Modal analysis of a large-span building with different boundary conditions

Full Text

Введение Большепролетные здания с цилиндро-плитными (ЦП) и цидиндро-плитно-вантовыми покрытиями отличаются неповторимой архитектурой и сложными конструктивными решениями[6] [1-12], что позволяет отнести их к категории уникальных. Расчеты конструкций зданий указанного типа на прочность, устойчивость и вибрацию требуют серьезного подхода к построению расчетной модели. Последняя должна с достаточной точностью и полнотой отражать характеристики напряженно-деформированного состояния (НДС) и особенности динамики поведения реального объекта под действием эксплуатационных нагрузок. Указанным требованиям в наибольшей мере удовлетворяет пространственная комбинированная конечно-элементная модель механической системы «здание - фундамент - жесткая заделка» [13]. Указанные модели связаны с построением и решением системы разрешающих уравнений достаточно большого порядка. Однако примеры их успешного решения многочисленны [14-34], что свидетельствует о значительных достижениях современной информатики и вычислительной механики. Вместе с тем приоритет в практическом использовании должен быть отдан моделям, при построении которых выполняются целесообразные и допустимые упрощения. В рассматриваемом случае речь идет о расчетных схемах зданий, в которых опорные подземные конструкции характеризуются абсолютной жесткостью. Ввод жесткой заделки опорных конструкций в плоскости грунта существенно сокращает порядок разрешающей системы уравнений конечно-элементной модели, уменьшает трудоемкость и общее время многовариантного расчетного анализа. Возникает вопрос, допустимо ли указанное упрощение модели при анализе динамики поведения конструкции здания рассматриваемого типа. Ответ на поставленный вопрос может дать сопоставительный анализ полной и упрощенной моделей. В [35] рассмотрена конструкция большепролетного здания с цилиндро-плитным покрытием, проанализировано влияние граничных условий на его напряженно-деформированное состояние. Для расчета здания сформированы следующие модели: 1) упрощенная модель с абсолютно жестким основанием, которую условно назовем «Здание - жесткая заделка»; 2) модель «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание» является наиболее полной идеализацией рассматриваемого строительного объекта, выполненной с учетом требований действующих нормативных документов[7]. На практике трудоемкость построения и анализа модели 2 «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание» оказалась значительной. Порядок соответствующих ей матриц коэффициентов жесткости и массы определяется не только большим числом конечных элементов (КЭ) надземной части и свайного фундамента, но в значительной мере большим числом сопряженных КЭ грунтового массива [13; 35]. В ходе предварительного расчета статики конструкции здания с цилиндро-плитным покрытием выявлено существенное влияние физико-механических характеристик грунта, а также геометрических параметров свайного фундамента на НДС надземной части. Логичным продолжением указанного численного исследования является рассмотрение форм и частот собственных колебаний принятых моделей с разными граничными условиями. Результаты расчета на сейсмическое воздействие планируется представить в следующей статье. Цель настоящего исследования - определить влияние свайного фундамента и физико-механических свойств грунтового основания на формы и частоты собственных колебаний большепролетного здания с цилиндро-плитным покрытием. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: - сформированы пространственные комбинированные конечно-элементные модели большепролетного здания с разными граничными условиями; - выполнен многовариантный модальный анализ конечно-элементных моделей 1 и 2; - сопоставлены собственные частоты формы колебаний указанных моделей; - определено влияние свайного фундамента и физико-механических свойств грунтового основания на формы и частоты собственных колебаний надземной части большепролетного здания с цилиндро-плитным покрытием. Общая характеристика большепролетного здания с цилиндро-плитным покрытием Надземная часть здания (рис. 1, а). Центральная часть здания представляет собой в плане прямоугольник с размерами 40(B)×84(L) м, по контуру которого расположены колонны (поз. 1) квадратного сечения с шагом 6 м, их высота в продольном направлении (по длине прямоугольника) принята 12 м, а в поперечном направлении (по ширине) - 12-16 м. Пространственным покрытием центральной части выбрана монолитная железобетонная цилиндрическая оболочка нулевой гауссовой кривизны (поз. 2), высотой h = 4 м, толщиной δ = 0,15 м и радиусом кривизны R = 52 м. Бортовыми элементами цилиндрической оболочки являются две торцевые железобетонные арки и продольные балки прямоугольного сечения с размерами b = 0,5 м h = 0,8 м. По бокам с двух сторон к помещению с оболочкой примыкают двухэтажные помещения с плитами плоского покрытия, высота каждого этажа равна 6 м. Толщины железобетонных плит покрытий и перекрытий (поз. 3) приняты t = 0,2 м. Плиты опираются на колонны (поз. 1), установленные с шагом и высотой H = 6 м. В продольном и поперечном направлениях в центре и по торцам здания расположены диафрагмы жесткости в виде монолитных железобетонных стен (поз. 4). Их толщина равна 0,5 м, длина - 6 и 12 м. В крайних блоках здания расположены лифтовые шахты. Толщина их монолитных железобетонных стен принята 0,5 м. Толщина монолитных железобетонных площадок лестничных клеток составляет t = 0,2 м, а толщина лестничных маршей - t = 0,22 м [36; 37]. Подземная часть здания (рис. 1, б) представляет собой грунтовый массив (поз. 5), повторяющий форму большепролетного здания в плане. Под каждой колонной (поз. 1) устроены отдельно стоящие монолитные железобетонные свайные фундаменты в форме конуса с боковыми и нижними щебневыми образованиями (поз. 6). Оригинальность и новизна фундамента подтверждена патентной экспертизой[8]. Под железобетонными блоками (поз. 4) здания, состоящими из диафрагм (стен), лифтовых шахт и лестничных клеток расположены кусты из указанных свай. В [38-42] описана технология изготовления свайной конструкции указанного типа; представлены результаты численного исследования: прочностных и деформационных характеристик свайной конструкции с учетом разных физико-механических свойств грунта; дано сравнение напряженно-деформированного состояния указанной сваи с аналогичным состоянием свай других видов и форм, приведены методы их расчета [43]. В ходе исследования приняты следующие геометрические параметры сваи: общий верхний диаметр свайной конструкции 1,2 м, нижний ее диаметр 0,6 м. Нижнее щебневое расширение выполнено в форме шара диаметром D размером около 2 м. Длина ствола сваи L = 10 м. Высота массива грунта принята H = 16 м. рис 2_с надписями.png а б Рис. 1. Конечно-элементные модели большепролетного здания с цилиндро-плитным покрытием: а - модель 1 «Здание - жесткая заделка; б - модель 2 «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание»; надземная часть: 1 - колонны, 2 - цилиндрическая оболочка нулевой гауссовой кривизны, 3 - продольные и поперечные диафрагмы, 4 - плиты плоского покрытия и перекрытия; подземная часть: 5 - грунтовое основание, 6 - свайный фундамент (условно не показаны) Figure 1. Finite element models of a large-span building with a cylinder-and-slab roof: a - model 1 “superstructure - fixed-end”; б - model 2 “superstructure - pile foundation - soil base”; superstructure: 1 - columns, 2 - cylindrical shell of zero Gaussian curvature, 3 - longitudinal and transverse diaphragms, 4 - flat slabs and floor slabs; substructure: 5 - soil base, 6 - pile foundation (conditionally not shown) Материалы В расчетном исследовании использованы исходные данные, аналогичные данным ранее опубликованных работ [35]. Надземная часть. Цилиндро-плитное покрытие и каркас здания выполнены из тяжелого бетона класса В25. Расчетные характеристики бетона приняты в соответствии с СП 63.13330.2011 «Бетонные и железобетонные конструкции»[9]. Плотность тяжелого бетона ρ = 2500 кг/м3 (п. 6.1.1). Начальный модуль упругости тяжелого бетона В25 при сжатии и растяжении Eb = 30×103 МПа принят по таблице 6.11, модуль сдвига бетона Gb = 0,4Eb = 0,4·30·103 = 12·103 МПа (п. 6.1.15). Коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) бетона допускается принимать ν = 0,2 (п. 6.1.17). Коэффициент линейной температурной деформации тяжелого бетона при изменении температуры от -40º до +50º принимают αbt = 1·10-5 ºС-1 (п. 6.1.18). Нормативное и расчетное сопротивление тяжелого бетона на осевое сжатие класса В25 для предельного состояния второй группы Rb,n = Rb,ser = 18,5 МПа (табл. 6.7). Расчетное сопротивление тяжелого бетона на осевое сжатие класса В25 для предельного состояния первой группы Rb = 14,5 МПа (табл. 6.8). Подземная часть. Материалом для монолитной железобетонной сваи конической формы принят тяжелый бетон класса В15. Все характеристики бетона приняты по СП 63.13330.2011 «Бетонные и железобетонные конструкции». Расчетное сопротивление бетона для предельных состояний первой группы при классе бетона В15 по прочности на сжатие Rb = 8,5 МПа (табл. 6.8); расчетное сопротивление бетона для предельных состояний второй группы при классе бетона В15 по прочности на сжатие Rb,ser = 11 МПа (табл. 6.7). Модуль упругости бетона принят Eb = 24·103 МПа (табл. 6.11). Значение модуля сдвига бетона принято равным Gb = 0,4Eb = 0,4·24·103 = 9,6·103 МПа (п. 6.1.15), коэффициент Пуассона ν = 0,2 (п. 6.1.17). Под нижним концом сваи расположен щебневый шар диаметром D = 2м. Щебень принят группы А по ГОСТ 8267[10] с модулем упругости Е = 350 МПа (табл. 3.2)[11] и коэффициентом Пуассона ν = 0,3. В расчетном анализе использованы два типа однородных грунтов. Их расчетные характеристики приняты согласно СП 22.13330.2011[12]: - вариант 1 - грунт однородного основания: песок четвертичного отложения, средней плотности (коэффициент пористости е = 0,45) с модулем деформации Е1 = 50 МПа, углом внутреннего трения φ1 = 40°, удельным сцеплением с1 = 3 кПа (табл. Б.1) и коэффициентом Пуассона ν = 0,35 (табл. 5.10); - вариант 2 - грунт однородного основания: песок четвертичного отложения, пылеватый (коэффициент пористости е = 0,45) с модулем деформации Е2 = 11 МПа, углом внутреннего трения φ = 26°, удельным сцеплением с = 2 кПа (табл. Б.1) и коэффициентом Пуассона ν = 0,35 (табл. 5.10). Внешние вертикальные (постоянные и временные, включая снеговые) нагрузки на цилиндро-плитное покрытие большепролетного здания приняты из [37; 38] и определены в соответствии с СП 17.13330.2017 «Кровли»[13] и СП 20.13330.2016 «Основания зданий и сооружений»[14]. Методы Метод конечных элементов (МКЭ) является универсальным средством численного инженерного анализа больших пространственных механических систем. Он позволяет комбинировать в моделях надежные стержневые (Beam и Bar), пластинчатые (оболочечные) (Plate) и объемные (Volume Elements типа Solid) конечные элементы различными аппроксимирующими функциями полей перемещений. В исследовании расчетных моделей большепролетного здания применен расчетный комплекс Femap with NX Nastran, реализующий широкий набор расчетных подходов и методов инженерного анализа. Для расчета собственных частот и форм колебаний используется метод Ланцоша (Lanczos), сочетающий лучшие свойства метода обратной степени, модифицированного метода обратной степени Штурмана и методов приведения, таких как метод Гивенса, метод Хаусхолдера, модифицированный метод Гивенса, модифицированный метод Хаусхолдера [44-48]. Результаты При выполнении модального анализа применены две пространственные конечно-элементные модели большепролетного здания с разными граничными условиями [35]: модель 1 «Здание - жесткая заделка» с абсолютно жестким основанием; модель 2 «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание» с модулем деформации грунтового основания Е1 = 50 МПа (модель 2, а) и с модулем деформации Е2 = 11 МПа (модель 2, б). Вышеуказанные конечно-элементные модели имеют следующие характеристики: модель 1 включает 30 348 конечных элементов, состыкованных в 30 469 узлах; модель 2 - 1 421 209 элементов и 1 989 721 узлов (наибольший порядок разрешающей системы уравнений составил 5 600 292). Последовательное определение форм и частот собственных колебаний конструкции здания уже на начальных этапах разработки модели помогает выявить большинство неформальных ошибок моделирования. Сопоставить характерные низшие формы и частоты собственных колебаний моделей 1 и 2 можно по таблице. На рис. 2 и 3 представлены графики расчетных зависимостей «суммарные массы - моды собственных колебаний», а также «эффективные массы - моды собственных колебаний» для модели 1 «Здание - жесткая заделка». График на рис. 2 визуализирует охват суммарной массы большепролетного здания с жесткой заделкой с учетом форм собственных колебаний для линейных перемещений и углов поворота относительно осей Х, У, Z. При линейном перемещении Т1 (вдоль оси Х) охват суммарной массы Mass SUM модели 1 в диапазоне частоты от 0 до 20 Гц (161 форма) составил 90,16 % массы модели, для перемещений: Т2 (вдоль оси У) - Mass SUM = 83,42%, Т3 (вдоль оси Z) - Mass SUM = 59,93% (рис. 2, а). Аналогичный график показан на рис. 2, б, где охват суммарной массы всего здания с учетом поворота R1 вокруг оси Х равен 71,16 %, для поворота R2 вокруг оси У и R3 вокруг оси Z - 56,71 и 83,45 % соответственно. Результаты расчета собственных колебаний Results normal modes Формы / Mode Частоты fi, Гц, собственных колебаний моделей / Frequencies fi, Hz, of natural oscillations of the models Модель 1 / Model 1 Модель 2, а (Е1 = 50 МПа) Model 2, a (Е1 = 50 MPa) Модель 2, б (Е2 = 11 МПа) / Model 2, b (Е2 = 11 MPa) 1 f1 = 2,527898 f1 = 1,492509 f1 = 0,93039 new_1.png new_1.png new_1.png 2 f2 = 2,58253 f2 = 1,679839 f2 = 1,218615 new_2.png new_2.png new_2.png 3 f3 = 3,449787 f3 = 2,01596 f3 = 1,289648 new_3.png new_3.png new_3.png 4 f4 = 3,701951 f4 = 2,157223 f4 = 1,532623 new_4.png new_4.png new_4.png Окончание табл. / Table, ending Формы / Mode Частоты fi, Гц, собственных колебаний моделей / Frequencies fi, Hz, of natural oscillations of the models Модель 1 / Model 1 Модель 2, а (Е1 = 50 МПа) Model 2, a (Е1 = 50 MPa) Модель 2, б (Е2 = 11 МПа) / Model 2, b (Е2 = 11 MPa) 5 f5 = 4,505066 f5 = 2,923043 f5 = 2,43373 new_5.png new_5.png new_5.png 6 f6 = 5,148898 f6 = 3,233619 f6 = 2,451672 new_6.png new_6.png 7 f7 = 5,280518 f7 = 3,508309 f7 = 2,532257 new_7.png new_7.png new_7.png 8 f8 = 5,520917 f8 = 4,50695 f8 = 2,637183 new_8.png 9 f9 = 5,820593 f9 = 4,521478 f9 = 2,709601 new_9.png new_9.png new_9.png 2.png а б Рис. 2. Модель 1 «Здание - жесткая заделка», график «Суммарные массы - моды собственных колебаний»: a - перемещение узла Т1, Т2, Т3 по оси Х, У, Z; б - поворот в узле R1, R2, R3 вокруг оси Х, У, Z Figure 2. Model 1 “Superstructure - fixed-end”, graphic “Mass Summary - Mode”: a - T1, Т2, Т3 Translation in the X, Y, Z axes; б - R1, R2, R3 Rotation in the X, Y, Z axes Графики «Эффективная суммарная масса - моды собственных колебаний» для линейных перемещений Т1 по оси Х, Т2 по оси У, Т3 по оси Z и поворотов R1 вокруг оси Х, R2 вокруг оси У и R3 вокруг оси Z демонстрируют опасные формы и частоты fmax собственных колебаний модели 1 «Здание - жесткая заделка» (рис. 4). Наиболее опасными формами собственных колебаний по перемещениям являются форма 1 для Т3 по оси Z с эффективной суммарной массой 34,72 % и форма 6 Т3 по оси Z с эффективной суммарной массой 51,33 % (рис. 4, а). Для поворота опасными будут форма 6 для R2 вокруг оси У (32,21 %) и R3 вокруг оси Z (29,6 %) и форма 4 для R1 вокруг оси Х (27,96 %). Данные графики указывают на опасные формы и частоты собственных колебаний здания при перемещениях T1(X), T2(Y), T3(Z) и углов поворотов относительно каждой оси R1(X), R2(Y), R3(Z). Результаты собственных колебаний определяют поведение каждой конструкций и здания в целом при динамических воздействиях. Далее на рис. 5-8 представлены аналогичные графики для моделей 2, а и 2, б «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание» с разными модулями деформаций Е1 = 50 МПа и Е2 = 11 МПа соответственно. а new_3b.png б Рис. 3. Модель 1 «Здание - жесткая заделка», график «Эффективные массы - моды собственных колебаний»: a - перемещение узла Т1, Т2, Т3 по оси Х, У, Z; б - поворот в узле R1, R2, R3 вокруг оси Х, У, Z Figure 3. Model 1 “Superstructure - fixed-end”, graphic “Effective masses fraction - mode”: a - T1, Т2, Т3 translation in the X, Y, Z axes; б - R1, R2, R3 rotation in the X, Y, Z axes new_4a.png а Рис. 4. Модель 2, а «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание», Е1 = 50 МПа, график «Суммарные массы - моды собственных колебаний»: a - перемещение узла Т1, Т2, Т3 по оси Х, У, Z Figure 4. Model 2, а “Superstructure - pile foundation - soil base”, Е1 = 50 MPa, graphic “Mass summary - mode”: a - T1, Т2, Т3 translation in the X, Y, Z axes new_4b.png б Рис. 4. Модель 2, а «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание», Е1 = 50 МПа, график «Суммарные массы - моды собственных колебаний» (окончание): б - поворот в узле R1, R2, R3 вокруг оси Х, У, Z Figure 4. Model 2, а “Superstructure - pile foundation - soil base”, Е1 = 50 MPa, graphic “Mass summary - mode” (ending): б - R1, R2, R3 rotation in the X, Y, Z axes Е=50 МПА_Перемещения_Эффективные суммарные массы-формы собственных колебаний.png а new_5b.png б Рис. 5. Модель 2, а «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание», Е1 = 50 МПа, график «Эффективные массы - моды собственных колебаний»: a - перемещение узла Т1, Т2, Т3 по оси Х, У, Z; б - поворот в узле R1, R2, R3 вокруг оси Х, У, Z Figure 5. Model 2, а “Superstructure - pile foundation - soil base”, Е1 = 50 MPa, graphic “Effective masses fraction - mode”: a - T1, Т2, Т3 translation in the X, Y, Z axes; б - R1, R2, R3 rotation in the X, Y, Z axes new_6a.png а new_6b.png б Рис. 6. Модель 2, б «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание», Е2 = 11 МПа, график «Суммарные массы - моды собственных колебаний»: a - перемещение узла Т1, Т2, Т3 по оси Х, У, Z; б - поворот в узле R1, R2, R3 вокруг оси Х, У, Z Figure 6. Model 2, b “Superstructure - pile foundation - soil base”, Е2 = 11 MPa, graphic “Mass summary - mode”: a - T1, Т2, Т3 translation in the X, Y, Z axes; б - R1, R2, R3 rotation in the X, Y, Z axes new_7a.png а Рис. 7. Модель 2, б «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание», Е2 = 11 МПа, график «Эффективные массы - моды собственных колебаний» a - перемещение узла Т1, Т2, Т3 по оси Х, У, Z Figure 7. Model 2, b “Superstructure - pile foundation - soil base”, Е2 = 11 MPa, graphic “Effective masses fraction - mode”: a - T1, Т2, Т3 translation in the X, Y, Z axes new_7b.png б Рис. 7. Модель 2, б «Здание - свайный фундамент - грунтовое основание», Е2 = 11 МПа, график «Эффективные массы - моды собственных колебаний» (окончание) б - поворот в узле R1, R2, R3 вокруг оси Х, У, Z Figure 7. Model 2, b “Superstructure - pile foundation - soil base”, Е2 = 11 MPa, graphic “Effective masses fraction - mode” (ending): б - R1, R2, R3 rotation in the X, Y, Z axes Обсуждение В последние годы при проектировании зданий все большее внимание уделяется динамике их поведения. Речь, в частности, идет о расчетном проектировании объектов, предназначенных для строительства в сейсмических районах. В проектных расчетах необходимо учитывать работу подземной части здания, состоящей из фундамента (мелкого или глубокого заложения), взаимодействующего с грунтовыми массивами различной реологии. Особую сложность представляет экспериментальная оценка диссипативных (демпфирующих) свойств грунта[15] [49-51], которые должны быть учтены при выполнении расчетов вынужденных колебаний строительных объектов при сейсмических нагрузках. Вместе с тем определение мод собственных колебаний также имеет большое практическое значение, поскольку указанные моды характеризуют фундаментальные упруго-массовые свойства как отдельных конструктивных фрагментов, так и всего здания в целом. Кроме того, моды собственных колебаний используются в динамических расчетах различного вида, например в расчетах вынужденных колебаний конструкций модальным методом. Результаты подобных расчетов (реакции на динамические воздействия) оказываются весьма чувствительными к граничным условиям. Поэтому ввод в расчет упрощенных (априорных) граничных условий, не учитывающих свойства и характеристики фундаментов и грунтов, может приводить к серьезным ошибкам. Заключение Граничные условия оказывают существенное влияние на формы и частоты собственных колебаний надземной части здания с цилиндро-плитным покрытием. Учет в расчетах жесткостных и инерционных свойств подземной части (основания и фундамента) здания приводит к существенному изменению частот и форм его собственных колебаний. Отсюда пренебрежение подземной частью и моделирование ее влияния жесткой заделкой может привести к существенным ошибкам динамического анализа конструкции здания. Существенное влияние на результаты анализа динамики оказывают физико-механические свойства грунтов. В ходе численного исследования выявлено, что уменьшение модуля деформаций грунта Еi, МПа может приводить не только к уменьшению значений собственных частот fi здания, но и к изменению порядка следования характерных низших форм собственных колебаний (поперечных, продольных, ортогональных, крутильных). Низшими формами собственных колебаний являются формы покрытия центральной части здания, то есть цилиндрической оболочки нулевой гауссовой кривизны.

About the authors

Elvira R. Kuzhakhmetova

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Author for correspondence.
Email: elja_09@bk.ru
ORCID iD: 0000-0002-0907-786X
SPIN-code: 1949-1140

engineer, senior lecturer, Reinforced Concrete Structures and Masonry Structures Department, Institute of Industrial and Civil Engineering

26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129377, Russian Federation

Valerii I. Sutyrin

Immanuel Kant Baltic Federal University

Email: vsutyrin@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4911-8515
SPIN-code: 7194-7481

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Institute of Engineering and Technology

14 Aleksandra Nevskogo St, Kaliningrad, 236041, Russian Federation

References

Supplementary files