Synthesis of a Discrete Optimal Multidimensional Controller Based on Incomplete Data: Multidimensional Spectral Approach

Full Text

Введение Задача управления и оценивания марковских процессов по наблюдениям за другим, связанным с ним процессом находилась в центре внимания исследователей многие годы [1-13]. Обсуждена общая формулировка этой задачи для случая линейных систем с постоянными параметрами, а также в частотном синтезе адаптивного оптимального управления для частично наблюдаемых стохастических систем на случай произвольного конечного числа ограничений на спектральную плотность векторного воз-мущения и ошибок измерения, присутствующих в канале наблюдения векторного полез-ного сигнала. Проблематика рассматриваемой задачи тесно связана с факторизацией матричной спектральной плотности (МСП), которая возникает в задачах оптимальной стационарной линейной фильтрации и оптимального линейного управления [1-2; 9; 13]. В исследовании (раздел 2) показано, что факторизация МСП необходима и для решения задачи оптимального линейного управления многомерными стационарными случайными процессами в условиях неопределенности их спектральных плотностей, она также возникает в теории минимаксной линейной фильтрации стационарных процессов [14]. В рамках теории линейной фильтрации и в ее терминах проблема факторизации равноценна отысканию формирующего и отбеливающего фильтра и в конечном счете переходу от исходного наблюдаемого процесса к эквивалентному ему белому шуму, называемому фундаментальным процессом. Близкой к задаче факторизации МСП является проблема факторизации матричной передаточной функции (МПФ), возникающая в теории управления [2-12; 15]. Заметим, что задача факторизации применительно к рациональным МСП решена полностью в [16], в частности, в последние десятилетия особое внимание уделяется методам построения таких систем, математические модели которых представляются элементами с минимальными нормами в пространствах Харди, в [18] рассмотрен частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением на множестве рациональных функций. Однако важным является получение решения задачи оптимального линейного управления с факторизацией именно для процессов с нерациональными спектрами, т. е. в конечном счете в общем случае. Заметим, что задача линейной фильтрации процессов при рациональных спектрах существенно перекрывается теорией Калмана -Бьюси [28], и потому для общего решения задачи линейной фильтрации многомерных стационарных случайных процессов требуется факторизация в общем случае необязательно рациональных МСП. В [19-20] было получено решение задачи факторизации спектральной плотности с использованием преобразования Гильберта для фильтров с непрерывным [19] и дискретным [20] временем. Задача факторизации МСП для многомерных процессов с непрерывным временем была рассмотрена в [21]. В [15] для решения задачи факторизации МСП было предложено использовать математический аппарат теории граничных значений аналитических функций [22-24] и теории краевых задач [25; 26]. В отличие от универсального подхода, основанного на решении уравнений Риккати [1; 22], предлагаемый ниже метод использует спектральные особенности синтезируемых систем, позволяя существенно упростить анализ и поиск линейного оптимального управления по неполным данным. В [9] указана возможность синтеза минимаксного управления процессом в линейной неопределенно-стохастической системе с неполными данными, где постоянные интенсивности шумов в уравнениях состояния и наблюдения заданы лишь с точностью до принадлежности некоторым известным множествам. Использование спектрального подхода для задач с одним управлением позволяет существенно упростить анализ и синтез оптимальных решений по сравнению с методами «2-Риккати» и LMI [17]. Такое упрощение имеет особый смысл при реализации алгоритмов адаптивной настройки законов управления для различных объектов в режиме реального времени. Это связано с тем, что, с одной стороны, несмотря на бурное развитие цифровых устройств, по-прежнему остаются актуальными ограничения, связанные с недостаточными вычислительными ресурсами для подвижных объектов и разных встраиваемых систем, как следствие, порождающих особые требования к простоте применяемых алгоритмов. С другой стороны, достаточно остро ставится вопрос качества управления. Предлагаемый подход может послужить основой для проектирования систем управления с использованием нейронных сетей, нечеткой логики, прогнозирующих моделей и других эффективных средств, базирующихся на современных компьютерных технологиях. В связи с отмеченными обстоятельствами в настоящей статье разобран ряд вопросов, связанных с обобщением использования спектрального подхода к синтезу оптимального многомерного управления по интегральному среднеквадратическому критерию качества для многомерных стационарных случайных процессов в условиях неопределенности их спектральных плотностей. 1. Постановки задачи линейного стационарного оптимального управления многомерными стационарными случайными процессами Будем считать, что движение динамического объекта описывается векторным рекуррентным уравнением , (1) . Наблюдаемый векторный случайный процесс и выходной , подлежащий оцениванию, процесс описывается стохастическим уравнением (2) и выражением . Здесь - вектор фазовых координат объекта; - случайный вектор начальных условий; - случайный вектор; - дискретный векторный белый шум, называемый далее шумом объекта; - дискретный случайный векторный процесс с неизвестной матричной спектральной положительно определенной диагональной плотностью , порожденный возмущениями, называемый шумом канала наблюдения; - дискретный векторный белый шум, называемый далее шумом канала измерений; - дискретный случайный векторный процесс с неизвестной матричной спектральной плотностью , порожденный возмущениями; - матрицы или матричные функции времени соответствующих размеров. В уравнения (1) и (2) входит также векторный управляющий процесс , имеющий и ограниченные дисперсии компонент . Корреляционные функции компонент процесса неизвестны. Будем при этом считать, что условия некоррелированности возмущающих процессов, шумов объекта и канала измерений наложены. Относительно матриц сделаем следующие допущения: 1) система объект - измеритель[I2] (1), (2) является полностью наблюдаемой системой, т.е. где размерность вектора состояния системы объекта (1); 2) система объект (1) является полностью управляемой системой, т.е[I3] . Спектральные матричные диагональные неотрицательные плотности и процессов и удовлетворяют моментным векторным неравенствам (3) ; где - неотрицательные, четные по заданные векторные функции частоты; - положительный ортант пространства ; - заданные неотрицательные постоянные векторы; - неотрицательный ортант (замыкание). Физический смысл ограничений (3) состоит в том, что на определенные возмущения в системе объект - измеритель[I4] (1), (2), корреляционные функции которых точно неизвестны, однако известны верхние оценки их дисперсий и (или) дисперсий производных и т.п., наложены ограничения на их моменты и на области их сосредоточения спектра (ожидаемые полосы частот). На наблюдаемый процесс налагается лишь условие линейной регулярности максимального ранга, т. е. в терминах матричной спектральной плотности условие Пэли - Винера имеет аналогичный вид [27] для случая рациональной матричной спектральной плотности относительно , (4) обеспечивающего представление - факторизацию , (4a) где матричные функции и - аналитические в нижней полуплоскости переменной , т. е. являются частотными характеристиками физически осуществимых (формирующего и отбеливающего) фильтров; () - знак сопряжения матриц. В настоящей статье решение задачи факторизации будет основываться на разработанном ранее методе преобразования Гильберта в [19] для скалярного стационарного случайного процесса. Там показано, что граничное значение функции аналитической в нижней полуплоскости удовлетворяет граничному значению МСП По наблюдению процесса на полубесконечном отрезке времени требуется найти оптимальную линейную оценку случайного вектора , т. е. вектор ортогональных проекций случайных величин на линейное подпростран-ство , порожденное случайыми величинами[I5] , (5) где - известная векторная ортогональная случайная мера процесса , - неизвестная векторная ортогональная случайная мера процесса , взаимно некоррелированная с известной мерой . В выражении (5) - матричная частотная характеристика (МЧХ) оптимального минимаксного линейного фильтра с учетом ограничений (3), наложенных на неизвестные матричные спектральные плотности процессов и . Все векторные ортогональные случайные меры будем считать абсолютно непрерывными и стационарно связанными, а значит, у них существуют матричные спектральные плотности. Процессы и имеют матричные спектральные плотности ; (5a) . Спектральные плотности и возможно представить в виде ; (6) . Здесь - известные положительные матричные спектральные плотности процессов и , которые в общем случае не являются рациональными, а меры обладают свойством , где - неизвестные положительно полуопределенные диагональные матричные функции, подчиняющиеся ограничениям вида (3). Вопрос факторизации МСП в ее представлении (6) в предположении о линейной регулярности максимального ранга ее известной составляющей решается на основе теоремы 1 (доказательство теоремы 1 приводится в Приложении). Оптимальная оценка для минимаксного фильтра дается выражением [21] в результате применения интегральных преобразований над матричной частотной характеристикой сглаживающего оптимального фильтра процесса по фундаментальному процессу в виде называемых сепарацией и обозначаемых . Требуется найти линейное стационарное векторное управление минимизирующее критерий качества управления , (7) где - неотрицательно определенная матрица при ограничениях по дисперсии, наложенных на компоненты управляющего процесса : (8) и условиях неупреждаемости, наложенных на компоненты по отношению к наблюдаемому процессу : Пусть векторные стационарные случайные процессы , заданы точно, управляемый процесс и наблюдаемый выражаются в виде (8a) где и - составляющие процессов и , обусловленные векторным стационарным управляющим процессом и выражающиеся в виде (9) где - матричные импульсные переходные функции (МИПФ) системы (1), (2). Подставляя ортогональное разложение в выражение для критерия (7), в результате получим, что , где - средний риск управления, - средний риск фильтрации. Поскольку не зависит от управляющего процесса , задача оптимального управления сводится к минимизации . Корректность применимости «принципа разделения» в решении поставленной задачи оптимального управления дается в теореме 2 (доказательство теоремы 2 приводится в Приложении 1). Пусть - векторная ортогональная фундаментальная случайная мера процесса Тогда процесс будет иметь спектральное представление где - МЧХ линейного минимаксного фильтра, оптимального по отношению к фундаментальному процессу , а процесс будет иметь спектральное представление (10) Оптимальный линейный регулятор для стохастической системы (1), (2) будем искать в представлении (10), где - вектор МЧХ управляющего линейного звена (управляющего устройства) по отношению к процессу: Тогда процесс будет иметь спектральное представление. По сути, задача свелась к нахождению дискретного регулятора во временной области в виде , (11) где - матрица коэффициентов усиления регулятора, имеющая в спектральном представлении вид . (12) Для сравнения отметим, что в данной ситуации в основе конструкции стохастического наблюдателя, который должен «вырабатывать» наилучшую с позиции функционала оценку измеряемого процесса для стохастической системы (1), (2) лежал минимаксный фильтр через инструмент факторизации матричной спектральной плотности наблюдаемого процесса , но возможен также и вариант синтеза дискретного регулятора с использованием фильтра Калмана в качестве наблюдателя, представленного в частотно-непрерывной области ранее в [14], если добавить вспомогательный функционал оптимизации для минимизации ошибки восстановления (наб-людения, фильтрации) к основному критерию оптимизации по МЧХ управляющего линейного звена (управляющего устройства) по отношению к процессу для поиска оптимального матричного коэффициента усиления в оптимальном наблюдателе (оптимальном фильтре Калмана - Бьюси). Ниже будут представлены уравнения, описывающие оптимальный наблюдатель фильтра Калмана и структуру оптимального регулятора, формирующего оптимальное управление. 2. Решение задачи оптимального управления Для поиска оптимального решения далее рассматривается задача минимизации функцио-нала Лагранжа риска управления по строке управления : , (13) , где введены обозначения , , - -й множитель Лагранжа, соответствующий -му ограничению (8). Введем обозначение для подынтегральной функции функционала Лагранжа (14) Уравнения Эйлера, соответствующие (14), можно записать в виде (15) Из соотношений (15) можно воспользоваться приемом нахождения минимума следа функционала Лагранжа риска управления с использованием операций матричного дифференцирования скалярной функции от матричного аргумента (см. Приложение 2). В результате применения этих операций получаем оптимальный вектор управлений (16) где - это j-я строка матрицы . Заметим, что представление (16) корректно в смысле применения операции деления на выражение , так как последнее представляет собой скалярное выражение, всегда отличное от нуля. Искомый вектор множителей Лагранжа можно найти с помощью соотношений (8) после подстановки в них выражений (16) для оптимального вектора управлений . В итоге оптимальные множители Лагранжа можно найти из соотношений В результате решения рассмотренной нами задачи по поиску оптимального управления по неполным данным были получены необходимые и достаточные условия существования седловой точки в явной частотной форме в соответствующей игровой задаче, аналогичные тем, которые были получены в работе Г.А. Голубева для задач А и Б [15] в эквивалентной задаче в непрерывном времени для объекта, описываемого системой стохастических линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами с квадратичным функционалом качества по искомому управлению с помощью МЧХ управляющего линейного звена (управляющего устройства) по отношению к управляемому марковскому процессу второго порядка. Аналитическая оценка для оптимального управления в стационарном режиме согласуется с аналогичным результатом, полученным Ю. Ту [28] и Н.Н. Красовским [29] для оценки оптимального многомерного управления в дискретной форме во временной области для стационарного случая как сходящийся многошаговый процесс, полученный ими с применением принципа оптимальности Беллмана - методом динамического программирования. В итоге получена следующая теорема. Решение задачи оптимального управления Теорема 2. Решение задачи нахождения детерминированного оптимального управления по неполным данным для отфильтрованного управляемого процесса из наблюдаемого дается условиями минимума критерия в форме существования минимаксного линейного фильтра с функцией выигрыша при ограниченных моментах второго порядка управляющих воздействий по неполным данным в условиях неполной информации о нерациональных спектральных характеристиках возмущающих процессов, действующих на линейный динамический объект и присутствующих в канале измерений. Доказательство теоремы 2 представлено в Приложении 1. Для найденного минимаксного фильтра решаем задачу оптимального управления. При решении указанной выше задачи оптимального управления необходимо учесть ограничения по дисперсии (8) и условия, наложенные на процессы . Для этого применяется метод ортогонального разложения процесса [10]. Аналогичная теорема существования седловой точки сформулирована в [20; 21; 15] для стохастических линейных дифференциальных уравнений в задаче синтеза минимаксного стационарного линейного фильтра координат линейного динамического объекта в непрерывном и дискретном случаях при ограниченных дисперсиях действующих на него возмущений. Необходимые формулы для вычисления производных следа по матричному аргументу приводятся ниже в предположении, которое представлено в Приложении 2. 3. Синтез оптимального наблюдателя и субоптимального регулятора с помощью фильтра Калмана Пусть не все переменные состояния объекта (1) доступны непосредственному измерению, и пусть, кроме того, измерения осуществляются с помехами типа «белого шума» в условиях линейной регулярности максимального ранга: , , (17) где , - стационарные некоррелированные между собой процессы с с нерациональными в общем случае спектральными плотностями и , а наблюдаемый процесс выражается в виде , , . (18) Предполагается, что система объект - измеритель[I6] (17), (18) в отсутствие ошибок измерения и возмущений наблюдаема и управляема. Оптимальный стохастический регулятор с обратной связью по состоянию, формирующий искомое управление, состоит из двух частей: устройства, реализующего оптимальный закон управления в виде , (19) где оценка вырабатывается во втором устройстве восстановления (наблюдения, фильтрации) - оптимальном наблюдателе (фильтре Калмана - Бьюси). Как и в детерминированном случае, наблюдатель по форме фильтра Калмана описывается в установившемся режиме уравнением [14] в виде , (20) где - искомая оптимальная матрица усиления регулятора, а корреляционная матрица процесса , отнесенная к , удовлетворяет уравнению в установившемся режиме , (21) где - оригинал изображения , представляющий собой физически реализуемый фильтр . Конструктивный способ, позволяющий определить интеграл , описан подробно в монографии [14, с. 171] c помощью функций и : ; , где и - матричные полиномы от , имеющие нули соответственно в верхней () и нижней () полуплоскостях, полученные через факторизованное представление определителя матрицы Отметим также, что в силу наблюдаемости системы (17) можно определить вектор весовых коэффициентов , а значит, и вектор коэффициентов усиления оптимального регулятора , не обращаясь к системе уравнений (21). Для этого необходимо составить уравнения для нулей и (если они есть) в верхней полуплоскости (22) и для нулей в нижней полуплоскости . (23) Таким образом, для нахождения вектора усиления регулятора и фильтра решения системы (21) не требуется. В случае определения диагональных моментов корреляционной матрицы , определяющих качество фильтрации, решение системы (21) упрощается и сводится к решению линейной системы вида . В конкретных приложениях часто регулятор в форме фильтра Калмана (20), в котором полагается , мало проигрывает оптимальному. В этом случае задача сводится к определению только «весов» . В силу предположения наблюдаемости и управляемости системы (17), (18) можно показать, что система (17), (18) асимптотически устойчива за счет выбора матрицы усиления по формуле и в управляемости системы (17) всегда найдется единственная положительно определенная матрица обеспечивающая асимптотическую устойчивость системы (17), (18). Для этого можно воспользоваться прямым методом Ляпунова, если в качестве функции Ляпунова принять . Доказательство этого утверждения очевидно и для непрерывного случая[30]. Если объект управления асимптотически устойчив, то ошибка восстановления с течением времени будет уменьшаться . 4. Пример синтеза оптимального управления Приведем пример применения предлагаемого метода к решению задачи оптимального управления координат динамического объекта - положения и скорости, когда движение объекта описывается рекуррентными уравнениями (24) где - длительность любого -го такта, - стационарные процессы с нерациональными в общем случае спектральными плотностями и , а наблюдаемый процесc выражается в виде ; , (25) где - дискретный белый шум с дисперсией . C учетом ограничения (25) на неизвестную компоненту - управляющее возмущение в помехе канала измерений, найдем оптимальный минимаксный фильтр методом факторизации и наихудшую спектральную плотность компоненты для процесса. Воспользовавшись результатом решения аналога этого примера, приводимого в монографии О.М. Куркина и др. [14, пример 3.10] для нахождения спектральной наихудшей плотности компоненты , будем иметь ее аналитическое представление в виде Частотные характеристики от входа до выходов, и имеют вид . Cпектральные плотности фильтруемого и наблюдаемого процессов ; А их взаимная спектральная плотность . На втором этапе решим задачу факторизации МСП , воспользовавшись теоремой 2 (о факторизации МСП) из работы Г.А. Голубева [20]. Решение задачи факторизации МСП состоит в расчете матричных функций и затем в расчете как матричного преобразования Гильберта и формирования МЧХ фильтра и по формулам: , а на третьем этапе воспользуемся формулой (8a) и найдем выражение для физически реализуемого минимаксного фильтра . Наконец на четвертом этапе определим оптимальное управление (регулятор) фильтруемого процесса в виде (16) ; . . Матрица ковариаций ошибки восстановления (фильтрации) будет иметь вид (26) Для приближенной оценки параметра в установившемся режиме воспользуемся свойством асимптотически устойчивости объекта управления, то есть поскольку ошибка восстановления с течением времени будет уменьшаться , то из последнего соотношения для ковариаций матрицы при выборе весовой матрицы следует, что субоптимальная оценка параметра может быть представлена в виде следа спектральной плотности ошибки восстановления : Необходимые параметры оптимального регулятора найдены. Графики изменения коэффициента усиления по времени для квазиоптимального регулятора, построенного: 1 - методом факторизации матричной спектральной плотности, в общем случае нерациональной для наблюдаемого процесса, и измеряемого в форме наблюдателя - фильтра Калмана - Бьюси представлены на рисунке по методу факторизации спектральной плотности; 2 - по методу фильтра Калмана при , Начальные значения матрицы были выбраны исходя из корреляционных оценок по положению и скорости , полученным в примере близким по содержанию к модели, рассматриваемой в нашем примере, который представлен в работе О.М. Куркина и др. [14, c.175] и имеют вид где параметр , находится из соотношения ,. Изменение ковариации ошибки скорости по времени для квазиоптимального регулятора: 1 - по методу факторизации спектральной плотности; 2 - по методу фильтра Калмана И с т о ч н и к: выполнено И.Г. Сидоровым Time variation of the velocity error covariance for a quasi-optimal controller: 1 - by the spectral density factorization method; 2 - by the Kalman filter method S o u r c e: by I.G. Sidorov Из построенных графиков видно, что проигрыш по точности определения ковариации ошибки скорости спектрального регулятора по сравнению с регулятором - фильтром Калмана - Бьюси составляет примерно 10 %, что обычно допустимо на практике. Из полученных выше соотношений видно, что построение оптимального многомерного регулятора в условиях неопределенности спектральных плотностей как наблюдаемого, так и измеряемого многомерных дискретных марковских стационарных процессов управляемого многомерного динамического объекта методом факторизации спектральной плотности может быть реализовано на ЭВМ с применением вычислительной математики. 5. Результаты 1. Утверждения теорем 1, 2 дают решение задачи оптимальной минимаксной линейной фильтрации и оптимального линейного управления многомерными стационарными случайными процессами в условиях неопределенности их спектральных плотностей в классе многомерных линейных фильтров Винера - Колмогорова c нерациональными спектральными плотностями возмущений, присутствующими в полезном сигнале и помехе измерений, для которых известны лишь моментные неравенства (3), которым удовлетворяют их спектральные меры в форме существования седловой точки игрового процесса. 2. Выявлены необходимые и достаточные условия существования седловой точки у функционала дисперсии ошибки оценивания оптимального линейного управления многомерными стационарными случайными процессами в условиях неопределенности их спектральных плотностей. 3. Условия оптимальности линейного управления по неполным данным при критерии дисперсии ошибки оценивания могут служить основой для разработки рекуррентных вычислительных процедур, реализующих минимаксный фильтр и оптимальное управление. 4. Получен в простой конструктивной форме многомерный регулятор во временной области с помощью наблюдателя фильтра Калмана - Бьюси для стационарных многомерных случай-ных процессов для случая, когда управляемый сигнал и наблюдаемый содержат по одному возмущению. 5. В конструктивной форме в частотном представлении разработан оптимальный неупреждающий регулятор , формируемый на различные виды внешних возмущений, в том числе и окрашенных, присутствующих как в полезном сигнале, так и в помехе измерений, для которых известны лишь моментные неравенства и области их сосредоточения. Заключение Предложенный спектральный подход позволил сформировать новый метод решения синтеза оптимального среднеквадратичного минимаксного асимптотически устойчивого линейного регулятора по неполным данным, который основан на алгоритме, содержащем конечное число простых алгебраических операций. Предложенный метод не использует универсальную технику - оптимального синтеза, связанную с решением уравнений Риккати или линейных матричных неравенств. Это снимает трудности, вызванные вырожденностью задачи, и позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты, что имеет особую значимость для адаптивной перенастройки систем обработки сигналов и управления, работающих в режиме реального времени. В перспективе также возможен и синтез частотного робастного неупреждающего регулятора в условиях нечеткости линейной динамической системы, присутствующей, в частности, в матрице состояния системы.

About the authors

Igor G. Sidorov

Moscow Technical University of Communications and Informatics

Author for correspondence.
Email: igor8i2016@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-4691-4855
SPIN-code: 1676-7269

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Cybernetics and Information Technologies

8A Aviamotornaya St, Moscow, 111024, Russian Federation

References

Supplementary files