Numerical-analytical method in reinforced concrete mechanics

Full Text

Введение В связи с все более широким внедрением компьютерных технологий в практику проектирования железобетонных конструкций для повышения их безопасности, учет физических процессов и особенностей их силового сопротивления становится все более актуальной проблемой. В практике современного компьютерного моделирования уже имеются ряд вычислительных комплексов, в которых используют конечно-элементные модели железобетона, но еще недостаточно привлекают современные физические модели, в частности расчетные модели сопротивления плосконапряженного и сложно напряженного железобетона[10] [1-17]. В связи с этим в рассматриваемой работе предложен численно-аналитический вариант метода механики железобетона, в котором соединены метод расчетных моделей сопротивления железобетона [1] и метод конечных элементов в интеллекте вычислительного комплекса «ЛИРА-САПР» для решения задач жесткости и эффекта железобетона в виде несплошности бетона и реакции с учетом арматуры в трещине. Раскрыта физическая суть эффекта железобетона, состоящего в дополнительном деформационном воздействии нарушения сплошности бетона и реакции арматуры в трещине. Механизм «стягивания» трещины построен на энергетической основе и заложен в зоне предразрушения, с локализованной здесь деформацией и с образованием новых удельных поверхностей трещины. Определение скорости высвобождения энергии выполнено на основе функционала механики разрушения с использованием множителей Лагранжа и предложенного универсального двухконсольного элемента (ДКЭ). При этом в растянутой области бетона для определения расстояния между трещинами и ширины раскрытия в местных зонах, прилегающих к трещине, учитывается сцепление бетона с арматурой. Метод в механике железобетона Предлагаемая аналитическая модель наряду с моделированием процесса совместного деформирования арматуры с бетоном может рассматриваться для определения секущей жесткости арматурных реакций - связей, пересекающих дискретную трещину. Продольная податливость λsm (жесткость) связи Сsm определяется отношением осевым перемещением Usm и реакцией связи Nsm: (1) Эта реакция зависит от краевых условий, которыми в процессе исследования можно варьировать. В расчетной модели рассматривается характерный железобетонный элемент - представительный объем бетона, с одиночным арматурным стержнем. Случай центрального армирования одним стержнем при выдергивании его из бетонной матрицы наиболее полно раскрывает закономерность деформирования при выдергивании арматурного стержня из бетонной матрицы. Деформирование такого характерного элемента (рис. 1) является одной из характерных задач строительной механики железобетона при наличии дискретных трещин [3]. Именно к такому случаю точно или приближенно сводятся все виды армирования железобетонных конструкций системой арматурных стержней[11] [1-4; 18-21 и др.]. В расчетной модели характерного элемента левый торец жестко закреплен от любых перемещений, правый торец - свободный. К арматурному стержню прикладывается растягивающее усилие Ns, вызывающее перемещения стержня и торца элемента Us и Ub, соответственно по всей длине железобетонного стержня (ри. 1). Рис. 1. Расчетная схема элемента характерного железобетонного элемента Figure 1. Calculation scheme of an element of a characteristic reinforced concrete element Силы сцепления, действующие по контакту арматуры с бетоном характеризуются погонными касательными усилиями τbond(x), в бетоне - по направлению действующей нагрузки, а в арматуре, - противоположно направленные. Закон сцепления между бетоном и арматурой в исследуемой модели - упругопластический. Он описывается с привлечением билинейной диаграммы τbond - εq(x), учитывающей экспериментальные данные А.Б. Голышева, В.М. Кольнера, М.М. Холмянского, Е.М. Бабича и др.[12] [1-4; 18-21]. (2) при , (3) при где εq(x) - относительное взаимное смещение бетона и арматуры в сечении x; накопление которых на участке между трещинами и составляет ширину раскрытия трещин acrc; - граничное относительное взаимное смещение бетона и арматуры, соответствующее конечной точке первого участка диаграммы сцепления (рис. 2). Работа бетона в данной модели также описывается с помощью билинейной диаграммы σc - εc, представлена на рис. 2. Для бетона используем следующую зависимость, моделирующую упругопластическую работу материала: (4) В рассматриваемой модели реализованы следующие варианты диаграмм деформирования арматуры, бетона и сцепления арматуры с бетоном путем изменения выражений системы уравнений: - вариант модели с нелинейным бетоном, нелинейной зависимостью сцепления и линейной работой арматуры (рис. 2 и 3); - вариант модели с нелинейными бетоном, арматурой и зависимостью сцепления; - вариант модели с трехлинейными бетоном, зависимостью сцепления и билинейной диаграммой деформирования арматуры. а б в Рис. 2. Диаграммы деформирования, реализованные в аналитической модели: а - билинейная зависимость сцепления и диаграмма деформирования бетона, линейная диаграмма деформирования арматурной стали; б - билинейная зависимость сцепления и диаграммы деформирования бетона и арматурной стали; в - трехлинейная зависимость сцепления, диаграмма деформирования бетона и билинейная работа арматуры Figure. 2. Deformation diagrams implemented in the analytical model: а - bilinear bond dependence and concrete deformation diagram, linear diagram of reinforcing steel deformation; б - bilinear dependence of adhesion and deformation diagrams of concrete and reinforcing steel; в - three-line dependence of adhesion, concrete deformation diagram and bilinear work of reinforcement Используя условия равновесия двухкомпонентного железобетонного элемента, получаем следующие два дифференциальные уравнения, связывающие усилия (рис. 3): - для арматуры: (5) - для усилий сцепления в бетоне: (6) Рис. 3. Схема усилий арматуры в бетоне Figure 3. Scheme of reinforcement forces in concrete Продифференцировав (5) и (6) по координате х, получим (7) (8) Приняв для арматуры справедливым закон Гука можно заметить (9) Отсюда получим (10) Таким образом, решена нелинейная краевая задача, определяемая четырьмя уравнениями, два из которых - дифференциальные первого порядка. Граничные условия задачи записываются в следующем виде: (11) (12) Граничные условия задачи записываются в следующем виде: (13) Специальная двухэлементная консольная модель (ДКМ) привлекается для двух типов конечных элементов, в первом случае плоские, в соответствии рис. 4, а, б, во втором случае пространственный (рис. 4, в-д). ПРОСТР_ТРЕЩИНА-Модель ПРОСТР_ТРЕЩИНА-дель а б Описание: РИС 1 Описание: РИС 2 в г Описание: РИС 3 д Рис. 4. Двухэлементная плоская и пространственная модель: а - плоская без «расшивки»; б - плоская после «расшивки»; в - пространственная до «расшивки»; г - пространственная после «расшивки»; д - деформационные воздействия ∆1 = acrcl, ∆2 = acrcm, ∆3 = acrcn; 1 - 255 КЭ до «расшивки»; 2 - 201 КЭ; 3 - 255 КЭ после «расшивки»; 4 - 233 КЭ Figure 4. Two-element planar and spatial model: а - flat without “embroidery”; б - flat after “stitching”; в - spatial up to “embroidery”; г - spatial after “embroidery”; д - deformation effects ∆1 = acrcl, ∆2 = acrcm, ∆3 = acrcn; 1 - 255 FE before “joining”; 2 - 201 FE; 3 - 255 FE after “spreading”; 4 - 233 FE Результаты и обсуждение По первому варианту жесткость определяется с использованием приема моделирования явных трещин-щелей, с учетом эффекта нарушения сплошности и несовместности деформаций бетона (конечные элементы 232,201). На участках, где возможное закрытие трещин моделируется 255 КЭ. При этом распределенное армирование в элементах заменяется двумя - для плоской модели и четырьмя - для пространственной модели стержневыми конечными элементами в каждом взаимно перпендикулярном направлении соответственно. Перемещение узлов определяются из расчета двухэлементной расчетной модели с заданными в узлах нагрузками. При этом опорные закрепления двух узлов в плоской модели и четырех узлов - в пространственной модели выполняется чередующимися шарнирно неподвижными и шарнирно подвижными опорами. В целях усреднения результатов расчета чередование необходимо задавать в такой последовательности: слева - справа, спереди - сзади, снизу - сверху. Важным является и то, что наряду с узловыми нагрузками в двухэлементной модели задаются еще и деформационные воздействия, связанные с раскрытием трещины, которая, в свою очередь, как показано в [1; 19; 22], связана с эффектом нарушения сплошности. Задание деформационного воздействия выполняется в каждом узле (кроме опорных) по трем направлениям в соответствии с рисунком 4, д, где l, m и n - направляющие косинусы главного вектора раскрытия трещины в той или иной ее точке по отношению к осям х, у и z соответственно. Во втором варианте при решении обратной задачи деформационные воздействия не задаются, а моделируются «расшивается» щель между конечными элементами с ее минимальной возможной шириной, с помощью которой производится последовательный итерационный анализ. Для решения обратной задачи, связанной не задаются деформационные воздействия, а моделируется щель между конечные элементы «расшиваются» с ее минимально возможной шириной. При этом с помощью которой выполняется последовательный итерационный анализ напряженно-деформированного состояния. Перемещения берегов трещины по трем взаимно перпендикулярным направлениям в результате использования ДКМ определяется соответствующими составляющими ширины раскрытия дискретной трещины между парой КЭ из интеллекта вычислительного комплекса «ЛИРА-САПР». Другой вариант расчета предполагает выполнение расчетных процедур без изменения заданного порядка и номеров КЭ. В этом варианте, в конечных элементах, прилегающих к неявным трещинам, уменьшается их толщина. Работа каждой пары КЭ рассчитывается дважды с использованием двухэлементной консольной модели: до «расшивки» КЭ и после «расшивки» КЭ, с приложенными узловыми усилиями и деформационными воздействиями от раскрытия трещины и с учетом эффекта нарушения сплошности. Усредненные усилия в узлах в различных направлениях для ДКМ определяются из физически нелинейного расчета всей конструкции. Для этого используются узловые усилия в соответствующих конечных элементах бетона и арматуры. В местах переходов горизонтальных участков моделируемых трещин к вертикальным и боковым, работа для угловых конечных элементов определяются путем их усреднения. В результате новая толщина конечных элементов, прилегающих к трещине, определяется по формуле (14) где и - работы двухэлементной модели «до расшивки» и «после и «после расшивки» соответственно. Предлагаемый алгоритм предусматривает наличие итерационного процесса, регулируемого достигнутой точностью толщины отмеченных конечных элементов, которые прилегают к мнимым трещинам. Здесь уместно заметить, что жесткость стержневых железобетонных конструкций на участках с наклонными трещинами, в том числе пересекающимися, заменяется эквивалентной жесткостью, вычисляемой по формуле: (15) где W3 - робота сил выделенного участка. Итерационный процесс заканчивается после достижения заданной погрешности при определении B1(λ). На участках с нормальными трещинами жесткость стержневых железобетонных конструкций определяется с использованием значений изгибающего момента М и радиуса кривизны и ρ по нормативной методике: (16) Алгоритм расчета, в соответствии с предложенным вариантом численно-аналитического метода расчета жесткости плосконапряженных и пространственных сложно напряженных железобетонных конструкций с привлечением программного комплекса «ЛИРА-САПР», который включает следующие модули: Модуль 1. Деформационные эффекты - учитывают деформационное воздействие реакции арматуры и бетона. Модуль 2. «Двухконсольный элемент (ДКЭ)», связанный с нарушением сплошности бетона. Модуль 3. «Билинейная поверхность», определяется уравнением пучка билинейной поверхности, которая конкретизируется применительно к заданному поперечному сечению. Модуль 4. «Экстремальные значения функции, многих переменных для железобетона», определяет максимальную ширину раскрытия трещин проекции и расстояния между смежными трещинами в многоуровневом процессе. Модуль 5. «Податливость», определяет параметры сцепления арматуры с бетоном. Модуль 6. «Расшивка конечных элементов», при трещинообразовании. Модуль 7. «ДКМ консоль» - используется для нелинейного расчета всей железобетонной конструкции на заданные силовые и деформационные воздействия. В этом инструменте выделяются пары конечных элементов, прилегающих к такой трещине, и привлекается специальная расчетная двухэлементная консольная модель (ДКМ) сопротивления железобетона. Заключение На основе варианта анализа и обобщения экспериментально-теоретических исследований с предложением численно-аналитического метода в механике железобетона и на его основе разработаны методика и алгоритм, позволяющие моделировать дискретные трещины и жесткость железобетонных конструкций. В интеллекте «ЛИРА-САПР» выполнено моделирование раскрытия трещин и с учетом эффекта железобетона в виде нарушения сплошности бетона, реакции арматуры в трещине. При этом в качестве инструментов использованы двухконсольный элемент (ДКЭ) для пространственной трещины, аналитическая модель сцепления арматуры с бетоном, «расшивка» трещин, специальная расчетная двухэлементная консольная модель (ДКМ); «закрытие трещины» после «расшивки». Предложена методика определения раскрытия трещин, жесткости элементов с трещинами, расстояния между трещинами. Решение выполнено прямым и обратным способом построения формул для ширины раскрытия и закрытия трещин.

About the authors

Vladimir I. Kolchunov

Southwestern State University; Research Institute of Building Physics of the RAACS

Author for correspondence.
Email: vlik52@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5075-1134

corresponding member of the RAASN, Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Unique Buildings and Structures

94 50 let Oktyabrya St, Kursk, 305040, Russian Federation; 21 Lokomotivnyi Proezd, Moscow, 127238, Russian Federation

References

Supplementary files