Matematicheskoe modelirovanie optimal'nogo planirovaniya ekonomiki s uchetom nalogov s pomoshch'yu prikladnogo vychislitel'nogo paketa Maple

Full Text

Введение Проблема оптимального планирования экономики всегда являлась актуальной задачей любого государства и правительства. Естественно, что в нашей стране в советское время, этому вопросу уделялось достаточно большое внимание. В 1950-1960-е гг. началось интенсивное изучение различных постановок оптимальных задач во многих областях науки, техники и в экономике. Основой послужили разработанная к этому времени теория оптимального управления и возможности реализовать на практике расчеты на быстродействующих ЭВМ. Большой вклад в это направление науки внес академик А.В. Канторович и большая группа его сотрудников и последователей. Значительное число публикаций на эту тему появилось в выпусках Сибирского отделении АН СССР. В ряде работ группы авторов[1] [1; 2] был дан краткий обзор постановок задач планирования экономики, получивших распространение в на- учной литературе в период 1960-1970-е гг. Среди них была рассмотрена задача оптимального планирования экономики в общей постановке. Позже появились серьезные теоретические работы по обоснованию применения методов оптимального управления в экономике и, в частности, с применением динамической модели межотраслевого баланса [3]. При этом в качестве управляющего фактора использовались производственные мощности, и оценивалось его влияние на конечное потребление. Однако оптимальное планирование экономики не может быть качественным без учета столь важных для функционирования любого государства налоговых сборов. Кроме того, поскольку фискальная и стимулирующие функции любой налоговой системы характеризуются противоположной направленностью, то поиск рациональных соотношений между ними и другими управляющими факторами при оптимальном планировании экономики является достаточно актуальной задачей. В настоящее время для решения экономических задач широко применяется различный математический аппарат [4; 5] и прикладное программное обеспечение[2] [6-8], в частности электронные таблицы, что позволяет представлять данные электронной форме и обрабатывать их без проведения ручных расчетов. Использование математического и програм- много обеспечения для решения экономических задач существенно упрощает процесс вычисления; формализует и формирует набор операторов для решения однотипных задач; дает возможность решать задачи с параметрами и проводить анализ результатов вычислений и выполнять подбор данных. Наиболее распространенным средством работы с табличными данными является программа Microsoft Excel и системы символьной компьютерной математики, такие как MathСad, Maple. Но, несмотря на возможности, предоставляемые пакетами прикладных программ, не овладев предметной областью математической экономики и фундаментальными математическими понятиями, решить экономические задачи в математической постановке невозможно. Целью данной работы является построение оптимальной модели макроэкономической системы на основе учета управляющих и управляемых факторов, включая функции налоговой системы [1]. В связи с этим в данной работе рассматривается оптимальное планирование экономики на базе динамической модели межотраслевого баланса, описанной в работе[3], в которую дополнительно введены налоги как один из управляющих факторов. В качестве средства решения задачи оптимального экономического планирования в данной работе применена система компьютерной математики Maple. 1. Постановка вариационной задачи Задача оптимального планирования экономики рассматривается как вариационная задача на быстродействие (задача наискорейшего перехода от исходного фиксированного уровня конечного потребления к другому заданному уровню)[4] [9]. При построении модели оптимального планирования экономики приняты следующие предположения и ограничения: 1. Экономика состоит из n различных «чистых» отраслей, т.е. каждая отрасль производит лишь один продукт, а каждая отрасль производит только «свой» продукт; дублирование производства одного и того же продукта несколькими отраслями отсутствует. 2. Производственный процесс рассматривается как непрерывный во времени. 3. Мощность каждой отрасли - неубывающая функция времени, т.е. отсутствуют реконструкция и конверсия, а также капитальный ремонт и выбытие мощностей. 4. Не учитываются затраты на научно-тех- нический прогресс и изменение коэффициентов прямых затрат, т.е. элементы технологической матрицы являются постоянными величинами. 5. Отсутствуют ограничения на потребляемые ресурсы как трудовые, так и природные. 6. Отсутствуют экспорт и импорт конечного продукта 7. Желаемые уровни конечного потребления не зависят от времени, а являются постоянными величинами. Ограничения 5-7 непринципиальны и приняты в целях упрощения задачи. 2. Динамическая модель межотраслевого баланса Будем описывать эволюцию экономики посредством динамической модели межотраслевого баланса [15] в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений: vr(t) = Avr(t) + BVr&(t) + Pr(t) + Nr(t) , (1) где vr(t) = (v1(t),...,vn (t)) - вектор-столбец выпускаемых отраслями продуктов, t - время, vi (t) - количество i-го продукта, выпускаемого в единицу времени; Vr(t) = (V1(t),...,V n(t)) - вектор-столбец отраслевых мощностей, V i (t) - максимальное количество i-го продукта, выпускаемого в единицу времени Vi(t)≥0; r P(t) = (P1(t),...,Pn(t)) - вектор-столбец конечного потребления, Pi (t) - количество i-го продукта, идущего на конечное потребление; r N(t) = (N1(t),...,Nn(t)) - вектор-столбец налоговых отчислений, N i (t) - количество налоговых отчислений по i -му продукту (отрасли), A = aij i=1,...,n; j=1,...,n - матрица прямых затрат (технологическая матрица), aij - количество продукта j , необходимого для производства продукта i (коэффициенты прямых затрат); B = bij =1,...,n; j=1,...,n - матрица удельных фондоi емкостей, bij - количество фондообразующего продукта j, требующегося для единичного прироста продукта i (коэффициенты фондоемкости); Vr& = dVr /dt - прирост (скорость изменения) производственных мощностей, причем V&i ≥ 0. Кроме того, имеет место ограничение по мощности: 0 ≤ vr(t) ≤Vr(t), (2) которое имеет простой смысл: выпуск не может превосходить производственных мощностей. Балансовое соотношение (1) определяет распределение упомянутыхr выпусков: произведенный продукт v(t) используется, во-первых, как r сырье Av(t), во-вторых, как фондообразующий продукт BVr&(t), в-третьих, как продукт конечного потребления Pr(t), и, наконец, в-четвертых, как r налоговые отчисления N(t) . Именно последнее слагаемое и отличает эту постановку данной задачи от изложенной Ю.Г. Игнатьевым2. 3. Формулировка вариационной задачи Сформулируем задачу наискорейшего перехода экономики, описываемой динамической моделью межотраслевого баланса (1), (2) между двумя фиксированными уровнями конечного потребления. С учетом предположений и упрощений задача на максимальное быстродействие будет иметь вид T min , v tr( ) = Av tr( )+ BV tr&( )+ P tr( )+ N tr( ), 0 ≤ v tr( ) ≤V tr( ), P tr( ) ≥ P tr0( ) , t∈[0, ],T P tr( ) ≥ Pr1 , t∈ ∞[T, ) , (3) N tr( ) ≥ N tr0( ), t∈[0, ],T Vr(0) =Vr0 ,V tr&( ) ≥ 0 , при этом должны соблюдаться дополнительные условия P t( ) r0 ≤ P t1( ) = const, (4) ( ) const (0) (0), где Е - единичная n×n матрица. В компактной записи задачи (3) первая строка определяет целевой функционал задачи - время перехода экономики из одного состояния в другое, а вторая строка повторяет основное балансовое соотношение (1) и ограничение по мощности (2). Третья строка отражает требование того, что в процессе перехода экономики из одного состояния в другое конечное потреблеr ние P t0 ( ) не должно опускаться ниже некоторого r фиксированного уровня P t0( ). В то же время после достижения заданного желаемого уровня r потребления P1(t) конечное потребление должно оставаться не ниже этого уровня во все последующие моменты времени. Четвертая строка в первой части отражает тот факт, что налоговые поr ступления N(t) должны иметь место и быть не r ниже установленного уровня N0(t) по видам продукции. Равенство и неравенство относительно r производственных мощностей V(t) отражает тот факт, что в начальный момент времени имеются производственные мощности Vr0 и что векторr функция V(t) является неубывающей. Также по всем вектор-функциям, встречающимся в системе (3), следует заметить, что отдельные их компоненты могут быть нулевыми. Система неравенств (4) содержит необходимые для существования оптимального решения неравенства, которым должны удовлетворять заданный уровень потребления, начальный вектор производственных мощностей, а также налоговые поступления. Именно эти три вектор-функции и будут являться управляющими функциями в сформулированной задаче оптимального планирования экономики с учетом налогов. 4. Сведение вариационной задачи к краевой Для облегчения теоретического рассмотрения задачи оптимального управления экономики преобразуем оптимальную задачу на быстродействие (3), записанную относительно векторов по- r r требления Р(t) и налогов N(t) , к краевой задачи относительно вектора производственных r мощностей V(t) . После очевидных преобразований получаем vr(t) = (E - A)-1[BVr&(t)+ Pr(t)+ Nr(t)], (5) где матрица (E - A)-1, называемая также матрицей коэффициентов полных затрат, существует и преобразует любой неотрицательный вектор в неотрицательный же вектор, что следует из свойства продуктивности матрицы коэффициентов прямых затрат A (см., например, [3]). Принимая во внимание неравенство (2), перепишем равенство (5) в виде следующего неравенства: V tr( ) ≥ -(E A) [-1 BV tr( )+ P tr( )+ N tr( )], (6) тогда условие на отрезке Pr( )t ≥ =Pr1 const , ∀∈ ∞t [T, ), может быть заменено условием в точке t = T , а именно: Vr(T) ≥ (E - A)-1Pr1. (7) Обозначим теперь величину неиспользованной мощности посредством ΔVr(t) : ΔVr(t) = Vr(t) - vr(t); превышение конечного потребления минимального уровня посредством ΔPr(t) : ΔP tr( ) = P tr( )-P tr0( ); превышение мощности в момент T требуемого r значения (5) посредством ΔV1 и, наконец, величину собираемых налогов посредством r = Nr0(t) (ожидать превышения собираемых N(t) налогов выше установленного уровня нереально). Наv этапе постановки задачи структура налогов N(t) не детализируется. Таким образом, оптимальная задача на быстродействие (3) может быть теперь сформулирована в виде краевой задачи относительно вектора r мощностей V(t) : T min , V tr( ) = -(E A)-1BV tr&( )+ -(E A) [-1 ΔP tr( ) + N tr( )]+ +ΔV tr( )+ -(E A)-1P tr0( ) , (8) Vr(0) =Vr0 , V Tr( ) = -(E A)-1Pr1 +ΔVr1 , В краевой задаче (8) следует выбрать свободные (управляющие) функции ΔPr( )t ,ΔV tr( ) r и параметры ΔVr1 таким образом, чтобы выN t( ) полнялись краевые условия для вектор-функции Vr(t), условие неотрицательности скорости Vr&(t) и при этом время перехода T было минимальным. Замечание. В данной задаче оптимизации свободные функции, ΔP tr( ), N tr( ) , ΔV tr( ), входящие в совокупность уравнений и неравенств (8), следует считать некоторой комбинацией (управляющих) функций, например: w tr( ) = -(E A) [-1 ΔP tr( ) + N tr( )]+ΔV tr( ), (9) в которой каждое составляющее может изменяться вообще говоря произвольным образом, но тем не менее в соответствии с ограничениями (8) и (9). Поэтому если в результате расчетов иско- V tr( ) будет каким-то обмая функция мощностей разом найдена, то, соответственно, и функции ΔPr( )t , N tr( ), ΔV tr( ) будут определены из комбинации (9). Следовательно, в краевой задаче (8) выбору подлежит вектор-функция w tr( ) , определяемая выражением (9). Ввиду справедливости следующих неравенств: ΔP tr( ) ≥ 0 , N tr( ) ≥ 0 , ΔV tr( ) ≥ 0, - из известных свойств матрицы фондоемкости (E - A)-1 следует w tr( ) ≥ 0 . После определения оптимального значения w tr( ) функция ΔV tr( ) ΔP tr( ) и N tr( ) , или, найдется, если заданы ΔP tr( ) будет найдена, если наоборот, функция ΔV tr( ) , N tr( ) . Естественно, тазаданы функции кой выбор требует согласованности выбираемых функций, поскольку не всякие значения (даже неотрицательных компонент) функций r r r ΔP t( ) , N t( ) , ΔV t( ) являются допустимыми. Действительно, положим для простоты объяснения N tr( ) ≡ 0 , ΔV tr( ) 0≡ , тогда из комбинации (9) имеем ΔP tr( ) = -(E A w t) ( )r . А это значит, что даже при неотрицательных значениях функции w tr( ) отдельные компоненты функцииΔP tr( ) могут оказаться отрицательными. С другой стороны, конечно, могут быть найдены всевозможные варианты «разбивки» функции w tr( ) на соответствующие компоненты. Например, пусть ΔP tr( )= N tr( ) 0≡ , тогда ΔV tr( ) ≡ w tr( ) при 0 ≤ t < T и ΔPr( )T P P T= -r r1 0( ), r r ΔV T V T( )= ( ) (- -E A P)-1 r1 и т.п. Конкретные варианты выбора значений отдельных составляющих комбинации (9) будут приведены при рассмотрении соответствующих необходимых и достаточных условий оптимальности задачи. Отметим, что приведенная неоднозначность связана с видом используемого в задаче функционала. Он оказывается нечувствителен к текущим значениям вектор-функции потребления r P t( ) , но реагирует на превышение конечного потребления минимального уровня потребления r ΔP t( ) . Для функционалов другого вида, например интеграла от некоторой функции потребления, упомянутая неоднозначность может не иметь места. Наконец, сформулируем окончательную постановку краевой задачи относительно вектора r мощностей V t( ) . Для этой цели введем следующие обозначения: Vr& = ur , (E - A B) = M , (E - A)-1P tr0( ) =Vr0, (10) (E - A)-1Pr1 =Vr1 , Δ =Vr1 wr1. В результате оптимальная задача на быстродействие (8) с учетом обозначений (9), (10) запишется в стандартном для задач такого типа виде: T min , Vr& = ur , V tr( ) = M u tr( )+w tr( )+V tr0( ) , (11) r V(0) =Vr0 , V Tr( ) = +Vr1 wr1, u tr( ) ≥ 0 , w tr( ) ≥ 0 , wr1 ≥ 0. Таким образом, поставлена задача оптимального наискорейшего перехода экономики, описываемого динамической моделью межотраслевого баланса из некоторого начального состояния (исходный уровень потребления) в заданное конечное состояние (желаемый уровень потребления). Данная постановка представляет собой оптимальную задачу на быстродействие (система обыкновенных дифференциальных уравнений, представленная во второй строке выражения (10)). Теперь необходимо сформулировать необходимые и достаточные условия оптимальности. 5. Признаки оптимальности Введем в рассмотрение некоторую векторную функцию времени t, а именно p tr( ) = (p1( )t ,..., pn( ))t , компоненты которой pi(t) являются кусочнонепрерывными функциями времени. Запишем скалярное произведениеrs только что введенной вектор-функции p (t) и вектор-функции мощноr стей V(t) и найдем производную по времени в силу дифференциальных уравнений, входящих в систему (11). Получаем d [ p t V tr( ) r( )] = pVr& r + pVr r& = dt = p M ur&[ r + wr + Vr0( )]t + p ur r = (12) = ( p Mr&′ + p ur r) + p wr r& + p Vr0 r0( ).t Проинтегрировав правую и левую части выражения (12) по времени на отрезке t ∈ [0, T], имеем T d p t V t[ ( )r r( )] = p T V Tr( ) ( )r - pr(0) (0)Vr = 0 =T r& + p ur r) + pw dtr& ] +T pVr& r0( )t dt . (13) [(pM 0 0 В исходной задаче (10) требовалось минимизировать время перехода T из начального состоя- r r ния V(0) =V0 на множество Vr(T) ≥ Vr1 . Вместо этой задачи будем рассматривать следующую эквивалентную задачу: задано начальное состояние r =Vr0, время перехода T, нижние границы Vr1i V(0) для всех конечных компонент Vi(T) вектора мощностей, кроме одной, например V1(T), которую необходимо минимизировать. Приведенная постановка задачи эквивалентна постановке первой, поэтому воспользуемся соотношением (13) для второй формулировки на максимум компоненты V1(T) при фиксированном времени перехода T. Положив p1(T) = 1, что не умаляет общности задачи, перепишем выражение (13) в виде V T1( ) =- n p T Vi ( )( 1i + +w1i ) pr(0)Vr0 + i=2 + pV t dtr& r0( ) + [(pMr& + p ur r) + pw dtrr& ] . (14) T T 0 0 И теперь имеем возможность перейти непосредственно к формулировке условий оптимальности. 6. Необходимые и достаточные условия оптимальности Сформулируем необходимые и достаточные условия оптимальности задачи в отношении r r функций u(t) , w&(t) и параметров wr1: 1. Набор функций ui (t) , wi(t) оптимален тогда и только тогда, когда существуют функции pi(t) , обладающие следующими свойствами: (pr&M + pr)i = 0, если ui > 0 , и (pr&M + pr)i ≤ 0, если ui = 0 ; p&i = 0 , если wi > 0 , и p&i ≤ 0 , если wi = 0 . (15) 2. Набор параметров w1i оптимален тогда и только тогда, когда конечные значения функций pi (T) удовлетворяют условиям: pi(Т) = 0 ,если w1i > 0 , и pi(Т) ≥ 0 , если w1i = 0 (i = 2,...,n). (16) Для доказательства приведенных условий с использованием принципа максимума Л.С. Понтря- гина, а также для проведения параллелей с задачами линейного программирования полезно ввести следующие обозначения: pMr& + =pr ψr , pr& =ωr . (17) С учетом обозначений (17) необходимые и достаточные условия оптимальности (16) примут следующий вид: ψi = 0 , если ui > 0 , и ψi ≤ 0 , если ui = 0 ; ωi = 0 , если wi > 0 , и ωi ≤ 0 , если wi = 0 , (18) (Mur+ = -wr Vr V tr0( ) , ωrM + =pr ψr) , где в скобках приведены конечные связи между старыми ur , wr и новыми ψr r, ω переменными. Заключение Таким образом, можно сделать вывод о том, что степень оптимизации экономики при самом быстром ее переходе из одного состояния в другое зависит от определенных сочетаний в комбинации управляющих функций: полных затрат, фондоемкости, функции потребления, величины собираемых налогов и производственных мощностей - при ограничении некоторых из них по верхнему пределу в силу естественных факторов лимитирования физических ресурсов. Являясь смешанной системой с постоянным плотным взаимодействием элементов государственного контроля с составляющими рынка, воздействующими на организацию потребления и производства, функционал современной экономики представляет собой сложную модель, чутко реагирующую на изменения в каждой из его компонент. Расчеты промежуточных параметров проведены в вычислительном пакете Maple, позволяющие проводить преобразования сложных символьных выражений.

About the authors

Yulianna V. Perepelkina

Moscow State University of Technology “STANKIN”

Author for correspondence.
Email: amadeycity@yandex.com
ORCID iD: 0000-0001-8115-8253
SPIN-code: 5157-4093

Candidate of Phys.-Math. Sci., Associate Professor of the Department of Information Systems

Moscow, Russia

Oleg N. Litvin

Moscow State University of Humanities and Economics

Email: lemberg@bk.ru
ORCID iD: 0009-0000-4739-7074
SPIN-code: 7608-8764

Senior Lector, Department of Applied Mathematics

Moscow, Russia

Alexander N. Zadiranov

State Fire Academy of EMERCOM of Russia

Email: zadiranov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7787-8290
SPIN-code: 2873-6465

Doctor of Technical Sciences, Professor of Combustion Behavior and Environmental Safety Department, Educational and Scientific Complex of Combustion Processes and Environmental Safety

Moscow, Russia

References

Supplementary files