сжатие - сжатие - сжатие, сжатие - сжатие - растяжение, сжатие - растяжение - растяжение, растяжение - растяжение - растяжение. При этом учитываются следующие типы поведения материала: нагружение, разгрузка и догружение. Соответствующие указанным типам поведения пути деформирования материала приведены на рис. 1. Нагружение растянутого бетона после образования трещины (участок C - D - E) происходит с модулем упругости Ei = σ-crεcr , (7) εm где εm - предельная деформация бетона с трещинами при растяжении, σcr и εcr - напряжение и деформация трещинообразования соответственно (см. рис. 1). Разгрузка и догружение бетона с трещинами (участки D - O) подчиняются линейному закону с фиктивным модулем упругости Рис. 1. Пути деформирования материала Источник : выполнено авторами Figure 1. Material Deformation Path S o u r c e : compiled by the authors Ei′ = 1 σcr (εm - εD ) , εcr <εD <εm , (8) εD εm -εcr где εD - текущее значение деформации. Напряжение в растянутом бетоне после возникновения трещины находится по формуле σ σ= сr εεmm --εεcrD . (9) 2.1. Деформирование бетона в области «сжатие - сжатие - сжатие» При построении физической матрицы принята упругая модель при хрупком разрушении бетона в режиме «сжатие - сжатие - сжатие». Поведение бетона считается линейно-упругим вплоть до достижения поверхности разрушения. В качестве поверхности разрушения принята пятипараметрическая модель, предложенная Вилламом и Варнке [13]. На рис. 2 приведено девиаторное сечение этой поверхности, а на рис. 3 - главные меридианы растяжения и сжатия. Условие прочности определяется формулой [13] f ( )σ = f (σm m,τ ,θ)= ( 1 ) τm - =1 0 , (10) r σm,θ Rb где σm и τm - средние значения нормальных и касательных напряжений в окрестности точки, θ - угол вида напряженного состояния, а r (σm,θ)= r - радиус-вектор точки на поверхности разруше- 5Rb ния в девиаторном сечении (см. рис. 2). Радиус-вектор r (σm,θ) определяется формулой [13] ( ) 2r rc ( c2 -rt2 )cosθ+rc (2rt -rc ) 4(rc2 -rt2 )cos2 θ+ 5rt2 - 4rrt c r σm,θ = 4(r2 -rt2 )cos2 θ+ -(rc 2rt )2 . (11) c Рис. 2. Девиаторное сечение поверхности разрушения: rt и rc - меридианы растяжения и сжатия; θ - угол вида напряженного состояния Источник : выполнено авторами Figure 2. Deviatoric section of the fracture surface: rt and rc - the meridians of tension and compression; θ - the angle of the type of the stress state S o u r c e : compiled by the authors Источник : выполнено авторами Figure 3. Tension and compression meridians of fracture surface: Rb and Rbt - ultimate strength of concrete for axial compression and tension; Rbc - ultimate strength of concrete for uniform biaxial compression, r S o u r c e : compiled by the authors Радиус-векторы rt и rc (см. рис. 2) определяют меридианы растяжения (θ= 0) и сжатия (θ π= 3), которые являются квадратными параболами: 2 2 τm t, = rt = a0 + a1 σm + a2 σm , τm c, = rc =b0 +b1 σm +b2 σm . (12) Rb Rb Rb Rb Rb Rb Коэффициенты a0, a1, a2 и b0 , b1, b2 получены на основе экспериментальных данных и в зависимости от параметров модели, приведенных в табл. 1, определяются по формулам: 0 1 2 1 с 2 3ξ -1 ( +ρ ξ) с -1 ρ+1 3 с ξс 3 3 Таблица 1 / Table 1 К определению параметров модели Виллама - Варнке / To the determination of the parameters of the Willam - Warnke model Вид напряженного состояния / Type of stress state Критерий / Criterion Напряжения / Stresses Угол θ / Angle θ 1. Одноосное сжатие / Uniaxial compression Rb σ3=-Rb, σ σ1= =2 0 π 3 2. Одноосное растяжение / Uniaxial tension Rbt σ1=Rbt , σ σ2= =3 0, Rbt =Rbt Rb 0 3. Равномерное двухосное сжатие / Uniform biaxial compression Rbc σ σ1= =2 - σ3=0, Rbc =Rbc Rb Rbc , =1,2 0 4. Трехосное сжатие в режиме высокой компрессии (σ3 < =σ1 σ2, θ= 0) / Triaxial compression in high compression mode (σ3 < =σ1 σ2, θ= 0) σm =-ξt , Rb ξ1>0, τm =rt Rb σ1≠0, σ2≠0, σ3≠0, ξ1= 3,67*, rt =1,59* 0 5. Трехосное сжатие в режиме низкой компрессии (σ3 > =σ1 σ2, θ π=3) / Triaxial compression in low compression mode (σ3 > =σ1 σ2, θ π=3) σm =-ξc , Rb ξ2 >0 , τm =rc Rb , π3 * Согласно результатам экспериментов Лоне и Гашона [7]. В табл. 1 использованы следующие буквенные обозначения: Rb - прочность бетона на одноосное сжатие (призменная или кубиковая), Rbt - прочность бетона на одноосное растяжение, Rbc - прочность бетона на равномерное двухосное сжатие. При этом нормируемые значения прочности являются безразмерными величинами и задаются в долях от Rb . Прочность бетона в условиях трехосного сжатия определяется для режимов низкой и высокой боковой компрессии с использованием соотношений σm =-ξc и τm =rc на основании экспериментальных Rb Rb данных [7]. 2.2. Деформирование бетона в областях «сжатие - сжатие - растяжение», «сжатие - растяжение - растяжение» и «растяжение - растяжение - растяжение» (учет трещинообразования) Физическая матрица для бетона с одной, двумя и тремя трещинами формируется следующим образом. При образовании трещины по первому главному направлению напряженное состояние бетона по двум другим направлениям рассматривается как плосконапряженное и используется модифицированный критерий прочности Мизеса - Губера [14], который сводится к виду f I T 1( σ),I2(Dσ) = β 3I2(Dσ)+αI T1( σ) =σ0, (15) где α и β - эмпирические коэффициенты, которые на основании экспериментальных данных принимаются равными 0,355 и 1,355 соответственно. Отметим, что при α=0 и β=1 уравнение (15) вырождается в критерий пластичности Мизеса - Губера [14]. С принятыми значениями коэффициентов α и β критерий (15) достаточно хорошо согласовывается с результатами двухосных испытаний бетона (рис. 4). Рис. 4. Геометрическая интерпретация критерия текучести (15): I - поверхность разрушения согласно экспериментальным данным Купфера [6]; II - критерий (15); III - критерий пластичности Мизеса - Губера [14] Источник : выполнено авторами Figure 4. Geometric interpretation of the yield criterion (15): I - the fracture surface according to the experimental data of Kupffer [6]; II - the criterion (15); III - the von Mises & Huber plasticity criterion [14] S o u r c e : compiled by the authors Первоначально напряжения в конечном элементе вычисляются в глобальных осях конструкции x - y - z. В момент возникновения первой трещины фиксируется положение главных осей 1 - 2 - 3 (рис. 5). Рис. 5. Анализ напряженного состояния бетона при образовании одной трещины Источник : выполнено авторами Figure 5. Analysis of the stress state of concrete during the formation of one crack S o u r c e : compiled by the authors При возникновении первой трещины материал в объеме элемента распадается, согласно принятой гипотезе, на ряд плосконапряженных пластинок. В каждой такой пластинке существуют такие площадки с нормалями 21 и 31, на которых нормальные напряжения имеют экстремальные значения. Дальнейший анализ трещинообразования производится по главным напряжениям σ2 и σ3, действующим вдоль осей 21 и 31 (см. рис. 5). Данные напряжения, как и угол поворота осей 21 и 31 относительно осей 2 и 3, находятся по общим правилам сопротивления материалов. Дальнейший расчет конструкции выполняется в осях 1 - 21 - 31, для чего предварительно вычисляется матрица направляющих косинусов этих осей в глобальных осях x - y - z. При наличии двух трещин модуль упругости бетона по третьему направлению определяется по диаграмме «напряжение - деформация» для одноосного напряженного состояния, а модули сдвига принимаются по рекомендациям, приведенным в работе [15]. При этом физическая матрица будет выглядеть следующим образом: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 Ce = 0 0 0 G12c 0 0 . (16) c 0 0 0 0 G23 0 G31c 0 0 0 0 0 При наличии трех трещин модуль упругости E равен нулю. Модуль E в матрице Ce (16) принимается равным либо начальному модулю, если бетон в третьем главном направлении растянут, либо касательному модулю кривой «напряжение - деформация», если бетон по третьему главному направлению сжат. Эксперименты показывают, что треснувший бетон с арматурой передает значительные касательные напряжения. При этом на величину сдвиговой жесткости влияют такие факторы, как ширина раскрытия трещины, коэффициент армирования, диаметр арматуры, структура бетона и др. [15]. Следуя рекомендациям [15], модуль сдвига примем как функцию текущей растягивающей деформации. Так, для бетона с трещиной в первом главном направлении G12c = 0,25G 1- ε1 , G12c = 0 , если ε1 > 0,004, G31c = G12c , (17) 0,004 где G - модуль сдвига бетона без трещин; ε1 - растягивающая деформация по главному направлению 1. Для бетона с трещиной в двух направлениях: G13c = 0,25G 1- ε1 , G13c = 0 , если ε1 > 0,004, 0,004 G23c = 0,25G 1- 2 , G23c = 0 , если ε2 > 0,004 , 0,004 G12c = 1 min G G13 13c , c . 2 Для бетона с трещиной в трех направлениях: G1= 0,25G 1- ε1 , G1 = 0 , если ε1 > 0,004, 0,004 (18) G2 = 0,25G 1- ε2 , G2 = 0, если ε2 > 0,004 , 0,004 (19) ε G3 = 0,25G 1- ε3 , G3 = 0 , если ε3 > 0,004, 0,004 G G G12c = 23c = 31c =min[G G G1 2 3, , ] . На основании приведенного алгоритма разработана программа, адаптированная к вычислительному комплексу ПРИНС [18-20]. 3. Результаты и обсуждение Для тестирования разработанного конечного элемента были использованы результаты собственных экспериментов авторов, выполненных в лаборатории строительных конструкций и материалов департамента строительства инженерной академии РУДН, в ходе которых исследовалось напряженно-дефор- мированное состояние железобетонной балки (рис. 6). Рис. 6. Общий вид экспериментальной балки и использованного оборудования Источник : фото В.П. Агапова, А.С. Марковича Figure 6. General view of the experimental beam and used equipment S o u r c e : photo by V.P. Agapov, A.S. Markovich Для оценки напряженного состояния, в соответствии с методикой эксперимента, по направлению главных деформаций в 21 точке на поверхности балки были наклеены тензорезисторы BF120-20AA с базой 20 мм, подключаемые по полной мостовой схеме к 24-канальной тензостанции ZETLAB. Эксперимент проводился на испытательной установке Matest с постоянной скоростью нагружения 10 Н/c. При этом нагрузка, деформации и перемещения характерных точек балки записывались синхронно. Материал балки - бетон класса В60. Балка имела продольное армирование арматурой класса А400 Ø10 (рис. 7). Рис. 7. Геометрические размеры и схема армирования балки Источник : выполнено авторами Figure 7. Geometric dimensions and reinforcement scheme of beam S o u r c e : compiled by the authors Конечно-элементная модель экспериментальной балки состояла из 2800 объемных восьмиузловых элементов (рис. 8). Армирование балки моделировалось одномерными стержневыми элементами с тремя степенями свободы в узле. Для продольной арматуры принималась гипотеза идеального упругопластического поведения, и учитывалось влияние квадратов углов поворота на продольные усилия. Стержни поперечного армирования находились в условиях линейно-упругого деформирования. Нагружение и условия опирания балки соответствовали методике проведенных авторами экспериментов (см. рис. 9). a б Рис. 8. Расчетная схема экспериментальной балки: a - КЭ модель «тела» балки, б - схема армирования стержневыми КЭ Источник : выполнено авторами с использованием программы ПРИНС Figure 8. FE scheme of the experimental beam: a - FE model of the «body» of the beam, б - bar FE scheme of reinforcement S o u r c e : compiled by the authors using the PRINCE program Рис. 9. Характер разрушения экспериментальной балки Источник : фото В.П. Агапова, А.С. Марковича Figure 9. The fracture character of the experimental beam S o u r c e : photo by V.P. Agapov, A.S. Markovich Суммарная нагрузка на балку была принята равной P = 36 кН. Расчеты выполнялись шагово-итера- ционным методом. Был задан 41 шаг нагружения, коэффициент к нагрузке на первом шаге принимался равным 0,01, а на остальных шагах - 0,03. По результатам расчетов исследовались процесс трещинообразования в бетоне, прогибы балки при фиксированных значениях нагрузки, а также предельная (разрушающая) нагрузка. Результаты расчетов представлены в табл. 2 Таблица 2 / Table 2 Результаты расчета балки / Beam calculation results Исследуемая величина / Researched value Прогибы балки (мм) при нагрузке, кН / Displacements of beams (mm) under load, kN Нагрузка трещино- образования, кН / Cracking load, kN Разрушающая нагрузка, кН / Failure load, kN 18 21 24 Результаты экспериментов / Experimental results 0,96 1,170 1,488 9,375 28,849 Результаты расчета в ВК ПРИНС / Calculation results in the PRINS computer application 0,742 1,131 1,476 9,00 27,36 Погрешность, % / Divergence, % 29,4 3,33 0,81 4,17 5,44 Как видно из табл. 2, расхождение в значениях предельной (разрушающей) нагрузки, полученной по результатам расчетов в ВК ПРИНС, в сравнении с экспериментальными данными не превышает 5,44 %, что свидетельствует о высокой точности разработанного конечного элемента, а также о надежности и устойчивости используемых алгоритмов нелинейного расчета. Процесс трещинообразования рассматриваемой балки, полученный с использованием ВК ПРИНС, показан на рис. 10. Рис. 10. Трещинообразование рассматриваемой балки Источник : выполнено авторами с использованием программы ПРИНС Figure 10. Cracking of the considered beam S o u r c e : compiled by the authors using the PRINCE program Прогибы балки, соответствующие суммарной нагрузке 18, 21 и 24 кН, приведены на рис. 11. Авторами разработан и реализован физически нелинейный объемный конечный элемент для расчета массивных железобетонных конструкций, позволяющий учитывать хрупкое разрушение бетона в области сжатия и процесс трещинообразования в растянутом бетоне. Для учета работы бетона в режиме «сжатие - сжатие - сжатие» используется критерий прочности Виллама - Варнке. При возникновении в бетоне трещины по первому главному направлению напряженное состояние по двум другим направлениям рассматривается как плосконапряженное и применяется модифицированный критерий прочности Мизеса - Губера. При наличии двух трещин модуль упругости бетона по третьему направлению определяется по диаграмме «напряжение - деформация» и при этом учитывается влияние касательных напряжений на работу бетона с трещинами. Так как армирование конструкции может выполняться произвольным образом, его особенности в полной мере могут быть учтены включением в конечно-элементную схему конструкции одномерных стержневых элементов, характеризующих арматуру. При этом для арматурной стали возможно задание как упругой, так и упругопластической моделей деформирования. a б в Рис. 11. Прогибы балки: a - при нагрузке 18 кН, б - при нагрузке 21 кН, в - при нагрузке 24 кН Источник : выполнено авторами с использованием программы ПРИНС Figure 11. Beam displacements: a - at a load of 18 kN, б - at a load of 21 kN, в - at a load of 24 kN S o u r c e : compiled by the authors using the PRINCE program 4. Заключение 1.В процессе отладки программы для верификации разработанного конечного элемента была проведена серия тестовых расчетов балки, находящейся в условии трехточечного изгиба. Последующее сравнение результатов расчета с данными экспериментов, проведенных авторами, подтвердило высокую точность разработанного конечного элемента. 2.Данный конечный элемент адаптирован к ВК ПРИНС и в составе этого программного комплекса может быть использован инженерами проектных и научных организаций для практических расчетов железобетонных конструкций. Таким образом, ВК ПРИНС может быть успешно использован для решения широкого класса инженерных задач.

About the authors

Vladimir P. Agapov

RUDN University

Email: agapovpb@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1749-5797

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Civil Engineering, Engineering Academy

Moscow, Russian Federation

Alexey S. Markovich

RUDN University; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Author for correspondence.
Email: markovich-as@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3967-2114

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Civil Engineering, Engineering Academy, RUDN University ; Associate Professor of the Department of Fundamental Education, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Moscow, Russian Federation

References

Supplementary files