Конечный элемент для расчета массивных железобетонных конструкций с учетом трещинообразования

Полный текст

1. Введение Предпосылки для расчета железобетонных конструкций в нелинейной постановке были обусловлены развитием компьютерных технологий, с одной стороны, и развитием численных методов строительной механики, в первую очередь метода конечных элементов - с другой [1-4]. При этом нелинейное деформирование бетона с учетом реальных упругопластических свойств в условиях объемного напряженного состояния исследовалось на протяжении XX в. как отечественными, так и зарубежными учеными [5-10]. Очевидно, что современные методы расчеты железобетонных конструкций должны разрабатываться на основании численных методов строительной механики с учетом нелинейных эффектов, присущих бетону и арматуре, установленных экспериментальным путем. Поэтому корректное моделирование объем- ного напряженного состояния бетона с учетом его упругопластических характеристик является ответственной задачей, и для повышения достоверности расчеты следует проводить с использованием нескольких вычислительных программ. В связи с этим разработка альтернативных методов расчета и соответствующих программ является актуальной задачей. Для решения данной задачи в настоящей статье приводится методика расчета железобетонных конструкций, находящихся в условиях объемного напряженного состояния, с учетом хрупкого разрушения бетона сжатой зоны, а также трещинообразования в растянутом бетоне. На основании данной методики построен объемный конечный элемент, реализованный в ВК ПРИНС[2]. 2. Метод В ВК ПРИНС расчет физически нелинейных конструкций методом конечных элементов ведется в приращениях по уравнению [1]: + Δ Δ=Δ , (1) где Δ = - . Матрицы жесткости и вычисляются в начале и конце каждой итерации. Уравнение (2) решается итерационным способом [11; 12]: Δ = Δ-Δ Δ , (2) где i - номер итерации. При достижении сходимости итерационного процесса вычисляются полные значения перемещений и напряжений по формулам: = + Δ , σ = σ + Δσ, (3) где Δ и Δσ - приращения перемещений и напряжений соответственно. Приращения напряжений, обусловленные приращением деформаций Δε, определяются по формуле Δσ = С Δε, (4) где - упругопластическая матрица характеристик материала. В общем случае на каждом шаге нагружения анализируется напряженное состояние материала и при возникновении пластических деформаций и (или) трещин производится корректировка напряжений с учетом принятых диаграмм деформирования. Это требует проведения процесса уравновешивания конструкции. Итерации равновесия производятся по формуле (1), которая модифицируется к виду Δ = - . (5) В формуле (5) матрица жесткости принимается равной матрице , найденной в конце шага при итерациях по формуле (2). Таким образом, в формуле (3) итерируется матрица жесткости, а в формуле (6) - вектор узловых сил , эквивалентный внутренним напряжениям. Матрица жесткости для отдельного конечного элемента находится по формуле [2]: = V. (6) где - матрица, связывающая компоненты деформаций элемента с компонентами узловых перемещений (геометрическая матрица); - матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций (физическая матрица). Методика вычисления геометрической матрицы хорошо известна (см., например, [3]). Основные предпосылки анализа объемного напряженного состояния Рассматривается четыре вида напряженного состояния: сжатие - сжатие - сжатие, сжатие - сжатие - растяжение, сжатие - растяжение - растяжение, растяжение - растяжение - растяжение. При этом учитываются следующие типы поведения материала: нагружение, разгрузка и догружение. Соответствующие указанным типам поведения пути деформирования материала приведены на рис. 1. Нагружение растянутого бетона после образования трещины (участок C - D - E) происходит с модулем упругости Ei = σ-crεcr , (7) εm где εm - предельная деформация бетона с трещинами при растяжении, σcr и εcr - напряжение и деформация трещинообразования соответственно (см. рис. 1). Разгрузка и догружение бетона с трещинами (участки D - O) подчиняются линейному закону с фиктивным модулем упругости Рис. 1. Пути деформирования материала Источник : выполнено авторами Figure 1. Material Deformation Path S o u r c e : compiled by the authors Ei′ = 1 σcr (εm - εD ) , εcr <εD <εm , (8) εD εm -εcr где εD - текущее значение деформации. Напряжение в растянутом бетоне после возникновения трещины находится по формуле σ σ= сr εεmm --εεcrD . (9) 2.1. Деформирование бетона в области «сжатие - сжатие - сжатие» При построении физической матрицы принята упругая модель при хрупком разрушении бетона в режиме «сжатие - сжатие - сжатие». Поведение бетона считается линейно-упругим вплоть до достижения поверхности разрушения. В качестве поверхности разрушения принята пятипараметрическая модель, предложенная Вилламом и Варнке [13]. На рис. 2 приведено девиаторное сечение этой поверхности, а на рис. 3 - главные меридианы растяжения и сжатия. Условие прочности определяется формулой [13] f ( )σ = f (σm m,τ ,θ)= ( 1 ) τm - =1 0 , (10) r σm,θ Rb где σm и τm - средние значения нормальных и касательных напряжений в окрестности точки, θ - угол вида напряженного состояния, а r (σm,θ)= r - радиус-вектор точки на поверхности разруше- 5Rb ния в девиаторном сечении (см. рис. 2). Радиус-вектор r (σm,θ) определяется формулой [13] ( ) 2r rc ( c2 -rt2 )cosθ+rc (2rt -rc ) 4(rc2 -rt2 )cos2 θ+ 5rt2 - 4rrt c r σm,θ = 4(r2 -rt2 )cos2 θ+ -(rc 2rt )2 . (11) c Рис. 2. Девиаторное сечение поверхности разрушения: rt и rc - меридианы растяжения и сжатия; θ - угол вида напряженного состояния Источник : выполнено авторами Figure 2. Deviatoric section of the fracture surface: rt and rc - the meridians of tension and compression; θ - the angle of the type of the stress state S o u r c e : compiled by the authors Источник : выполнено авторами Figure 3. Tension and compression meridians of fracture surface: Rb and Rbt - ultimate strength of concrete for axial compression and tension; Rbc - ultimate strength of concrete for uniform biaxial compression, r S o u r c e : compiled by the authors Радиус-векторы rt и rc (см. рис. 2) определяют меридианы растяжения (θ= 0) и сжатия (θ π= 3), которые являются квадратными параболами: 2 2 τm t, = rt = a0 + a1 σm + a2 σm , τm c, = rc =b0 +b1 σm +b2 σm . (12) Rb Rb Rb Rb Rb Rb Коэффициенты a0, a1, a2 и b0 , b1, b2 получены на основе экспериментальных данных и в зависимости от параметров модели, приведенных в табл. 1, определяются по формулам: 0 1 2 1 с 2 3ξ -1 ( +ρ ξ) с -1 ρ+1 3 с ξс 3 3 Таблица 1 / Table 1 К определению параметров модели Виллама - Варнке / To the determination of the parameters of the Willam - Warnke model Вид напряженного состояния / Type of stress state Критерий / Criterion Напряжения / Stresses Угол θ / Angle θ 1. Одноосное сжатие / Uniaxial compression Rb σ3=-Rb, σ σ1= =2 0 π 3 2. Одноосное растяжение / Uniaxial tension Rbt σ1=Rbt , σ σ2= =3 0, Rbt =Rbt Rb 0 3. Равномерное двухосное сжатие / Uniform biaxial compression Rbc σ σ1= =2 - σ3=0, Rbc =Rbc Rb Rbc , =1,2 0 4. Трехосное сжатие в режиме высокой компрессии (σ3 < =σ1 σ2, θ= 0) / Triaxial compression in high compression mode (σ3 < =σ1 σ2, θ= 0) σm =-ξt , Rb ξ1>0, τm =rt Rb σ1≠0, σ2≠0, σ3≠0, ξ1= 3,67*, rt =1,59* 0 5. Трехосное сжатие в режиме низкой компрессии (σ3 > =σ1 σ2, θ π=3) / Triaxial compression in low compression mode (σ3 > =σ1 σ2, θ π=3) σm =-ξc , Rb ξ2 >0 , τm =rc Rb , π3 * Согласно результатам экспериментов Лоне и Гашона [7]. В табл. 1 использованы следующие буквенные обозначения: Rb - прочность бетона на одноосное сжатие (призменная или кубиковая), Rbt - прочность бетона на одноосное растяжение, Rbc - прочность бетона на равномерное двухосное сжатие. При этом нормируемые значения прочности являются безразмерными величинами и задаются в долях от Rb . Прочность бетона в условиях трехосного сжатия определяется для режимов низкой и высокой боковой компрессии с использованием соотношений σm =-ξc и τm =rc на основании экспериментальных Rb Rb данных [7]. 2.2. Деформирование бетона в областях «сжатие - сжатие - растяжение», «сжатие - растяжение - растяжение» и «растяжение - растяжение - растяжение» (учет трещинообразования) Физическая матрица для бетона с одной, двумя и тремя трещинами формируется следующим образом. При образовании трещины по первому главному направлению напряженное состояние бетона по двум другим направлениям рассматривается как плосконапряженное и используется модифицированный критерий прочности Мизеса - Губера [14], который сводится к виду f I T 1( σ),I2(Dσ) = β 3I2(Dσ)+αI T1( σ) =σ0, (15) где α и β - эмпирические коэффициенты, которые на основании экспериментальных данных принимаются равными 0,355 и 1,355 соответственно. Отметим, что при α=0 и β=1 уравнение (15) вырождается в критерий пластичности Мизеса - Губера [14]. С принятыми значениями коэффициентов α и β критерий (15) достаточно хорошо согласовывается с результатами двухосных испытаний бетона (рис. 4). Рис. 4. Геометрическая интерпретация критерия текучести (15): I - поверхность разрушения согласно экспериментальным данным Купфера [6]; II - критерий (15); III - критерий пластичности Мизеса - Губера [14] Источник : выполнено авторами Figure 4. Geometric interpretation of the yield criterion (15): I - the fracture surface according to the experimental data of Kupffer [6]; II - the criterion (15); III - the von Mises & Huber plasticity criterion [14] S o u r c e : compiled by the authors Первоначально напряжения в конечном элементе вычисляются в глобальных осях конструкции x - y - z. В момент возникновения первой трещины фиксируется положение главных осей 1 - 2 - 3 (рис. 5). Рис. 5. Анализ напряженного состояния бетона при образовании одной трещины Источник : выполнено авторами Figure 5. Analysis of the stress state of concrete during the formation of one crack S o u r c e : compiled by the authors При возникновении первой трещины материал в объеме элемента распадается, согласно принятой гипотезе, на ряд плосконапряженных пластинок. В каждой такой пластинке существуют такие площадки с нормалями 21 и 31, на которых нормальные напряжения имеют экстремальные значения. Дальнейший анализ трещинообразования производится по главным напряжениям σ2 и σ3, действующим вдоль осей 21 и 31 (см. рис. 5). Данные напряжения, как и угол поворота осей 21 и 31 относительно осей 2 и 3, находятся по общим правилам сопротивления материалов. Дальнейший расчет конструкции выполняется в осях 1 - 21 - 31, для чего предварительно вычисляется матрица направляющих косинусов этих осей в глобальных осях x - y - z. При наличии двух трещин модуль упругости бетона по третьему направлению определяется по диаграмме «напряжение - деформация» для одноосного напряженного состояния, а модули сдвига принимаются по рекомендациям, приведенным в работе [15]. При этом физическая матрица будет выглядеть следующим образом: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 Ce = 0 0 0 G12c 0 0 . (16) c 0 0 0 0 G23 0 G31c 0 0 0 0 0 При наличии трех трещин модуль упругости E равен нулю. Модуль E в матрице Ce (16) принимается равным либо начальному модулю, если бетон в третьем главном направлении растянут, либо касательному модулю кривой «напряжение - деформация», если бетон по третьему главному направлению сжат. Эксперименты показывают, что треснувший бетон с арматурой передает значительные касательные напряжения. При этом на величину сдвиговой жесткости влияют такие факторы, как ширина раскрытия трещины, коэффициент армирования, диаметр арматуры, структура бетона и др. [15]. Следуя рекомендациям [15], модуль сдвига примем как функцию текущей растягивающей деформации. Так, для бетона с трещиной в первом главном направлении G12c = 0,25G 1- ε1 , G12c = 0 , если ε1 > 0,004, G31c = G12c , (17) 0,004 где G - модуль сдвига бетона без трещин; ε1 - растягивающая деформация по главному направлению 1. Для бетона с трещиной в двух направлениях: G13c = 0,25G 1- ε1 , G13c = 0 , если ε1 > 0,004, 0,004 G23c = 0,25G 1- 2 , G23c = 0 , если ε2 > 0,004 , 0,004 G12c = 1 min G G13 13c , c . 2 Для бетона с трещиной в трех направлениях: G1= 0,25G 1- ε1 , G1 = 0 , если ε1 > 0,004, 0,004 (18) G2 = 0,25G 1- ε2 , G2 = 0, если ε2 > 0,004 , 0,004 (19) ε G3 = 0,25G 1- ε3 , G3 = 0 , если ε3 > 0,004, 0,004 G G G12c = 23c = 31c =min[G G G1 2 3, , ] . На основании приведенного алгоритма разработана программа, адаптированная к вычислительному комплексу ПРИНС [18-20]. 3. Результаты и обсуждение Для тестирования разработанного конечного элемента были использованы результаты собственных экспериментов авторов, выполненных в лаборатории строительных конструкций и материалов департамента строительства инженерной академии РУДН, в ходе которых исследовалось напряженно-дефор- мированное состояние железобетонной балки (рис. 6). Рис. 6. Общий вид экспериментальной балки и использованного оборудования Источник : фото В.П. Агапова, А.С. Марковича Figure 6. General view of the experimental beam and used equipment S o u r c e : photo by V.P. Agapov, A.S. Markovich Для оценки напряженного состояния, в соответствии с методикой эксперимента, по направлению главных деформаций в 21 точке на поверхности балки были наклеены тензорезисторы BF120-20AA с базой 20 мм, подключаемые по полной мостовой схеме к 24-канальной тензостанции ZETLAB. Эксперимент проводился на испытательной установке Matest с постоянной скоростью нагружения 10 Н/c. При этом нагрузка, деформации и перемещения характерных точек балки записывались синхронно. Материал балки - бетон класса В60. Балка имела продольное армирование арматурой класса А400 Ø10 (рис. 7). Рис. 7. Геометрические размеры и схема армирования балки Источник : выполнено авторами Figure 7. Geometric dimensions and reinforcement scheme of beam S o u r c e : compiled by the authors Конечно-элементная модель экспериментальной балки состояла из 2800 объемных восьмиузловых элементов (рис. 8). Армирование балки моделировалось одномерными стержневыми элементами с тремя степенями свободы в узле. Для продольной арматуры принималась гипотеза идеального упругопластического поведения, и учитывалось влияние квадратов углов поворота на продольные усилия. Стержни поперечного армирования находились в условиях линейно-упругого деформирования. Нагружение и условия опирания балки соответствовали методике проведенных авторами экспериментов (см. рис. 9). a б Рис. 8. Расчетная схема экспериментальной балки: a - КЭ модель «тела» балки, б - схема армирования стержневыми КЭ Источник : выполнено авторами с использованием программы ПРИНС Figure 8. FE scheme of the experimental beam: a - FE model of the «body» of the beam, б - bar FE scheme of reinforcement S o u r c e : compiled by the authors using the PRINCE program Рис. 9. Характер разрушения экспериментальной балки Источник : фото В.П. Агапова, А.С. Марковича Figure 9. The fracture character of the experimental beam S o u r c e : photo by V.P. Agapov, A.S. Markovich Суммарная нагрузка на балку была принята равной P = 36 кН. Расчеты выполнялись шагово-итера- ционным методом. Был задан 41 шаг нагружения, коэффициент к нагрузке на первом шаге принимался равным 0,01, а на остальных шагах - 0,03. По результатам расчетов исследовались процесс трещинообразования в бетоне, прогибы балки при фиксированных значениях нагрузки, а также предельная (разрушающая) нагрузка. Результаты расчетов представлены в табл. 2 Таблица 2 / Table 2 Результаты расчета балки / Beam calculation results Исследуемая величина / Researched value Прогибы балки (мм) при нагрузке, кН / Displacements of beams (mm) under load, kN Нагрузка трещино- образования, кН / Cracking load, kN Разрушающая нагрузка, кН / Failure load, kN 18 21 24 Результаты экспериментов / Experimental results 0,96 1,170 1,488 9,375 28,849 Результаты расчета в ВК ПРИНС / Calculation results in the PRINS computer application 0,742 1,131 1,476 9,00 27,36 Погрешность, % / Divergence, % 29,4 3,33 0,81 4,17 5,44 Как видно из табл. 2, расхождение в значениях предельной (разрушающей) нагрузки, полученной по результатам расчетов в ВК ПРИНС, в сравнении с экспериментальными данными не превышает 5,44 %, что свидетельствует о высокой точности разработанного конечного элемента, а также о надежности и устойчивости используемых алгоритмов нелинейного расчета. Процесс трещинообразования рассматриваемой балки, полученный с использованием ВК ПРИНС, показан на рис. 10. Рис. 10. Трещинообразование рассматриваемой балки Источник : выполнено авторами с использованием программы ПРИНС Figure 10. Cracking of the considered beam S o u r c e : compiled by the authors using the PRINCE program Прогибы балки, соответствующие суммарной нагрузке 18, 21 и 24 кН, приведены на рис. 11. Авторами разработан и реализован физически нелинейный объемный конечный элемент для расчета массивных железобетонных конструкций, позволяющий учитывать хрупкое разрушение бетона в области сжатия и процесс трещинообразования в растянутом бетоне. Для учета работы бетона в режиме «сжатие - сжатие - сжатие» используется критерий прочности Виллама - Варнке. При возникновении в бетоне трещины по первому главному направлению напряженное состояние по двум другим направлениям рассматривается как плосконапряженное и применяется модифицированный критерий прочности Мизеса - Губера. При наличии двух трещин модуль упругости бетона по третьему направлению определяется по диаграмме «напряжение - деформация» и при этом учитывается влияние касательных напряжений на работу бетона с трещинами. Так как армирование конструкции может выполняться произвольным образом, его особенности в полной мере могут быть учтены включением в конечно-элементную схему конструкции одномерных стержневых элементов, характеризующих арматуру. При этом для арматурной стали возможно задание как упругой, так и упругопластической моделей деформирования. a б в Рис. 11. Прогибы балки: a - при нагрузке 18 кН, б - при нагрузке 21 кН, в - при нагрузке 24 кН Источник : выполнено авторами с использованием программы ПРИНС Figure 11. Beam displacements: a - at a load of 18 kN, б - at a load of 21 kN, в - at a load of 24 kN S o u r c e : compiled by the authors using the PRINCE program 4. Заключение 1.В процессе отладки программы для верификации разработанного конечного элемента была проведена серия тестовых расчетов балки, находящейся в условии трехточечного изгиба. Последующее сравнение результатов расчета с данными экспериментов, проведенных авторами, подтвердило высокую точность разработанного конечного элемента. 2.Данный конечный элемент адаптирован к ВК ПРИНС и в составе этого программного комплекса может быть использован инженерами проектных и научных организаций для практических расчетов железобетонных конструкций. Таким образом, ВК ПРИНС может быть успешно использован для решения широкого класса инженерных задач.

Об авторах

Владимир Павлович Агапов

Российский университет дружбы народов

Email: agapovpb@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1749-5797

доктор технических наук, профессор департамента строительства, инженерная академия

Москва, Российская Федерация

Алексей Семенович Маркович

Российский университет дружбы народов; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: markovich-as@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3967-2114

кандидат технических наук, доцент департамента строительства, инженерная академия, Российский университет дружбы народов ; доцент кафедры фундаментального образования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Москва, Российская Федерация

Список литературы