Stability of shallow shells with local changes in strength characteristics

Full Text

Введение Пространственные конструкции в виде пологих оболочек нашли широкое применение при возведении большепролетных зданий и сооружений, в которых есть требования к отсутствию внутренних опор. При этом, на стации эксплуатации могут возникнуть местные дефекты в конструкции, которые приводят к общей потери прочности или устойчивости (рис. 1). Изучению конструкций в виде пологих оболочек в настоящее время уделяется значительное внимание во всем мире. Проводятся исследования устойчивости [1-3] и колебаний конструкций [4-7], в том числе в нелинейной постановке [8; 9] и различных форм срединной поверхности [10-12]. Интересны работы, анализирующие поведения слоистых [13-15] и ортотропных пологих оболочек [16], результаты которых могут быть использованы для моделирования железобетонных и армоцементных конструкций. Особый интерес представляют работы, в которых исследуется длительная прочность оболочек покрытия и снижение ее в следствии различных факторов [17; 18]. Но перед проектировщиками зачастую стоят задачи не только расчета конструкций, но и их исследования, поэтому разработка методов их анализа является важной задачей. В настоящее время большинство таких конструкций рассчитываются и исследуются при помощи программного обеспечения, основанного на методе конечных элементов [19; 20]. Это удобно для инженерного проектирования. Однако, в случае нелинейных задач можно получить результаты, точность которых трудно оценить. Решение сильно зависит от типа и числа конечных элементов, причем увеличение количества элементов не приводит к достаточному уровню точности. Рис. 1. Обрушение пространственной конструкции покрытия здания Трансвааль-парка, Москва (сверху) и здания Басманного рынка, Москва (снизу) Figure 1. The collapse of the elite structure of the covering of the Transvaal Park building, Moscow (above) and the building of the Basmannyi market, Moscow (below) В решении некоторых задач проектирования, а особенно синтеза и анализа конструкций более точные результаты можно получить с использованием численных методов прямого вариационного исчисления [21-24]. Разработка численных методов расчета и анализа тонкостенных конструкций с дефектами, работающих в нелинейной стадии деформирования остается актуальной задачей. Методы Задача расчета конструкций покрытий зданий и сооружений в виде пологих оболочек, имеющих дефекты, полученные в результате каких-либо воздействий (рис. 2) с любым отношением сторон в плане и видом опирания, а также загруженными вертикальной равномерно распределенной нагрузкой, может быть представлена системой уравнений (1). При этом толщина конструкции весьма мала по сравнению с размерами в плане, а величины прогибов соизмеримы с толщиной, следовательно, необходимо учесть геометрическую нелинейность работы конструкции [21; 22]: (1) где - функция напряжений; w - функция прогибов; Z - функция нагрузки. Переменная форма оболочки на прямоугольном плане описывается уравнением ее срединной поверхности: , (2) где - стрела подъема в центре оболочки; , - параметры, характеризующие форму оболочки; , - стрелы подъема опорных арок оболочки; - размеры в плане. Рис. 2. Покрытие в виде пологой оболочки с произвольным дефектом Figure 2. Coating in the form of a shallow shell with an arbitrary defect Рис. 3. Форма изменения модуля упругости в зависимости от варьирования параметров m, η, θ Figure 3. The form of change in the modulus of elasticity depending on changes in the parameters m, η, θ Дефект моделируется в виде изменения модуля упругости на произвольной области конструкции в виде , (3) где E0 - начальный модуль упругости (рис. 3); η, γ - коэффициенты износа конструкции вдоль оси x и y соответственно (0; E0]; m - коэффициент, характеризующий смещение точки наименьшего модуля упругости вдоль оси x [-a; a]; n - коэффициент, характеризующий смещение точки наименьшего модуля упругости вдоль оси y [-b; b]; θ, ϑ - коэффициенты, характеризующие форму изменения модуля упругости вдоль осей x и y соответственно (0,5; ∞). Варьирование коэффициентов m, η, θ позволяет задавать большое количество вариантов возможных дефектов (уменьшение прочностных характеристик некоторой области конструкции, степень уменьшения прочностных характеристик). Напряжения в любой точке оболочки можно определить с помощью метода Бубнова - Галеркина [24]: , (4) где ; (5) ; (6) . (7) ; . (8) ; . (9) ; . (10) . (11) (12) ; . (13) (14) (15) (16) (17) (18) где h - толщина конструкции покрытия в виде пологой оболочки; ν - коэффициент Пуассона; A, B - неизвестные метода Бубнова - Галеркина; Zx, Zy - балочные функции В.З. Власова. Так как рассматриваемые конструкции можно отнести к тонким пологим оболочкам (толщина значительно меньше размеров в плане), в большинстве случаях возникает необходимость проверки конструкции на устойчивость. Коэффициент критической нагрузки для пологих оболочек на упругом основании может быть представлен уравнением (19) Значения, полученные с помощью представленной методики, сравнивались с результатами других авторов. Проводилось сравнение изгибающего момента, возникающего в металлической оболочке на квадратном плане. Результаты решения показали хорошую сходимость со значениями авторов, использующих другие численные методы [22]. При расчете методом конечных элементов результат сильно зависел от количества используемых конечных элементов в модели. Результаты и обсуждение Представленная постановка задачи определения напряжений и критической нагрузки в покрытиях в виде пологих оболочек позволяет проводить исследования влияния различных факторов на напряженно-деформированное состояние конструкций, что не всегда возможно при помощи методик, основанных на методе конечных элементов. Для примера рассматривалась конструкция покрытия в виде оболочки на квадратном плане с соотношением толщины к размеру в плане h/2a = 1/20. На рис. 4 показано уменьшение значения критической нагрузки тонкостенной конструкции покрытия, определяемых по формуле (19), при увеличении параметра m, то есть смещении дефекта от центра к краю конструкции. Рисунок наглядно иллюстрирует опасность возникновения дефектов, приводящих к снижению прочностных характеристик оболочек и возможности использования приведенных уравнений для определения напряженно-деформированного состояния в них. На рис. 5 показано изменение критической нагрузки при возникновении дефекта на расстоянии четверти размера в плане от центра для той же конструкции в зависимости от коэффициента, характеризующего форму снижения значения модуля упругости . fixed pinchingpinned supportsliding support Рис. 4. Влияние размещения дефекта на значение величины критической нагрузки Figure 4. Influence of defect placement on the value of the critical load Рис. 5. Зависимость критической нагрузки от параметра, характеризующего форму снижения значения модуля упругости Figure 5. Dependence of the critical load on the parameter characterizing the shape of the decrease in the value of the modulus of elasticity Графики показывают возможность использования представленной численной методики определения напряженно-деформированного состояния конструкций в виде пологих оболочек для анализа влияния различных параметров дефектов (величина снижения модуля упругости, местонахождение дефекта, форма снижения модуля упругости) и размеров конструкции (толщины, формы конструкции, стрелы подъема) на исследуемые характеристики. Постановка задачи определения напряженно-деформированного состояния конструкций в виде пологих оболочек с дефектами позволяет проводить исследования и оценивать несущую способность конструкции исходя из условий проектирования. Представление уравнений (4), (19) в безразмерном виде удобно для получения зависимостей и анализа вносимых изменений без привязки к конкретным размерам. Задание срединной поверхности F, входящей в систему (1) в виде поверхности переноса [23] позволило исследовать влияние дефектов на конструкции различной формы при одинаковых размерах в плане и стреле подъема. У конструкций в виде пологих оболочек с образующей в форме, находящейся между сферической и цепной функциями влияния дефектов на величину критической нагрузки, проявляется в меньшей степени [21; 24]. Использование изменяющейся формы изменения модуля упругости (рис. 3) позволяет смоделировать дефекты, максимально приближенные к реальным. Рис. 4 показывает влияние размещения дефекта на значение величины критической нагрузки, как наиболее важный параметр дефекта после значения его величины, влияние которого очевидно. Он позволяет оценить степень снижения несущей способности в зависимости от приближения дефекта к опорной зоне. График же, показанный на рис. 5 показывает влияние формы снижения значения модуля упругости на величину критической нагрузки. Из графиков видно, что помимо величины уменьшения модуля упругости в месте возникновения дефекта, важно место его нахождения, область повреждения и форма снижения модуля упругости по толщине конструкции. Аналогичные зависимости были обнаружены для значения напряжений, возникающих в конструкции. Уменьшить значение влияния возможных дефектов можно придав на этапе проектирования конструкции форму, близкую к оптимальной или задав рациональные изменение толщины конструкции вдоль ее образующей [24; 25]. Заключение Предложенная постановка задачи может быть использована для определения и исследования напряженно-деформированного состояния конструкций в виде пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности работы при наличии в них дефектов. Построенные графики зависимости критической нагрузки от различных параметров позволили оценить работу конструкций с учетом изменения различных факторов. Использование изменяющихся характеристик снижения модуля упругости, возникающее вследствие возникновения дефекта, показывает результаты, приближенные к реальным условиям.

About the authors

Alexander G. Kolesnikov

South-West State University

Author for correspondence.
Email: ag-kolesnikov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7874-3646

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Unique Buildings and Structures

94 50 Let Oktyabrya St, Kursk, 305040, Russian Federation

Antonina V. Osadchaya

South-West State University

Email: tonechka.84@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0076-3695

master student, Department of Unique Buildings and Structures

94 50 Let Oktyabrya St, Kursk, 305040, Russian Federation

References

Supplementary files