Forced oscillations of a multimodular beam on a viscous elastic base

Full Text

Введение В современное время балки, доски и покрытия из различных материалов находят широкое применение в возведении строительных комплексов, машиностроении, строительстве магистральных железнодорожных путей и многих других областях. В процессе эксплуатации они подвергаются воздействию различных внешних сил. Последние теоретические и экспериментальные исследования показывают, что физико-механические свойства многих материалов не подчиняются законам теорий классической упругости и пластичности, а связь между напряжением и деформацией зависит от вида нагрузки. Примерами являются некоторые виды чугуна, полимеры, композиты и ряд других материалов [1-8]. Одной из важнейших задач, стоящих сегодня перед исследователями-инженерами при вычислении прочности, устойчивости и частотно-амплитудных характеристик конструкций, является правильная оценка свойств материалов используемых конструктивных элементов и учет воздействия контактирующей окружающей среды, применение эффективных и проверенных математических методов решения. С учетом вышеизложенного решение задачи и анализ полученных результатов создают ряд трудностей. А если их не учитывать, то могут быть допущены серьезные ошибки. С этой целью решается задача о вынужденных колебаниях балки, находящейся на вязком эластичном основании и оказывающей разное сопротивление растяжению и сжатию [9-12]. Постановка и решение задачи Предполагается, что балка, оказывающая разное сопротивление растяжению и сжатию, совершает вынужденные колебания под действием силы, изменяющейся по поперечно-гармоническому закону. Поперечное сечение балки имеет две оси симметрии [13-15]. Сила поперечного воздействия подчиняется закону (1) А реакция вязкого упругого основания подчиняется закону (2) где P0(x) - непрерывная функция; w - частота; t - время; C1, C2 - характеристики основания; W - прогиб. Нормальное напряжение по поперечному сечению балки распределяется по следующему закону: (3) где E+, E- - модули упругости при растяжении и сжатии; e, - деформация и кривизна центральной линии соответственно. Деформация, кривизна и граница z0 нейтральной линии связаны выражением (4) Уравнение равновесия (условие отсутствия продольной силы) записывается следующим образом: (5) Отсюда получаем (6) Изгибающий момент M рассчитывается следующим образом: (7) Учитывая (5) в (7), выражение изгибающего момента пишется как (8) Примем следующие обозначения: (9) где Jr - момент инерции поперечного сечения одномодульной балки. Если обозначить через M0 значение изгибающего момента для одномодульной балки, то значение изгибающего момента для однородной по высоте балки можно выразить следующим образом: (10) Если балка неоднородна по длине, то выражение (10) запишется так (11) Предполагается, что функция f(x) является непрерывной функцией, включая производную второго порядка (M = M0K(S1, S2); E+ = f(x); r = r0ψ(x)). Уравнение движения записывается следующим образом: (12) или (13) Поскольку уравнение (13) сложное, его точное решение можно получить для однородной балки. В этом случае уравнение (13) записывается следующим образом: (14) Если, используя метод разложения на переменные, произвести замену , то уравнение (14) упрощается: (15) Здесь Задавая закон распределения P(x), поищем решение (15) в виде (16) Это нетрудно решить: V0 - общее, а Vx - частное решение однородного уравнения. Найдем решение уравнения (14), используя метод разложения на переменные и метод ортогонализации Бубнова - Галеркина. Поищем функцию сгиба в виде (17) и, если записать ее значение в уравнение движения, получим следующее уравнение (): (18) В первом приближении, если записать условие ортогонализации для балки, концы которой закреплены в шарнирах ( ): (19) Принимая во внимание (20) Следовательно, можем писать (21) При получим решение свободных колебаний: (22) Запишем выражения (21) и (22) следующим образом: (23) или (24) Если балка находится на основании Винклера, то выражение (24) имеет следующий вид: (25) Отчет представлен в таблице и на рисунке. Вычисленные значения отношения по параметру μ, характеризующему неоднородности Calculated values of the ratio according to the parameter μ characterizing the heterogeneity μ 0 1 0,2 0,909 0,4 0,833 0,6 0,769 0,8 0,714 1 0,666 μ Зависимость между разностью частот и параметром, характеризующим неоднородность Dependence between the frequency difference and the parameter characterizing the heterogeneity Заключение Получены уравнения зависимости между круговой частотой и параметрами, характеризующими сопротивление внешней среды и неоднородность. Проведены вычисления для конкретных значений характеристических функций, приведены результаты в виде таблиц и кривых соответствующих зависимостей. Из полученных уравнений видно, что при решении задач колебательного движения без учета сопротивления внешней среды и разномодульности допускаются серьезные ошибки. Вдобавок по мере увеличения значений параметров, определяющих неоднородность плотности, существенно меняется значение разности частот. Полученные результаты могут быть использованы в отчетах по прочности, устойчивости и частотно-амплитудным характеристикам разномодульных балок, досок и цилиндрических покрытий с учетом сопротивления внешней среды.

About the authors

Natig S. Rzayev

Baku Engineering University

Author for correspondence.
Email: nrzayev@beu.edu.az
ORCID iD: 0000-0002-1159-9296

Doctor of Philosophy in Mechanics (PhD), Associate Professor of the Department of Engineering Mechanics

120 Hasan Aliyev St, Baku, AZ0102, Azerbaijan Republic

References

Supplementary files