The impact of heavy object on an underground structure when falling onto the ground surface

Full Text

Введение В практике эксплуатации подземных сооружений случаются аварийные ситуации, при которых происходит падение на них тяжелых предметов. Такие ситуации могут происходить, например, на космодромах при аварийном запуске ракеты. Так, в 2002 г. произошла авария на космодроме Плесецк, при которой стартовый стол и соседние сооружения получили значительные повреждения, в том числе от падения сопла ракетного двигателя, которое, падая, пробило покрытие стартового стола. В связи с этим при расчете подземных сооружений, предназначенных для защиты людей и оборудования, рассматривается расчетная ситуация, при которой происходит падение сопла разгонного блока ракеты на космодромах. Задача о высокоскоростных импульсных воздействиях на строительные конструкции является достаточно изученной, в том числе в военной сфере. Некоторые результаты таких исследований приведены в [1-5]. В настоящее время продолжаются совершенствование данных исследований и разработка методик расчета на высокоскоростные импульсные воздействия [6-14], чему способствует развитие расчетных комплексов. В исследовании рассматривается динамическое воздействие тяжелого габаритного предмета на находящееся в грунте сооружение. Целью исследования является разработка конечно-элементной модели подземного сооружения при падении на поверхность земли жесткого ударника. Для решения поставленной цели реализованы следующие задачи: - создана расчетная модель падения полусферы на грунт, результаты сравнены с данными других исследований; - разработана конечно-элементная модель подземного сооружения при падении на поверхность земли жесткого ударника. Материалы и методы моделирования Процесс высокоскоростного взаимодействия тел описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Для решения данных уравнений часто на практике используется метод конечных элементов (МКЭ), заключающийся в делении расчетной области на конечные элементы (КЭ). Данный процесс называется дискретизацией, и для подобных быстротекущих задач выполняется как пространственная, так и временная дискретизация. Так как удар по грунту имеет высоконелинейный характер, то оптимальным является применение явного метода моделирования. При данном методе система алгебраических уравнений, полученных путем приведения дифференциальных уравнений к алгебраической системе относительно перемещений в узлах, решается напрямую, то есть явно. Это позволяет решать задачи с быстропротекающими процессами в нелинейной постановке. Дифференциальное уравнение движения системы с конечным числом степеней свободы при явном методе записывается следующим образом: (1) Для явной схемы выглядит так . (2) Вектор ускорений (3) где - вектор внешних сил; - вектор внутренних сил. Учет различных типов нелинейностей производится через вектор внутренних сил {F}: , (4) где В - матрица деформаций - перемещений; σ - вектор перемещений; - вектор контактных сил. Векторы скоростей и перемещений на соответствующем шаге определяются следующим образом: (5) . (6) Для стабильности счета в явном методе необходимо выполнение условия Куранта - Фридриха - Леви, при котором шаг по времени должен быть меньшим, чем продолжительность прохождения звука по наименьшему элементу. Это условия записывается следующим образом: , (7) где N - коэффициент безопасности; l - размер наименьшего элемента; с - скорость звука в элементе. Для решения задачи пространственной дискретизации расчетной модели используются лагранжев и эйлеров методы, которые различаются в подходе к описанию движению среды. Лагранжев метод используется в МКЭ. В этом методе описания движения среды элементы при деформации движутся вместе со своим материалом. При этом нет перетекания материала от одного к другому, то есть нет конвективных процессов. Такой метод подходит для описания твердых элементов. Однако при больших деформациях может произойти значительное искажение сетки КЭ, что может привести к очень маленьким временным шагам и спутыванию сетки (рис. 1). Эйлеров метод (рис. 2) используется в методе конечных разностей и методе конечных объемов. В этом методе, в отличие от предыдущего, сетка остается недеформированной, в то время как материал может перетекать из одного элемента в другой (рис. 9). Такой метод подходит для жидких материалов, таких как газ или вода, а в нашем случае и к грунтам, потому что они при высокоскоростном проникновении проявляют свойства этих материалов. Рис. 1. Лагранжево описание движения сред Figure 1. Lagrangian description of the motion of a continuous medium Рис. 2. Эйлерово описание движения сред Figure 2. Euler description of the motion of a continuous medium Рис. 3. Лагранжево-эйлерово описание движения сред Figure 3. Lagrangian- Eulerian description of the motion of a continuous medium Обозначенные методы имеют свои достоинства и недостатки, поэтому на практике для решения высокоскоростных задач взаимодействия твердых тел и жидких материалов (fluid-structure interactions, FSI) применяются совместно оба метода (рис. 3), дополняющие друг друга (arbitrary Lagrangian Eulerian, ALE). При этом происходит автоматическая перестройка и сглаживание конечно-элементной сетки при вырождении элементов. Примерами таких задач могут быть поверхностные взрывы (плоский фронт волны), где воздух является эйлеровым, а грунт и сооружение лагранжевыми. Или при подземных и наземных взрывах (точечный взрыв на поверхности), когда воздух и грунт эйлеровы, а сооружение лагранжево. Кроме основного решателя ALE, используется его модифицированная версия S-ALE, позволяющая описывать конечные элементы эйлеровой сетки в виде массива, что на порядок сокращает объем входного файла и облегчает построение и перестроение эйлеровой сетки, по сравнению с неструктурированным подходом, что в совокупности значительно сокращает время расчета и моделирования. Для решения поставленных задач будем использовать программный комплекс LS-DYNA, позволяющий решать подобные задачи в нелинейной динамической постановке, с использованием метода центральных разностей [15-17]. Для аппроксимации уравнений LS-DYNA использует метод Годунова второго порядка точности по пространству. Интегрирование уравнений по времени осуществлялось с помощью явной схемы второго порядка точности (метод центральных разностей) с соблюдением условия устойчивости схемы по критерию Куранта. Граничные условия. На границах расчетной области в качестве граничных условий приложены условия скольжения, при которых зануляются векторы скорости в нормальном направлении, что позволяет моделировать неотражающие границы расчетной области и тем самым не учитывать вторичное отражение волн от грунта с последующим воздействием их на сооружение. Хотя в случае нахождения под сооружением скального грунта все же надо учитывать данные эффекты. Модель грунта. Дисперсные грунты неоднородны, анизотропны, имеют нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями и, как правило, при численном моделировании зависимость между напряжениями и деформациями идеализируют. В [18-24] показано, что модель Мора - Кулона - это идеальная-упругопластическая модель линейно деформируемого пространства, в которой описываются поля деформаций и используется условие прочности Кулона для предельного состояния, при этом отмечается, что такая модель может быть применима для задач высокоскоростного воздействия на грунт. Модель Мора - Кулона - это математическая модель, в основе которой лежит гипотеза о зависимости предельных касательных напряжений от среднего нормального напряжения, которая обусловлена внутренним трением в материале. Классическая модель Мора - Кулона описывается следующими условиями прочности, которые имеют различный вид при разных условиях испытаний. Первое условие прочности: (8) - консолидировано-дренированный сдвиг; (9) - консолидированно-недренированный сдвиг; (10) - неконсолидированно-недренированный сдвиг (для водонасыщенных грунтов); (11) - консолидированно-недренированный сдвиг, малоподвижные грунты; (12) - в случае больших деформаций сдвига, где - касательное напряжение, при достижении которого будет происходить разрушение грунта; - эффективное нормальное напряжение; φ' - эффективный угол внутреннего трения; φ - дреннированный угол внутреннего трения; с - дреннированные силы удельного сцепления; с' - эффективные силы удельного сцепления; ua - давление порового воздуха; u - давление поровой воды; φb - угол внутреннего трения, зависящий от величины матричного всасывания; - остаточный угол внутреннего трения; - остаточные силы удельного сцепления; - недренированная прочность. Второе условие прочности: (13) - для гравелистых, песчаных и крупнообломочных грунтов; (14) - для глинистых грунтов. Уравнение при трехмерном напряженно-деформируемом состоянии примет вид (15) Согласно этому уравнению, поверхность текучести Мора - Кулона в пространстве главных напряжений имеет вид шестигранной пирамиды (рис. 4) с вершиной в точке с координатами . Рис. 4. Поверхность текучести Мора - Кулона в пространстве главных напряжений Figure 4. Mohr - Coulomb yield surface in the space of principal stresses На рис. 5 приведены предельные огибающие Мора - Кулона, которые могут быть получены по результатам трехосных испытаний образцов грунта. а б в Рис. 5. Предельные огибающие Мора - Кулона: а - секущий угол внутреннего трения; б - касательный угол внутреннего трения; в - угол внутреннего трения, который зависит от угла наклона предельной огибающей Figure 5. Mohr - Coulomb limit envelopes: а - internal friction secant angle; б - internal friction tangent angle; в - the angle of internal friction, which depends on the angle of inclination of the limiting envelope Вид огибающей, представленный на рис. 5, в, соответствует виду грунта, для которого характерно определение прочности только трением. Такой грунт является фрикционным материалом (например, песок). В этом случае условие прочности для каждого напряженного состояния будет иметь вид τ = σ¢tgφs, (16) где φs - секущий угол внутреннего трения; σ¢ - эффективное нормальное напряжение. Условие прочности (8) соответствует изображению, приведенному на рис. 5, б. В данном случае предельная прямая является наилучшей касательной к кругам Мора. Однако в общем случае провести такую касательную к кругам затруднительно, так как зависимость между нормальным давлением и пределом прочности является существенно нелинейной. Тогда на отдельных участках предельная кривая аппроксимируется прямой, а на остальных заменяется огибающей к кругам Мора. Как видно, данная модель описывает различные виды грунтов при различном водонасыщении. Кроме классической модели существуют ее модификации, используемые для отдельных специфических задач. Например, для задач взрыва зарекомендовала себя модель Мора - Кулона, основанная на работах A.J. Abbo and S.W. Sloan, выполненных в 1995 г. [25], учитывающая все перечисленные выше поведения грунтов, а также удаление элементов, что характерно при взрывных нагрузках [26; 27]. Поэтому именно эту версию модели Мора - Кулона и будем использовать. Обычная поверхность текучести Мора - Кулона описывается функцией , (17) где P - среднее давление; - угол внутреннего трения; - функция угла θ в девиаторной плоскости; - корень квадратный из второго инварианта девиатора напряжений; с - сцепление. Модифицированная поверхность текучести является гиперболоидом, «подогнанным» к поверхности Мора - Кулона. Уравнение модифицированной поверхности имеет вид , (18) где a - параметр, определяющий приближение модифицированной поверхности к обычной поверхности Мора - Кулона. Модель бетона и арматуры. Моделирование бетона принято с помощью восьмиузловых конечных элементов с полным интегрированием по объему. Используется модель бетона Уинфрита, учитывающая дополнительные эффекты скорости, а также наличие трещин и арматуры [7; 27; 28]. Прочность материала на сжатие принята 18,0 МПа, что соответствует классу бетона по прочности В25[46]. Арматура моделируется стержневыми конечными элементами с использованием идеальной упругопластической модели материала с ограничением пластических деформаций εпред. Диаграмма работы арматуры класса А500 и А240 принималась двухлинейной[47]. Для взаимодействия объемных (бетон) и стержневых (арматура) конечных элементов используется механизм лагранжево-эйлеровых связей. Прочность арматуры принята нормативной. Предельная пластическая деформация, при которой элемент арматуры выключается из расчета (удаляется), принята равной εпр = 0,05. Таким образом, εпред = 0,0525. Прочность на растяжение и сжатие принимается одинаковой, равной нормативной прочности на растяжение в соответствии с отечественными нормами[48]. Сравнительный анализ с существующими исследованиями Рассмотрим задачу о падении жесткой полусферы диаметром 0,66 м со скоростью 40 м/с в грунтовый массив размером 3×3×3 м (рис. 7) и сравним с результатами, приведенными в [21] (далее - эксперимент), где была численно и экспериментально решена подобная задача. Грунт рассматривался с параметрами, указанными в табл. 1. Для этого решим данную задачу в ALE, S-ALE и лагранжевой постановках, где исходными данными являются скорость полусферы в момент соударения с грунтом и давление от собственного веса грунта (рис. 8). Таблица 1 Table 1 Параметры грунта Soil parameters Параметр Значение Parameter Value Плотность 2200 кг/м3 Density 2200 kg/m3 Модуль сдвига 1,53 МПа Shear modulus 1,53 MPа Коэффициент Пуассона 0,35 Poisson’s ratio 0.35 Угол внутреннего трения 150 Internal friction angle 150 Сцепление 68 кПа Adhesion 68 kPа Ударник моделировался как жесткое тело из алюминия с параметрами, указанными в табл. 2. Таблица 2 Table 2 Параметры алюминиевого ударника Parameters of the aluminum striker Параметр Значение Parameter Value Плотность 2812 кг/м3 Density 2812 kg/m3 Модуль упругости 73 000 МПа Elastic modulus 73 000 MPа Коэффициент Пуассона 0,33 Poisson’s ratio 0.33 Точность решения в МКЭ зависит от размеров конечных элементов, поэтому выполнялась серия расчетов с последовательным измельчением размеров конечного элемента от 5 до 3 см через каждые 0,5 см, до того момента, пока разница в результатах расчета схемы между наиболее мелкой сеткой и предыдущим размером сетки составит не более 5 %. На рис. 6 приведены графики давления во времени, измеренные на глубине 1,5 м при расчете в трех постановках и при различных размерах конечного элемента. Давление, МПа Pressure, MPа Давление, МПа Pressure, MPа а Время, с Time, s б Время, с Time, s Давление, МПа Pressure, MPа Относительная погрешность, % Relative error, % в Время, с Time, s г Размер конечного элемента, см Size of the finite element, sm Рис. 6. Результаты расчета давления на глубине 1,5 м: а - ALE постановка; б - S-ALE постановка; в - Лагранжева постановка; г - зависимость отноительной погрешности от размера конечного элемента Figure 6. The results of calculating pressure at a depth of 1.5 m: a - ALE; б - S-ALE; в - Lagrangian; г - dependence of the relative error on the size of the finite element На рис. 6, г показан график зависимости погрешности значений пикового давления относительно наиболее мелкой сетки в 3 см, где показано, что сетка в 4 см является наиболее оптимальной с погрешностью не более 5 %. В качестве результатов расчета в работе [21] был приведен график ускорения полусферы при ударе о грунт, где максимальное ускорение полусферы составило 12 643 м/c2 (рис. 10). В результате решения задачи в трех постановках можно увидеть, что графики ускорения полусферы (рис. 10) в ALE- и S-ALE-постановках оказались наиболее близкими к экспериментальному графику по форме и по максимальному значению ускорения. Максимальное ускорение полусферы составило 12 700 и 12 680 м/c2, то есть относительная погрешность составила 0,43 и 0,25 % соответственно. При решении задачи в лагранжевой постановке максимальное ускорение составило 18 710 м/с2, то есть относительная погрешность составила 67 %, что произошло в результате значительного искажения сетки (рис. 9, в). При этом также сравнивалось время расчета. При решении задачи в ALE-постановке время расчета оказалось равным 60 мин, в S-ALE-постановке - 45 мин, в лагранжевой постановке - 25 мин (расчет выполнялся на процессоре Intel(R) Core(TM) i7-10750H CPU @ 2.6 GHz, 2592МГ, 6 ядер, 12 логических процессоров). Рис. 7. Расчетная модель Figure 7. Calculation model Рис. 8. Давление от собственного веса грунта, кПа Figure 8. Pressure from dad weight of soil, kPa а б в Рис. 9. Распространение ударной волны в грунте при решении задачи в ALE (а), S-ALE (б), лагранжевой (в) постановках Figure 9. Propagation of a shock wave in the soil when solving the problem ALE (а), S-ALE (б), lagrangian (в) Из приведенных результатов расчета (рис. 9) можно сделать вывод, что методика расчета в S-ALE-постановке дает наиболее близкие к эксперименту результаты расчета по максимальному пиковому значению ускорения. Кроме того, дает более точные результаты при описании первичных и вторичных пиков (рис. 9, а) и занимает меньше машинного времени для моделирования и расчета, чем в ALE. Поэтому в дальнейшем будем использовать именно эту методику. Рис. 10. Графики ускорения полусферы, полученные в результате моделирования и эксперимента Figure 10. Hemisphere acceleration plots obtained as a result modeling and experiment Моделирование падения тяжелого габаритного предмета на подземное сооружение Для дальнейшего исследования напряженно-деформированного состояния сооружения и грунта вокруг него рассмотрим свободное падение с высоты цилиндрического жесткого тела диаметром 3 м (далее - ударник), которое падает торцевой плоской частью на грунт. Известно, что при свободном падении тела скорость его соударения с грунтом будет выражаться из равенства потенциальной и кинетической энергии: (19) где m - масса падающего тела; g - ускорение свободного падения; h - высота падения. Из (19) скорость соударения будет выражаться как (20) В качестве исходных данных примем высоту падения 60 м, а вес падающего ударника 6 т. Тогда скорость соударения из (20) составит 34,3 м/c. Рассмотрим однопролетное сооружение (рис. 11, 12), предназначенное для укрытия личного состава от падения обломков на космодроме. Размеры сооружения в плане 6×6 м и высотой в свету 4 м. Толщины стен и покрытия 400 мм. Заглубление покрытия от поверхности грунта принимается на основании сравнения экономической эффективности, то есть, с одной стороны, заглубление должно быть небольшим для уменьшения давления грунта, а с другой стороны - дисперсный грунт должен значительно «сдемпфировать» принимаемый удар, что происходит за счет уплотнения и появления пластических деформаций в грунте. Таким образом, высота засыпки принимается ниже зоны пластических деформаций. В нашем случае зона больших деформаций и уплотнения составила около 1 м. Принимаем заглубление покрытия 1,5 м. В качестве исходной нагрузки принята нагрузка от собственного веса сооружения и грунтового массива. Рис. 11. Расчетная модель Figure 11. Calculation model Рис. 12. Армирование сооружения Figure 12. Reinforcement of the structure Рис. 13. Изополя давлений в момент времени перед ударом 0,3218 с, кПа Figure 13. Pressure at the time moment before the shock 0.3218 s, kPa Рис. 14. Изополя давления в момент времени 0,3248 с (начало удара) Figure 14. Pressure at the moment of time 0.3248 s (the beginning of the impact) а б Рис. 15. Изополя давления в различные моменты времени, кПа: а - 0,3412 с; б - 0,3552 с Figure 15. Pressure at different points in time, kPa: a - 0.3412 s; б - 0.3552 s Рис. 16. Изополя давления на покрытие сооружения, кПа Figure 16. Pressure on the coating of the structure, kPa Рис. 17. Мозаика эффективных пластических напряжений Figure 17. Effective plastic stresses Рис. 18. Картина трещинообразования в стенах сооружения после удара Figure 18. The picture of cracking in the walls of the structure after impact Как и на первой стадии расчета (для получения более точного решения), рассматривались несколько расчетных моделей с измельчением размера конечного элемента от 25 до 15 см. В итоге был определен оптимальный размер конечного элемента - 20×20 см. В результате выполненного расчета (рис. 13-18) получена деформированная модель «цилиндрический ударник - грунт - сооружение». Из расчета получено, что при воздействии на грунт ударник заглубляется в него на 2 см, и на рис. 14 и 15 по приведенным изополям давления можно увидеть, что вскоре после удара ударника о грунт происходит распространение волны сжатия до покрытия сооружения (давление на покрытие сооружения см. на рис. 16). После этого в стенах и покрытии сооружения появляются трещины шириной до 0,5 мм (рис. 18), при этом армирование работает в упругой стадии, что свидетельствует о правильно подобранных армировании и толщине конструкций. Нижнее и верхнее армирование покрытия принято сеткой Ø25А500 с шагом 200×200 мм, поперечное армирование Ø12А500 с шагом 200×200 мм. Заключение Разработана конечно-элементная методика расчета подземного сооружения в нелинейной динамической постановке при соударении с грунтом большого габаритного предмета. Результаты расчета показывают, что приведенная методика позволяет выполнять подобные расчеты с необходимой точностью и получать близкую к реальной картину взаимодействия грунтового массива с сооружением после удара. Следует также отметить, что габаритными предметами могут быть не только падающие предметы при аварии ракет, но также различные строительные конструкции, падающие на грунт при обрушении здания или сооружения.

About the authors

Oleg V. Mkrtychev

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Author for correspondence.
Email: mkrtychev@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-2828-3693

Dr Sci. (Eng.), Professor of the Strength of Materials Department

26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

Yury V. Novozhilov

CADFEM CIS

Email: yury.novozhilov@cadfem-cis.ru

Explicit Dynamics Expert and Head

46 Suzdalskaya St, Moscow, 111672, Russian Federation

Anton Yu. Savenkov

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Email: savenkov.asp@mail.ru
SPIN-code: 8652-8088

postgraduate student, Strength of Materials Department

26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

References

Supplementary files