Influence of the foundation bed stiffness on the dynamic properties of the building as of a multi-mass cantilever bar

Full Text

Введение [13] Одной из актуальных задач теории сейсмостойкости является учет взаимодействия зданий и сооружений с грунтом основания при землетрясении. Реакция сооружения на сейсмическое движение грунта неоднозначна и зависит от соотношения масс и жесткостных характеристик грунта, фундамента и надфундаментного строения [1; 2]. Для расчета системы «сооружение - основание» на сейсмические нагрузки преимущественно применяются дискретные модели грунтового основания и сооружения на основе метода конечных элементов [1; 3-5]. При этом используются стандартные вычислительные комплексы, позволяющие на данном этапе развития техники производить расчеты любой сложности, в том числе и нелинейные. Вместе с тем дискретные модели приводят к необходимости обоснования размеров зоны основания, которую следует включать в анализ. Число степеней свободы для моделирования грунта может существенно превышать число степеней свободы для сооружения, что снижает эффективность модели системы в целом. С другой стороны, существует проблема оценки надежности сейсмостойких зданий. Действующие нормативные документы [6] учитывают их надежность с помощью полувероятностных методов, содержащих условные детерминированные коэффициенты для расчетных характеристик системы «сооружение - основание». Однако грунты основания представляют собой случайные поля с изменяющимися в пространстве и времени физико-механическими характеристиками. Сейсмическое движение грунта также является ярко выраженным случайным процессом. Детерминированный подход к оценке надежности сейсмостойких зданий не обеспечивает их необходимую безопасность [7; 8], так как риск повреждения или разрушения здания при реализации проектного землетрясения остается неопределенным. Следовательно, расчет сейсмостойких зданий должен проводиться на основе вероятностной концепции с использованием методов теории надежности. Переход на вероятностные методы расчета сейсмостойких зданий с использованием дискретных моделей требует обширной статистической информации, которой в настоящее время недостаточно. В этом случае целесообразно применение упрощенных аналитических моделей, позволяющих при сравнительно небольшой исходной информации о системе получить качественные закономерности взаимодействия сооружений с основанием, оценить влияние физико-механических свойств оснований на реакцию сооружения. Если грунт основания однороден, а фундамент сооружения может рассматриваться как жесткая плита, то для расчета системы «сооружение - основание» применима модель грунта в виде упругого полупространства. Во время землетрясения плита фундамента перемещается по шести степеням свободы, включающим по три компоненты поступательного движения и вращения [9-12]. Данная модель используется для расчета специальных инженерных сооружений (атомных станций, плотин и др.), представляющих собой массивные объекты. Тем не менее характер взаимодействия с грунтом в процессе землетрясения различен для массивных сооружений и сравнительно гибких зданий массовой застройки [13; 14]. Так, в работе [15] установлено, что при изменении соотношения жесткостей сооружения и основания происходит не только изменение частот свободных колебаний системы, но и возможна перемена мест между формами. В настоящей работе представлено аналитическое решение задачи свободных горизонтальных колебаний многомассового консольного стрежня на основании, заданном моделью упругого полупространства, и проведен анализ влияния жесткости основания на динамические характеристики сооружения. Задача свободных колебаний консольного многомассового стержня на упругом основании Рассмотрим свободные горизонтальные колебания с учетом демпфирования невесомой консольной стойки на упругом основании в предположении, что на ее уровнях расположены сосредоточенные массы (рис. 1). Данные колебания в форме метода перемещений будут описываться системой дифференциальных уравнений [16; 17]: (1) Где - функции ускорений, скоростей и перемещений в уровнях масс и соответственно; - коэффициент демпфирования (затухания); - реакция в связи номер при смещении связи на единицу. Рис. 1. Расчетная схема многомассового консольного стержня с учетом податливости основания [Figure 1. Design model of a multi-mass cantilever bar with due account for foundation bed ductility] Поделив левую и правую части уравнения на , получим (2) Решением (2) будет система уравнений вида (3) где - величина, не зависящая от времени , определяющаяся местоположением и номером члена суммы . Функция зависит от времени . Соответственно (3*) С учетом (3) и (3*) система уравнений (2) примет вид (4) Введем обозначение (5) тогда система уравнений (4) после некоторых преобразований будет выглядеть (6) Если принять, что , то данное уравнение будет аналогично уравнению модели упруговязкого сопротивления А.И. Цейтлина [18], учитывающей различную степень демпфирования при различных формах собственных колебаний: (7) где - коэффициент потерь или неупругого сопротивления при форме колебаний; - угловая частота формы колебаний с учетом демпфирования. (8) Величина является логарифмическим декрементом формы колебаний. Из формул (8) следует, что коэффициент демпфирования постоянен ( ), а логарифмический декремент колебаний зависит от частоты (согласно гипотезе Фойгта). Однако эксперименты показывают, что такой зависимости нет [16] и в качестве константы правильней принять величину . Тогда и из (8) следует: (9) С учетом (9) уравнения (7) примут вид (10) Решением системы дифференциальных уравнений (10) будут функции (11) Соответственно (11*) Запишем выражения для полных перемещений , скоростей и ускорений масс в уровне с учетом демпфирования: (12) Постоянные и определяются из граничных условий при (начальных перемещений и скоростей в уровне массы): (13) В практических расчетах разложение колебаний механических систем по их собственным формам осуществляется без учета демпфирования, а функции затухания вводятся в итоговые формулы определения перемещений, скоростей и ускорений. Таким образом, на первом этапе для определения частот собственных колебаний необходимо решить уравнения, аналогичные уравнениям (1), но без учета демпфирования: (14) В случае консольной стойки, а также для дальнейшего учета жесткости грунта основания удобнее решать систему уравнений не в форме метода перемещений, а в форме метода сил: (15) где - перемещения точки под действием силы, равной единице, приложенной соответственно в точках . После известных преобразований система уравнений (15) примет вид (16) Уравнение (16) является однородным относительно , так как не имеет свободных членов. Тривиальное решение при неинтересно, потому что соответствует случаю отсутствия колебаний. Колебания будут происходить, если все или часть величин будут отличны от нуля. Это возможно при равенстве нулю детерминанта системы, образуемой из членов с неизвестными при : (17) После раскрытия детерминанта (17) получится уравнение степени относительно , решение которого дает положительных корней, соответствующих угловым частотам собственных колебаний . Полученные значения частот и амплитудных коэффициентов используются в формулах (9)-(13), то есть с учетом демпфирования. Расчет консольной стойки с учетом демпфирования и жесткости грунта основания удобней производить в матричной форме. Вначале задаем матрицы податливости и масс : (18) В матрице податливости - перемещение точки под действием силы, равной единице, приложенной в точке . Оно складывается из перемещений, обусловленных жесткостью самой стойки , горизонтальным смещением фундамента и поворотом фундамента : (19) Обусловленное жесткостью самой стойки перемещение определяется классическими методами строительной механики по единичным эпюрам и не представляет интереса в данной статье. Жесткость основания в матрице податливости учитывается слагаемыми и : (20) где - квазистатическая жесткость основания при горизонтальном поступательном движении по оси ; - квазистатическая жесткость основания при повороте относительно горизонтальной оси ; - ордината рассматриваемой точки (за принят уровень фундамента); - ордината точки приложения единичной силы . Есть множество теорий по определению коэффициентов квазистатической жесткости грунта основания [9; 19]. Так, согласно [10] данные коэффициенты для сооружений с фундаментом прямоугольной формы в плане определяются по формулам (21) где - коэффициент Пуассона грунта основания; - динамический модуль сдвига грунта основания; и - размеры фундаментной плиты по осям и соответственно; - момент инерции подошвы фундаментной плиты относительно оси ; - площадь подошвы фундаментной плиты. Между модулями сдвига и деформаций грунта основания имеется взаимосвязь: (22) Из уравнения (17) в матричной форме определяются частоты собственных колебаний без учета демпфирования стойки и основания : (23) где - единичная матрица. Далее из уравнений (16) определяются амплитудные коэффициенты для формы колебаний: (24) где - вектор амплитудных коэффициентов для формы ( ). Таким образом, результатом последовательного решения (23) и (24) будет получение вектора частот собственных колебаний и матрицы амплитудных коэффициентов : (25) Далее при известных частотах собственных колебаний предварительно определяем коэффициенты затухания с учетом демпфирования стойки и грунта основания: (26) где - коэффициент затухания, обусловленный демпфированием самой стойки и определяемый по формуле (9) в зависимости от частоты собственных колебаний; и - коэффициенты затухания, обусловленные демпфированием грунта при смещении и повороте фундамента соответственно. (27) где - мгновенная жесткость основания при горизонтальном поступательном движении по оси ; - мгновенная жесткость основания при повороте относительно горизонтальной оси . Согласно [10] коэффициенты мгновенной жесткости основания для прямоугольного в плане фундамента определяются по формулам (28) где - плотность грунта основания. В матричной форме формулы (27): (29) где - вектор масс; - единичный вектор размерности ; - вектор ординат масс. Полученные из (29) векторы подставляем в (26) в матричной форме и получаем вектор коэффициентов затухания с учетом демпфирования стойки и грунта основания: (30) Далее по формуле (9) уточняем частоты с учетом демпфирования: (31) где и - диагональные матрицы, образованные из элементов векторов и соответственно. По формулам (29) и (30) можно уточнить коэффициенты демпфирования, подставляя вместо . Из граничных условий (13) определяем постоянные и для функций : (32) где и - диагональная матрица и вектор из постоянных коэффициентов и соответственно; и - векторы начальных перемещений и скоростей (граничные условия) соответственно; - диагональная матрица, образованная из элементов вектора угловых частот с учетом демпфирования . Теперь можно задать выражения для полных перемещений , скоростей и ускорений (12) в матричной форме: (33) Используя формулы (18)-(31), рассмотрены собственные колебания симметричного в плане условного пятиэтажного здания (рис. 2). Размер здания в плане составляет 6×6 м при шаге осей 2 м, высота этажа - 3 м. Фундамент условного сооружения представляет собой монолитную железобетонную плиту с подошвой 8×8 м и толщиной 60 см. Вертикальные конструкции представлены колоннами сечением 40×40 см, расположенными по углам здания, и ядром жесткости в центре из стен толщиной 20 см, образующими в плане коробчатое сечение размером в осях 2×2 м. Горизонтальные конструкции - плиты перекрытий толщиной 16 см. Материал всех конструкций - бетон класса B30 (модуль деформации равен 32,5 ГПа). К плитам перекрытий приложена постоянная нагрузка от веса пола. Условное сооружение приведено к пятиэлементному консольному стержню с шестью массами (рис. 3). Первая масса ( ) приложена в уровне фундаментной плиты (в заделке стержня при ), остальные ( ) - в уровне плит перекрытий. Задание массы фундаментной плиты в заделке обусловлено необходимостью более точного учета податливости основания при горизонтальных колебаниях. В заделке стержня приложены связи с бесконечной жесткостью, запрещающая перемещения по вертикали, , характеризующая квазистатическую жесткость основания при поступательном движении по оси (по горизонтали) и , характеризующая квазистатическую жесткость основания при повороте относительно оси . Момент инерции сечения стержня составляет 6,85 м4, а изгибная жесткость - 222,49×109 Н·м2. Логарифмический декремент колебаний принят равным 0,30 - как для железобетонных сооружений. Рис. 2. Общий вид и план условного здания [Figure 2. General appearance and the plan of the conventional building] Рис. 3. Расчетная схема условного здания с учетом податливости основания [Figure 3. Design model of the conventional building with due account for the ductility of the foundation bed] Таблица 1 Жесткостные характеристики основания [Table 1. Stiffness properties of the foundation bed] Вариант [Variant] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ed, МПа [MPa] 9,86 12,35 15,47 19,37 24,25 30,37 38,03 47,62 59,63 74,67 Gd, МПа [MPa] 3,65 4,57 5,73 7,17 8,98 11,25 14,09 17,64 22,09 27,66 ρ, т/м3 [t/m3] 1,75 1,80 1,86 1,92 1,99 2,07 2,16 2,26 2,38 2,53 ky, кН/м [kN/m] 79 333 99 367 124 470 155 849 195 114 244 355 305 986 383 147 479 778 600 789 kφx, кН·м [kN·m] 1 152 267 1 443 255 1 807 867 2 263 632 2 833 923 3 549 123 4 444 292 5 565 006 6 968 528 8 726 145 cy, кН·с/м [kN·s/m] 4597 5218 5937 6749 7688 8775 10 031 11 481 13 184 15 211 cφx, кН·с·м [kN·s·m] 38 217 43 378 49 352 56 107 63 912 72 947 83 385 95 444 109 603 126 454 Таблица 2 Частоты собственных колебаний, Гц, по формам (аналитический расчет) [Table 2. Natural vibration frequencies, Hz, according to vibration mode shapes (analytical analysis)] Вариант [Variant] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Форма 1 [Mode shape 1] 0,99 1,11 1,23 1,38 1,53 1,71 1,90 2,11 2,34 2,58 Форма 2 [Mode shape 2] 3,53 3,95 4,41 4,93 5,50 6,14 6,85 7,64 8,51 9,47 Форма 3 [Mode shape 3] 37,07 37,14 37,22 37,33 37,46 37,63 37,83 38,08 38,39 38,77 Форма 4 [Mode shape 4] 110,77 110,82 110,89 110,97 111,08 111,22 111,38 111,59 111,85 112,17 Форма 5 [Mode shape 5] 237,97 238,01 238,07 238,15 238,25 238,37 238,53 238,73 238,98 239,29 Форма 6 [Mode shape 6] 448,20 448,19 448,18 448,18 448,19 448,20 448,22 448,24 448,28 448,34 Рис. 4. Формы колебаний условного здания с учетом податливости основания [Figure 4. Vibration mode shapes of the conventional building with due account for the foundation bed ductility] Были рассмотрены собственные колебания шестимассового консольного стержня при десяти вариантах жесткости основания [15]. Характеристики основания представлены в табл. 1 (коэффициент Пуассона грунта во всех случаях принят равным 0,35). По результатам расчета получены формы и частоты собственных колебаний. Для каждого варианты учтено по шесть форм. Частоты свободных колебаний системы для различных вариантов жесткости основания и форм колебаний представлены в табл. 2, а сами формы (идентичные для всех вариантов жесткости основания) - на рис. 4. Для контроля расчет пятиэлементного шестимассового консольного стержня был произведен методом конечных элементов в программном комплексе «ЛИРА 10.8» (рис. 5). Сооружение задавалось стержнем пользовательского сечения, в узлах прикладывались массы, а опора моделировалась упругой связью с коэффициентами квазистатической жесткости. Для исследования только горизонтальных колебаний перемещения по вертикали (вдоль оси ) для всех узлов запрещались. После проведения модального анализа конечно-элементной модели были рассмотрены также по шесть форм собственных колебаний. Результаты расчета в программном комплексе «ЛИРА 10.8» представлены в табл. 3. Формы колебаний идентичны формам, представленным на рис. 4. Рис. 5. Расчетная схема условного здания в ПК «ЛИРА 10.8» [Figure 5. Design model of the conventional building in the software package “LIRA 10.8”] Таблица 3 Частоты собственных колебаний, Гц, по формам (расчет конечно-элементной модели в ПК «ЛИРА 10.8») [Table 3. Natural vibration frequencies, Hz, according to vibration mode shapes (analysis of finite element model in the software package “LIRA 10.8”)] Вариант [Variant] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Форма 1 [Mode shape 1] 0,99 1,11 1,24 1,38 1,54 1,71 1,90 2,11 2,34 2,59 Форма 2 [Mode shape 2] 3,54 3,95 4,42 4,93 5,51 6,15 6,86 7,65 8,52 9,48 Форма 3 [Mode shape 3] 37,11 37,18 37,27 37,37 37,51 37,67 37,88 38,13 38,44 38,82 Форма 4 [Mode shape 4] 112,08 112,14 112,21 112,30 112,41 112,55 112,72 112,93 113,20 113,52 Форма 5 [Mode shape 5] 229,09 229,14 229,19 229,26 229,35 229,46 229,60 229,77 229,98 230,24 Форма 6 [Mode shape 6] 366,35 366,37 366,40 366,43 366,47 366,52 366,58 366,66 366,75 366,87 Также были рассмотрены колебания данного консольного стержня на абсолютно жестком основании (рис. 6). В этом случае необходимость учета податливости основания и массы фундамента отсутствуют и система становится пятимассовой ( ). Очевидно, в результате расчета будет выявлено лишь пять форм колебаний. Результаты данного расчета аналитически в матричной форме и модального анализа конечно-элементной модели представлены в табл. 4, формы колебаний - на рис. 7. Рис. 6. Расчетная схема условного здания на абсолютно жестком основании [Figure 6. Design model of the conventional building on absolutely stiff foundation bed] Таблица 4 Частоты собственных колебаний, Гц, по формам при расчете на абсолютно жестком основании [Table 4. Natural vibration frequencies, Hz, according to vibration mode shapes in the analysis for absolutely stiff foundation bed] Метод расчета [Method of analysis] Форма 1 [Mode shape 1] Форма 2 [Mode shape 2] Форма 3 [Mode shape 3] Форма 4 [Mode shape 4] Форма 5 [Mode shape 5] В матричной форме [In the matrix form] 7,41 47,24 132,50 277,03 459,38 Конечно-элементный [Through finite element method] 7,41 47,35 134,15 259,24 386,08 Рис. 7. Формы колебаний условного здания на абсолютно жестком основании [Figure 7. Vibration mode shapes of the conventional building on absolutely stiff foundation bed] Заключение Результаты модального анализа конечно-элементной модели в программном комплексе «LIRA 10.8» достаточно хорошо сходятся с аналитическим расчетом в матричной форме. Расхождения значений частот для первых трех форм колебаний составляют менее 1 %, для формы 4 - 1,2 %, для формы 5 - от 3,7 до 6,4 %, для формы 6 - от 16,0 до 18,3 %. Идентичны и формы колебаний при податливом и жестком основании с тем отличием, что во втором случае исчезает форма, обусловленная преимущественно смещением и поворотом фундамента (рис. 4, форма 2). Таким образом, форма 2 при жестком основании аналогична форме 3 при податливом, форма 3 - форме 4. Установлено, что низшие формы более чувствительны к жесткости основания. При увеличении модуля деформации грунта основания в 7,57 раза частота колебаний формы 1 увеличилась в 2,61 раза с (0,99 до 2,58 Гц), формы 2 - в 2,68 раза, формы 3 - в 1,05 раза. Частоты остальных форм при увеличении жесткости основания изменились незначительно. Теоретически при стремлении жесткости основания к бесконечности частота колебаний формы 1 может увеличиться еще в 2,87 раза (с 2,58 до 7,41 Гц), формы 3 - в 1,22 раза (став формой 2), формы 4 - в 1,18 раза, формы 5 - в 1,16 раза, формы 6 - в 1,02 раза. Ожидаемо, что частота колебаний формы 2, обусловленной преимущественно перемещениями фундамента, наиболее чувствительна к податливости основания. Тем не менее для рассматриваемого сооружения при заданном интервале модуля деформации грунта перемена мест между формами не выявлена, так как для этого требуется бо́льшая степень свободы исследуемой системы для учета не только изгибных, но и крутильных и поступательных форм колебаний [20]. Полученное решение может быть эффективно использовано для вероятностного анализа системы «сооружение - основание» при сейсмических нагрузках.

About the authors

Valeriya A. Pshenichkina

Volgograd State Technical University

Author for correspondence.
Email: drozdov_jm@mail.ru
SPIN-code: 3399-0668

Head of Engineering Structures, Foundations and Safety of Constructions Department, Doctor of Technical Sciences, Professor

28 Lenina Ave, Volgograd, 400005, Russian Federation

Vyacheslav V. Drozdov

Volgograd State Technical University

Email: drozdov_jm@mail.ru
SPIN-code: 3403-5982

Associate Professor of Engineering Structures, Foundations and Safety of Constructions Department, Candidate of Technical Sciences

28 Lenina Ave, Volgograd, 400005, Russian Federation

Sergey I. Strok

Volgograd State Technical University

Email: drozdov_jm@mail.ru
SPIN-code: 6209-1218

postgraduate student of Engineering Structures, Foundations and Safety of Constructions Department

28 Lenina Ave, Volgograd, 400005, Russian Federation

References

Supplementary files