Elastic-plastic analysis of shells by variational method on the basis of high-degree polynomials

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The purpose of the research is to develop a variational method for calculation of three-dimensional structures based on approximating functions with finite carriers of an arbitrary degree of approximation. In the early papers of the authors, the method was presented in a linear formulation, and the possibility of calculating both three-dimensional compound structures and thin shells was shown. This paper proposes an algorithm for strength calculation of thick and thin shells with elastic-plastic deformations. The geometry of shells is described in a curvilinear orthogonal coordinate system, e.g., in cylindrical, spherical, or conical ones. The calculation method uses the basic equations of small elastic-plastic deformations for the curvilinear coordinate system. The calculation algorithm was based on a model of material with linear strengthening. To obtain a resolving system of nonlinear equations, the Lagrange variational principle is used. The problem is solved by means of iteration. The first iteration corresponds to a linear problem. At each iteration, after solving the system of equations, the intensities of deformations at each point of integration are calculated. These intensities of deformations are substituted into the matrices of elasticity at the following iterations. The process of iteration is characterized by recalculation of the elasticity matrix at each iteration in each integration point. The researche have shown a stable convergence of the process of iteration. A testing solution of elastic-plastic deformation problems of a thick pipe and a thin shell was carried out. The calculation results were in good agreement with the results obtained both by classical formulas for elastic plastic deformation and with the results of calculations in the Ansys Mechanical program.

Full Text

1. Введение В [1-3] авторами был представлен метод определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций. При выводе основных соотношений предполагалось, что перемещения и деформации малы. Как было показано в этих работах представленную методику возможно использовать как для трехмерных конструкций, так и для расчета тонких пластин и оболочек. Однако круг задач, решаемых вариационным методом расчета, основанным на функциях произвольной степени аппроксимации с конечными носителями, ограничивался лишь решением линейных задач. Это ограничение было преодолено в [4], где была показана возможность применения представленной методики для расчета на прочность массивных тел с учетом физической нелинейности материала. В данной работе представлен алгоритм расчета, в котором определяющие уравнения задаются в криволинейной ортогональной системе координат, что дает возможность удобного описания геометрии оболочек, в частности, цилиндрических, сферических и конических. Совершенствование методик упругопластических расчетов является актуальной и важной задачей, что подтверждается множеством свежих работ по данной тематике [5-7]. Внимание исследователей уделяется расчетам тонкостенных элементов конструкций в нелинейной постановке [8], расчетам больших прогибов [9], а также расчетам железобетонных элементов конструкций с учетом физической нелиней- ности [10]. Оценка прочностных характеристик с учетом нелинейности поведения материалов позволяет более точно определять предельные допустимые нагрузки для проектируемых изделий. Существенное увеличение прочности деталей из металлов можно добиться методами интенсивного пластического деформирования. Вопросам оптимального формирования сверхтонких материалов методами пластического деформирования посвящены работы [11; 12]. Такие материалы, как правило, обладают субультрамелкозернистой структурой [13]. В таких задачах очень важны методики оценки пластического деформирования. В [14] оцениваются величины начальной пластической деформации, и изучается влияние начальной деформации на последующее упрочнение. В [15] рассматриваются некоторые аспекты компьютерного моделирования развития мелкозернистых структур в материале. Достаточно подробный анализ методик интенсивного пластического деформирования приводится в [16]. В [17] разработан подход к определению напряженного состояния шарообразных заготовок в закрытой матрице при пластическом деформировании. Таким образом, разработка и совершенствование методики упругопластических расчетов для произвольной формы конструкции и деталей является актуальной задачей и позволяет получать более экономичные решения. 2. Методы исследования Деформации εij , заданные в ортогональной криволинейной системе координатα1,α2,α3, определяются по формулам [4]: εii = 1 ∂ui + kiju j + kilul , Ai ∂αi γij = 2⋅εij = 1 ∂ui + 1 ∂u j -kijui -k jiu j , i =1,3, (1) Aj ∂αj Ai ∂αi где ui (i =1,3) - компоненты перемещения; kij - главные кривизны; γ12,γ23,γ31 - углы сдвига, Ai - коэффициенты Ляме, в левой части соотношений нет суммирования по индексам, индексы j,l получаются круговой перестановкой индексов i, j,l . Для получения разрешающих уравнений воспользуемся известными гипотезами из теории малых упругопластических деформаций [18]. Девиатор напряжений Dσ выражается через девиатор деформаций Dε следующим образом:
×

About the authors

Farid S. Khayrullin

Kazan National Research Technological University

Email: x_farid@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5455-6659

Doctor in Physics and Mathematics, Professor of the Department of Fundamentals of Structural Engineering and Applied Mechanics

Kazan, Russian Federation

Oleg M. Sakhbiev

Kazan National Research Technological University

Author for correspondence.
Email: somkazan@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-1670-4013

PhD in Physics and Mathematics, Senior Lecturer, Department of Fundamentals of Structural Engineering and Applied Mechanics

Kazan, Russian Federation

References

  1. Khayrullin F.S., Sakhbiev O.M. On the method of calculating three-dimensional structures of complex shape. Bulletin of Kazan Technological University. 2014;17(23):328–330. (In Russ.)
  2. Khayrullin F.S., Sakhbiev O.M. Computing orthotropic constructions using the variation method based on threedimensional functions with final carriers. PNRPU mechanics bulletin. 2017;2:195–207. (In Russ.) https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.2.11
  3. Khairullin F.S., Sakhbiev O.M. On the use of a variational method based on approximating functions with finite carriers for calculating three-dimensional thin-walled structures. XII All-Russian Congress on fundamental problems of theoretical and applied Mechanics. Collection of works. In 4 volumes. Ufa. Publisher: Bashkir State University. 2019;3: 215–217. (In Russ.)
  4. Khayrullin F.S., Sakhbiev O.M. Calculation of the elastoplastic deformations by the variational method based on functions with finite carriers. Herald of Technological University. 2021;24(4):102–106. (In Russ.)
  5. Ashkeev Zh.A., Andreyachshenko V.A., Abishkenov M.Zh., Bukanov Zh.U. Determination of the stress state and the force of deformation of ball-shaped billets in a closed matrix. PNRPU mechanics bulletin. 2021;4:5–12. (In Russ.) https://doi.org/10.15593/perm.mech/2021.4.01
  6. Vatulyan A.O., Nesterov S.A., Yurov VO. Investigation of the stress-strain state of a hollow cylinder with a coating based on the gradient model of thermoelasticity. PNRPU mechanics bulletin. 2021;4:60–70. (In Russ.) https://doi.org/10.15593/perm.mech/2021.4.07
  7. Bogdanov N.P. Method of calculation of elastic-plastic torsion of cylindrical rods. Collection of articles of the XI International Scientific and practical Conference. Petrozavodsk. 2021;3:14–18. (In Russ.) EDN: GEWJKU
  8. Gureeva N.A., Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P. Defining relations for nonlinear elastic bodies and their implementation in the calculation of axisymmetrically loaded shells of rotation based on a mixed FEM. Scientific notes of Kazan University. Series: Physical and mathematical Sciences. 2015;157(2):28–39. (In Russ.) EDN: UBGLNX
  9. Davydov R.L., Sultanov L.U., Abdrakhmanova A.I. On an algorithm for calculating large elastic-plastic deformations of FEM in the collection. Proceedings of the XI International Conference on Nonequilibrium Processes in Nozzles and Jets (NPNJ’2016), Alushta, May 25–31, 2016. Moscow: MAI Publ.; 2016:324–326. (In Russ.)
  10. Rybakov V.A., Kupchekov A.M., Bikbaeva N.A. Physical nonlinearity in the calculation of reinforced concrete elements in the collection: problems of ensuring the functioning and development of ground infrastructure of weapon systems complexes. Materials of the All-Russian Scientific and Technical Conference “Problems of ensuring the functioning and development of the ground infrastructure of weapons systems complexes”. Publishing house: Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky. Saint-Petersburg. 2018;3:55–61. (In Russ.)
  11. Naizabekov A., Andreyachshenko V., Kliber J. Forming of microstructure of the Al–Si–Fe – Mn system alloy by equal channel angular pressing with backpressure. In: Conf. Proc. 21st International Conference on Metallurgy and Materials (Metal–2012), Brno, Czech Republic. 2012:391–395.
  12. Andreyachshenko V.A., Naizabekov A.B. Microstructural and mechanical characteristics of AlSiMnFe alloy processed by equal channel angular pressing. Metalurgija. 2016;55 (3):353–356.
  13. Dorofeev O.V., Kurdyumova L.N., Rodin N.N. Formation of gradient submicro- and nanocrystalline structures in bulk structural materials. Proceedings of the 3rd International Scientific and Technical Conference. Metallophysics, mechanics of materials, nanostructures and deformation processes. METALLDEFORM — 2009. In 2 volumes. Vol. 1. Samara; 2009:229–232. (In Russ.)
  14. De Faria C.G., Almeida N.G.S., Balzuweit K., Aguilar M.T.P., Cetlin P.R. The effect of initial strain in the severe plastic deformation of aluminum on the subsequent work hardening regeneration through low strain amplitude multidirectional forging. Materials Letters. 2021;290(1):129462. https://doi.org/10.1016/j.matlet.2021.129462
  15. Svyetlichnyy D.S., Majta J., Kuziak R., Muszka K. Experimental and modelling study of the grain refinement of Fe-30wt % Ni-Nb austenite model alloy subjected to severe plastic deformation process. Archives of Civil and Mechanical Engineering. 2021;21(1):1–14. https://doi.org/10.1007/s43452-021-00178-7
  16. Segal V. Review: Modes and Processes of Severe Plastic Deformation (SPD). Materials. 2018;11(7):1175. https://doi.org/10.3390/ma11071175
  17. Ashkeev Z.A., Andreyashchenko V.A., Abishkenov M.Zh., Bukanov Zh.U. Determination of the stress state and the force of deformation of ball-shaped billets in a closed matrix. PNRPU mechanics bulletin. 2021;4:5–12. (In Russ.) https://doi.org/10.15593/perm.mech/2021.4.01
  18. Ishlinskiy A.Yu., Ivlev D.D. Mathematical theory of plasticity. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2003. (In Russ.)
  19. Dzhabrailov A.Sh., Nikolaev A.P., Klochkov Yu.V., Gureeva N.A., Ishchanov T.R. Nonlinear deformation of axisymmetrically loaded rotation shell based on fem with different variants of definitional equations. Izvestiya of Saratov university. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2022;22(1):48–61. (In Russ.) https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-221-48-61
  20. Novatsky V. The Theory of elasticity. Moscow: Mir Publ.; 1975. (In Russ.)
  21. Novozhilov V.V. Theory of elasticity. Leningrad: Sudpromgiz Publ.; 1958. (In Russ.)
  22. Abovsky N.P., Andreev N.P., Deruga A.P. Variational principles of elasticity theory and shell theory. Moscow: Nauka Publ.; 1978. (In Russ.)
  23. Frolov A.V., Voevodin V.V., Konshin I.N., Teplov A.M. Investigation of the structural properties of the Cholesky decomposition algorithm: from long-known facts to new conclusions. Vestnik UGASTU. 2015;19(4):149–162. (In Russ.)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Khayrullin F.S., Sakhbiev O.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.