Аналитический расчет прогиба балочной фермы с двойными раскосами

Полный текст

Постановка задачи. Существующие пакеты символьной математики на основе известных алгоритмов позволяют сравнительно легко получать аналитические решения задач строительных конструкций. Однако, область применимости таких решений будет невелика, если в итоговых формулах имеются только размеры конструкции, нагрузка и параметры материала. В задачах о фермах важно учесть и число панелей, если ферма имеет регулярную структуру. Помимо универсальности такое решение приобретает еще одно свойство - возможность простого расчета конструкций с большим числом стержней без потери точности, характерной для численных методов. Обобщение решений на произвольное число панелей возможно методом индукции. Именно так были получены решения для прогиба плоских [1-7] и пространственных [8] ферм. Этим же методом рассчитывается прогиб предлагаемой конструкции балочной фермы на рис. 1. Схема фермы. Решетка фермы состоит из сдвоенных раскосов длиной c = h2 + a 2 , образующих жесткие треугольники со стержнями верхней и нижней панелей, и стоек длиной b. Кроме обычных для балочных ферм опор, ферма опирается на дополнительную горизонтальную боковую опору. Несмотря на это, задача статически определима. Действительно, в ферме с n панелями в половине пролета содержится 8n + 2 соединительных узлов (шарниров) и m = 16n + 4 стержней, включая четыре опорные. Таким образом, стандартная схема расчета фермы, по которой сначала определяются реакции опор (здесь их четыре), а потом последовательным вырезанием узлов находятся усилия в стержнях, не проходит. Для решения задачи необходимо составить уравнения равновесия всех узлов и найти решение системы линейных уравнений. Заметим также, что метод сечений Риттера в этой ферме применим только для крайних панелей. Рис. 1. Ферма при n = 3. Нагрузка на нижний пояс [Fig. 1. Truss at n = 3. The load on the bottom chord of truss] Система компьютерной математики Maple позволяет решить эту задачу в символьной форме. Пользуясь программой [9] и опытом ее применения [1-7] при решении аналогичных задач для плоских ферм, зададим координаты узлов. Начало координат выберем в левой подвижной опоре. Нумерация стержней и узлов применительно к случаю n = 2 дана на рис. 2. Соответствующий фрагмент программы на языке Maple имеет вид > for i to 2*n+1 do x[i]:=2*a*i-2*a; y[i]:=0; > x[i+2*n+1]:=2*a*i-2*a; y[i+2*n+1]:=b; > end: > for i to 2*n do x[i+4*n+2]:=2*a*i-a;y[i+4*n+2]:=h; x[i+6*n+2]:=2*a*i-a; y[i+6*n+2]:=h+b; end: Рис. 2. Номера узлов и стержней при n = 2 [Fig. 2. Nodes and rods number at n = 2] Структуру решетки зададим векторами, содержащими в своих координатах номера концов стержней: > for i to 2*n do > N[i]:=[i,i+1]; > N[i+4*n-1]:=[i+4*n+2,i]; > N[i+6*n-1]:=[i+4*n+2,i+1]; > N[i+8*n-1]:=[i+4*n+2,i+6*n+2]; > N[i+10*n-1]:=[i+2*n+1,i+6*n+2]; > N[i+12*n-1]:=[i+2*n+2,i+6*n+2]; > end: > for i to > for i to 2*n-1 do 2*n+1 do N[i+2*n]:=[i+6*n+2,i+6*n+3]; end: N[i+14*n-1]:=[i,i+2*n+1]; end: Матрица уравнений равновесия состоит из направляющих косинусов усилий, вычисленных по координатам N[i][1], N[i][2], концов стержней и их длин L[i]. Заполнение матрицы идет в цикле по числу стержней m: > for i to m do > Lxy[1]:=x[N[i][2]]-x[N[i][1]]: > Lxy[2]:=y[N[i][2]]-y[N[i][1]]: > L[i]:= sqrt(Lxy[1]^2+Lxy[2]^2); > for j to 2 do > k:=2*N[i][2]-2+j: > if k<=m then G[k,i]:=-Lxy[j]/L[i]:fi; > k:=2*N[i][1]-2+j: > if k<=m then G[k,i]:= Lxy[j]/L[i]:fi; > od; > od: Определим по формуле Максвелла - Мора прогиб фермы под действием равномерной нагрузки, приложенной к узлам нижнего пояса. В формуле учитываются только продольные усилия: m-4 D= å Si si li / (EF ) , i =1 где Si - усилия от действия внешней нагрузки; si - усилия от единичной вертикальной нагрузки, приложенной к среднему узлу нижнего пояса (где измеряется вертикальное смещение); li - длины стержней; m - число стержней, включая опорные стержни. Общий вид результата для разного числа панелей не меняется (свойство регулярности конструкции) и имеет вид n EFD= PC (a3 + 2bh2 + c3 ) / h2 . (1) Коэффициент Cn образует последовательность 3, 52, 267, 848, 2075, 4308, 7987, 13632, 21843, 33300... . С помощью оператора rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple можно найти рекуррентное уравнение, которому удовлетворяют члены последовательности: Cn = 5Cn-1 -10Cn-2 +10Cn-3 - 5Cn-4 + Cn-5 . Решение этого уравнения дает оператор rsolve: n C = n2 (10n2 -1) / 3. Аналогичную форму (1) имеет решение в случае загружения верхнего пояса (рис. 3). Коэффициент в формуле имеет вид n C = 2n2 (5n2 +1) / 3. Рис. 3. Нагрузка на верхний пояс [Fig. 3. The load on the upper belt] При определении прогиба фермы от действия одной сосредоточенной силы в середине нижнего пояса формула Максвелла - Мора упрощается m-4 å i i D = P s2l i =1 / (EF ) . Коэффициент в (1) в этом случае имеет вид n C = n(8n2 +1) / 3. Рис. 4. Зависимость прогиба от числа панелей, L = 100 м, b = 2 м, h = 5 м: 1 - нижний пояс; 2 - верхний пояс; 3 - сосредоточенная сила [Fig. 4. Dependence of the deflection on the number of panels, L = 100 m, b = 2 m, h = 5 m: 1 - lower belt; 2 - upper belt; 3 - concentrated force] На рис. 4 даны кривые полученных зависимостей при фиксированной длине пролета L = 4an = 100 м и заданной общей нагрузке P0 . При загружении нижнего пояса P0 = P(2n -1) , верхнего пояса P0 = P(2n) , для сосредоточенной силы P0 = P . Введено обозначение для безразмерного прогиба D' = DEF / (P0 L) . Слабовыраженный минимум для случая распределенных нагрузок приходится на нереально малые числа панелей. В частности, для заданного пролета соответствующая длина панели должна быть равной 12 м. Однако для других сочетаний нагрузок и размеров фермы наличие этой особенности может оптимизировать конструкцию по жесткости. Усилия в критических стержнях и асимптотика. Для оценки прочности и устойчивости фермы полезно иметь формулы для усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях конструкции. Критическими для данной фермы являются стержни в середине пролета. Выделим четыре стержня: сжатый стержень O в верхнем поясе, U - растянутый стержень в нижнем и два раскоса D1, D2 (рис. 2). Индукцией по результатам расчета всего шести ферм получаем следующие значения 2 2 2 2 O = -Pn a / h, U = P(2n -1)a / (2h), D1 = -P(2n -1)c / (2h), D2 = Pn c / h. Коэффициенты в этих формулах оказались достаточно простыми, и операторы системы Maple для их вывода привлекать не потребовалось. С помощью операторов Maple можно найти и асимптотические свойства полученных решений для прогиба, показывающие общий характер зависимостей при фиксированной нагрузке и заданном пролете. Для распределенных нагрузок рост имеет кубический характер, для сосредоточенной - параболический четвертого порядка: lim D1 '/ n n®¥ 3 = lim D '/ n3 n®¥ 2 4 = 5(h + 2b) / (3L), lim D3 '/ n n®¥ = 10(h + 2b) / (3L). Обзор аналитических решений задач о прогибе плоских ферм приведен в [5]. Выводы. Предлагаемая схема статически определимой фермы является регулярной и допускает аналитическое решение для величины прогиба при различных нагрузках. Основным достоинством полученного решения является наличие простой функциональной зависимости от числа панелей. Это позволяет применять его для широкого класса подобных ферм, в том числе и для ферм с большим числом стержней, что актуально при современной тенденции строительства большепролетных сооружений.

Об авторах

Михаил Николаевич Кирсанов

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Автор, ответственный за переписку.
Email: c216@ya.ru

профессор, Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт», профессор, МГУ им. М.В. Ломоносова. Автор десяти монографий и учебных пособий по математике и механике, член Национального комитета России по теоретической и прикладной механике. Область научных интересов: строительная механика, аналитические решения, Maple, дифференциальные уравнения, дискретная математика, методы искусственного интеллекта, реология

Красноказарменная ул., 14, Москва, Россия, 111250

Список литературы